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1、2 一元二次不等式 2 1 一元二次不等式的解法 1.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模 型 2.通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)二 次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系 3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不 等式，會設(shè)計求解的程序框圖 . 1.對一元二次不等式解法和三個 “ 二次 ” 關(guān)系 的考查是本節(jié)熱點(diǎn) 2.本節(jié)內(nèi)容常與二次函數(shù)圖像、一元二次方程、 集合等內(nèi)容結(jié)合命題 3.多以選擇題、填空題形式考查 . 1 已知二次函數(shù) f(x)的兩個零點(diǎn)分別為 x1、 x2 則 f(x) 2 一元二次方程 ax2 bx c 0(a0) 當(dāng) 0時 ， 有 實 數(shù)根 x . 3 若 y x2 2x 3，
2、 則當(dāng) x 時 ， y 0；當(dāng) x 時 ， y0；當(dāng) x 時 ， y6 ； ( 2 ) 4 x 2 4 x 1 0 ； ( 3) x 2 7 x 6 ； ( 4 ) x 2 6 x 9 0. 由題目可以獲取以下主要信息： (1)、 (2)題二次項系數(shù)為正 ， (3)、 (4)二次 項系數(shù)為負(fù) (1)、 (3)題對應(yīng)方程的判別式大于零 (2)、 (4)題對應(yīng)方程的判別式等于零 解答本題可先將二次項系數(shù)化為正 ， 再求對 應(yīng)方程的根 ， 并根據(jù)根的情況畫出草圖 ， 觀 察圖像寫出解集 解題過程 ( 1) 由 x 2 5 x 6 ，得 x 2 5 x 6 0. x 2 5 x 6 0 的兩根是 x
3、1 或 x 6 ， 原不等式的解集為 x | x 6 ( 2) 4 x 2 4 x 1 0 ，即 (2 x 1) 2 0 ， x 1 2 . 4 x 2 4 x 1 0 的解集為 x x 1 2 . (3)由 x2 7x6， 得 x2 7x 60， 而 x2 7x 6 0的兩個根是 x 1或 x 6. 不等式 x2 7x 60的解集為 x|1x6 (4)原不等式可化為 x2 6x 90， 即 (x 3)20， 原不等式的解集為 . 題后感悟 解不含參數(shù)的一元二次不等式的 一般步驟： (1)通過對不等式的變形 ， 使不等式右側(cè)為 0， 使二次項系數(shù)為正 (2)對不等式左側(cè)因式分解 ， 若不易分解
4、 ， 則 計算對應(yīng)方程的判別式 (3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別 式說明方程無實根 (4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二 次函數(shù)的草圖 (5)根據(jù)圖像寫出不等式的解集 1.求下列不等式的解集 (1) 2x2 3x 20； (2) 2x2 x 60； (4)x2 2510 x. 解析： ( 1) 原不等式可化為 2 x 2 3 x 2 0 ， 2 x 2 3 x 2 0 的兩根是 x 1 2 或 x 2 ， 原不等式的解集為 x | x 2 或 x 0 ， 方程 2 x 2 x 6 0 的判別式 ( 1) 2 4 2 60 ， 所以原不等式的解集為 x x 1 2 . ( 4)
5、原不等式可化為 x 2 10 x 25 0 ，即 ( x 5) 2 0 ， 故原不等式的解集為 x | x 5 解關(guān)于 x的不等式： ax2 (a 1)x 1 0(a R) 策略點(diǎn)睛 規(guī)范作答 ( 1) 當(dāng) a 0 時，原不等式化為： x 1 0 x 1. ( 2) 當(dāng) a 0 時，原不等式化為 a x 1 a ( x 1) 0. 當(dāng) a 0 時，原不等式等價于 x 1 a ( x 1) 0 1 a x 1. 當(dāng) a 0 時，原不等式等價于 x 1 a ( x 1) 0. 1 當(dāng) a 1 ，即 1 a 1 時， 的解為 x 1 a 或 x 1. 2 當(dāng) a 1 ，即 1 a 1 時， 的解為
