2017年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)一卷試題及答案

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1、2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合，則 A． B． C． D． 2．如圖，正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是 A． B． C． D． 3．設(shè)有下面四個(gè)命題 ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)滿足，則； ：若復(fù)數(shù)

2、，則. 其中的真命題為 A． B． C． D． 4．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為 A．1 B．2 C．4 D．8 5．函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是 A． B． C． D． 6．展開(kāi)式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 A．10 B．12 C．14 D．16

3、 8．右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入 A．和 B．和 C．和 D．和 9．已知曲線，則下面結(jié)論正確的是 A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線 D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，

4、得到曲線 10．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，直線與交于A、B兩點(diǎn)，直線與交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 A．16 B．14 C．12 D．10 11．設(shè)為正數(shù)，且，則 A． B． C． D． 12．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件。為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推。求滿足如下條件的最小整數(shù)且該數(shù)列的前項(xiàng)和

5、為2的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13．已知向量a，b的夾角為60，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= 14．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為 15．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若，則的離心率為_(kāi)_______。 16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC

6、，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開(kāi)后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_(kāi)______。 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求; （2）若，求△ABC的周長(zhǎng). 18.（12分）

7、 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且. （1）證明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 19．（12分） 為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天

8、的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． （ⅰ）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 20.（12分） 已

9、知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 21.（12分） 已知函數(shù) （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍. （二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為.

10、 （1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1A , 2B, 3B, 4C, 5D, 6C, 7B, 8D, 9D, 10A, 11D, 12A. 二、填空題：本題共4小題，每小題5

11、分，共20分。 13． 14．-5 15． 16． 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為 （1）求sinBsinC; （2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長(zhǎng). 解：（1）由題設(shè)得，即 由正弦定理得 ，故。 （2）由題設(shè)及（1）得，即 所以，故.由題設(shè)得，即 由余弦定理得，即，得 故的周長(zhǎng)為 18.（12分）解

12、：（1）由已知，得， 由于，故， 從而平面 又平面，所以平面平面 （2）在平面內(nèi)作，垂足為.由（1）可知，平面，故， 可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 由（1）及已知可得. 所以 設(shè)是平面的法向量，則 即 可取 設(shè)是平面的法向量，則 即 可取 則.所以二面角的余弦值為. 19．（12分）解：（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的 尺寸在之外的概率為0.0026，故，因此 的數(shù)學(xué)期望為 （2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件

13、中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小。因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的。 （ii）由，得的估計(jì)值為的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查。 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 ,因此的估計(jì)值為10.02. 剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為 . 因此的估計(jì)值為. 20.（12分）解：（1）由于兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故由題設(shè)知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn). 又由知，不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以點(diǎn)在上

14、 因此解得 故的方程為. （2）設(shè)直線與直線的斜率分別為 如果與軸垂直，設(shè)，由題設(shè)知，且，可得的坐標(biāo)分別為 則，得，不符合題設(shè). 從而可設(shè)，將代入得 . 由題設(shè)可知 設(shè)，則 而 . 由題設(shè)，故, 即.解得 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，于是，所以過(guò)定點(diǎn) 21.（12分）解：（1）的定義域?yàn)椋? （i）若，則，所以在單調(diào)遞減 （ii）若，則由的. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。 （2）（i）若，由（1）知，至多有一個(gè)零點(diǎn) （ii）若，由（1）知，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為 ① 當(dāng)時(shí)，由于，故

15、只有一個(gè)零點(diǎn)； ② 當(dāng)時(shí)，由于，即，故沒(méi)有零點(diǎn)； ③ 當(dāng)時(shí)，，即又 又，故在有一個(gè)零點(diǎn)。 設(shè)正整數(shù)滿足， 則. 由于，因此在有一個(gè)零點(diǎn). 綜上，的取值范圍為. 22．解：（1）曲線的普通方程為， 當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為 由解得或 從而與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為 當(dāng)時(shí)，的最大值為，由題設(shè)得，所以； 當(dāng)時(shí)，的最大值為，由題設(shè)得，所以. 綜上，或 23．解： （1）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于 ① 當(dāng)時(shí)，①式化為，無(wú)解； 當(dāng)時(shí)，①式化為，從而； 當(dāng)時(shí)，①式化為，從而 所以的解集為 （2）當(dāng)時(shí)， 所以的解集包含，等價(jià)于當(dāng)時(shí) 又在的最小值必為與之一，所以且，得 所以的取值范圍為