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1、三次參數(shù)樣條曲線 問題提出 有空間的 n個點(diǎn) ,p1,p2, p3， ,pn 要用一條曲線光滑連接 p1 p2 p3 pn p4 解決問題的思路 插值 三次樣條曲線 三次參數(shù)樣條曲線 三次樣條曲線 -定義 對于給定的 n個型值點(diǎn) Pi(xi,yi),且 hi=xi+1-xi0, i=1,2, ,n， 若 y=S(x)滿足下列條件： (1) 在 Pi(xi,yi)點(diǎn)上有 yi=S(xi)； (2) S(x)在 x1 , xn上二階連續(xù)可導(dǎo)； (3)在每個子區(qū)間 xi , xi+1上 ， S(x)是 x的三次多項(xiàng)式； 則稱 S(x)為過型值點(diǎn)的三次樣條函數(shù) ， 由三次樣條
2、函數(shù) 構(gòu)成的曲線稱為三次樣條曲線 。 三次樣函數(shù)的形式推導(dǎo) 由定義可知在 xi , xi+1上 ， Si(x)可寫成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3 ai, bi, ci, di為待定系數(shù) (1)由于 yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（ 用于求 bi） (2)由 Si (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si (xi)= bi 由 Si (x)= 2ci+6di(x-
3、xi) 有 Si (xi)= 2ci 三次樣函數(shù)的形式推導(dǎo) (3)要求曲線在二階連續(xù)可導(dǎo) ， 則有 Si (xi+1)= Si+1 (xi+1) Si (xi+1)= Si+1 (xi+1) 從而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1 2ci+6di hi=2ci+1 (求 di) (4)令 Mi=2ci; 則有 ： ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6) 三次樣函數(shù)的形式推導(dǎo) 從而有 ： ai-1 = yi-1 ci-1
4、=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1 (xi)= Si (xi) 有 bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令 ： i= hi-1/(hi-1+hi),i= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1 可得 ： i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di， 其中： i+i=1， i=2,3, ,n-1 三次樣函數(shù)的端點(diǎn)條件 (1)夾持端：
5、 端點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)已知 ， 即 S1 (x1)=y1 亦即 y1= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1 Sn-1 (xn)=yn 亦即 yn-1= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1 得方程組為： 2 M1+ M2=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di， i=2,3, ,n-1;
6、Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1; 三次樣函數(shù)的端點(diǎn)條件 (2)自由端： 端點(diǎn)處曲線二階導(dǎo)數(shù)為零 即 S1 (x1)=y1=0 , Sn-1 (xn)=yn=0 亦即 S1 (x1)= 2c1=0； =M1=0 Sn-1 (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0； = Mn=0 得方程組 ： M1=0; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di， i=2,3, ,n-1; Mn=0; 三次樣函數(shù)的端點(diǎn)條件 (3)拋物端 ： 曲線的首尾兩段 S1(x) 和 Sn-1(x)為拋物線 。 即曲線在 首尾兩段曲線
7、上二階導(dǎo)數(shù)為常數(shù) 。 y1 =y2 ， yn-1 =yn S1 (x1)=2c1= S2 (x2)= 2c2 =M1= M2 Sn-2 (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1 (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1 =Mn-1= Mn 得方程組： M1 - M2=0; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di， i=2,3, ,n-1; Mn-1 - Mn=0; 三次樣條曲線 -程序 程序演示 三次參數(shù)樣條曲線 有空間的 n個點(diǎn) ,p1,p2, p3， ,pn 要用一條三次參數(shù)樣條曲線插值 p1 p2 p
8、3 pn p4 三次參數(shù)樣條曲線定義 三次參數(shù)樣條曲線的表達(dá)式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm 在兩點(diǎn) p1,p2之間定義一條該曲線（參數(shù)形式） 令 p1t=0; p2t=t2; 已知： p1， p2 代入方程可得方程系數(shù) B1B2B3 B4 p1 p2 三 次 參 數(shù) 樣 條 曲 線 推 導(dǎo) 3 2 2 2 2 2 1 3 2 21 2 2 2 2 1 2 2 12 11 2 2 2 2 2 1 3 2 21 4 2 2 2 1 2 2 12 3 2 2423222 3 24 2 2322122 21 11 )(2 2)(3 )( )(2
9、 2)(3 32)( )( )0( )0( t t p t p t pp t t p t p t pp tpptp ： t p t p t pp B t p t p t pp B tBtBBtpp tBtBtBBptp Bpp Bpp 從而有 三 次 參 數(shù) 樣 條 曲 線 推 導(dǎo) 1 3 2 1 1 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 0 )(2 2)(3 )( , i i i i i i ii i i i i i ii iii ii tt t t p t p t p
10、p t t p t p t pp tpptp pp 段有對 連 續(xù) 的 三 次 參 數(shù) 樣 條 曲 線 2,,1 ))()((3 )(2 262 1 1 2 12 2 1 2 111|22 1 3143 1 ni pp t t pp t t p p p tttt BtBB p， ii i i ii i i i i i iiii i i ii i 即 有 應(yīng)達(dá)到二階連續(xù)曲線在由條件 連 續(xù) 的 三 次 參 數(shù) 樣 條 曲 線 2,,1)(2 ))()((3: 2 111|22 1 1 2 12 2 1
11、 niB p p p tttt pp t t pp t t B i i i i iiii ii i i ii i ii 有 令 式中 ： pi 第 i點(diǎn)的切矢量為未知數(shù)， (i=1, ， n) 求解 n個未知數(shù)，要 n個方程 連續(xù)的三次參數(shù)樣條曲線端點(diǎn)條件 2,,1)(2 : )1( 2 111|22 1 niB p p p tttt pp i i i i iiii n 方程為 已知 夾持端 三 次 參 數(shù) 樣 條 曲 線 端 點(diǎn) 條 件 n nn nn n n n n n nn n n n n n nn n t pp pp t p
12、t p t pp t p t p t pp ni t pp pp t p t p t pp i pp )(3 2 0) )(2 (6 ) 2)(3 (2 1 )(3 2 0 2)(3 :1 00: )2( 1 1 22 1 3 1 1 2 1 2 12 21 2 2 2 1 2 2 12 1 時 時 已知 自由端 三次參數(shù)樣條曲線 求三次參數(shù)樣條曲線的表達(dá)式 p(t)=B1+B2t+B3t2 +B4t3 0<=t<=tm (1)給點(diǎn) pi（ i=1,,n ） (2)給端點(diǎn)條件 (3)解方程求各點(diǎn)切矢量； (4)計(jì)算各段系數(shù)（取 ti+1為第 i段直線段長） (5)根據(jù)參數(shù)給各段曲線 p1 p2 p3 p5 p4
三次參數(shù)樣條曲線.ppt