6、x 1. 3 當(dāng) 1 a 0 ，即 1 a 1 時， 的解為 x 1 或 x 1 a . 綜上所述：不等式的解集是： a 0 時， x | x 1 ； a 0 時， x 1 a x 1 ； a 1 時， x x 1 a 或 x 1 ； a 1 時 ， x R | x 1 ； 1 a 0 時， x x 1 或 x 1 a . 題后感悟 對字母系數(shù)分類討論時 ， 要注意 確定分類的標(biāo)準(zhǔn) ， 而且分類時要不重不漏 一 般方法是： (1)當(dāng)二次項系數(shù)不確定時 ， 按二次項系數(shù)等 于零 、 大于零 、 小于零三種情況進(jìn)行分類 (2)判別式大于零時 ， 還需要討論兩根的大 小 (3)判別式不確定時 ， 按
7、判別式大于零 、 等于 零 、 小于零三種情況討論 2.解關(guān)于 x的不等式： ax2 2(a 1)x 4 0. 解析： ( 1) 當(dāng) a 0 時，原不等式可化為 2 x 4 0 ， 解得 x 2 ，所以原不等式的解集為 x | x 2 ； ( 2) 當(dāng) a 0 時，原不等式可化為 ( ax 2) ( x 2) 0 ， 對應(yīng)方程的兩根為 x 1 2 a ， x 2 2. 當(dāng) 0 a 1 時， 2 a 2 ， 所以原不等式的解集為 x x 2 a 或 x 2 ； 當(dāng) a 1 時， 2 a 2 ， 所以原不等式的解集為 x | x 2 ； 當(dāng) a 1 時， 2 a 2 ， 所以原不等式的解集為 x
8、| x 2 或 x 2 a . ( 3) 當(dāng) a 0 時，原不等式可化為 ( ax 2) ( x 2) 0 ， 對應(yīng)方程的兩根為 x 1 2 a ， x 2 2 ， 又 a 0 ，所以原不等式的解集為 x 2 a x 2 . 綜上所述，原不等式的解集 當(dāng) a 0 時為 x | x 2 ； 當(dāng) 0 a 1 時為 x | x 2 a 或 x 2 ； 當(dāng) a 1 時為 x | x 2 ； 當(dāng) a 1 時為 x | x 2 或 x 2 a ； 當(dāng) a 0 時為 x | 2 a x 2 若不等式 ax2 bx c0的解集為 x| 3x4，求不等式 bx2 2ax c 3b0 的解集為 x | 3 x 4
9、 a 0 ，且 3,4 是方程 ax 2 bx c 0 的兩根 由韋達(dá)定理得 3 4 b a ， 3 4 c a ， b a ， c 12 a . 不等式 bx 2 2 ax c 3 b 0 即為 ax 2 2 ax 15 a 0， 即 x2 2x 150， 且 x1 3， x2 5是方程的兩個根 ， 故所求的不等式的解集為 x| 3x5 題后感悟 解一元二次不等式要密切聯(lián)系其 所對應(yīng)的一元二次方程以及二次函數(shù)的圖 像 一元二次方程的根就是二次函數(shù)圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ， 對應(yīng)不等式的解集 ， 就是使 函數(shù)圖像在 x軸上方或下方的部分所對應(yīng)的 x的 集合 ， 而方程的根就是不等式解集區(qū)間
10、的端 點(diǎn) 3.已知關(guān)于 x的不等式 x2 ax b0的 解集 解析： 由根與系數(shù)的關(guān)系，可得 a 1 2 ， b 1 2 ， 即 a 3 ， b 2 ， 不等式 bx 2 ax 1 0 ，就是 2 x 2 3 x 1 0. 由于 2 x 2 3 x 1 0 (2 x 1) ( x 1 ) 0 x 1. bx 2 ax 1 0 的解集為 ， 1 2 (1 ， ) 1 解一元二次不等式解集的一般步驟 (1)化一元二次不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式： ax2 bx c 0或 ax2 bx c 0(a 0)； (2)求出一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的根 ， 并畫出對應(yīng)函數(shù) y ax2 bx c(a
11、0)的簡圖； (3)根據(jù)圖像寫出不等式的解集 當(dāng)一元二次不等式為 ax2 bx c0或 ax2 bx c0時 ， 要注意解集的端點(diǎn) 2求解一般的一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)的解集過程可用如下程序框圖表示 解不等式 x2 x. 【 錯解 】 由 x2 x兩邊同時約去 x， 得 x 1， 所以原不等式的解集為 x|x 1 【 錯因 】 本題因沒有將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)形式 ， 直接約去 x而現(xiàn)求解錯誤 應(yīng)將一元二次不等 式化成標(biāo)準(zhǔn)形式 ， 再由方程的根得出解集 【 正解 】 原不等式可化為 x2 x 0， 即 x(x 1) 0. 方程 x(x 1) 0的兩根為 x1 0， x2 1 原不等式的解集為 x|x 1或 x 0.
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