線性回歸方程

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1、環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)講義 講義編號(hào)： 組長簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 高二 課時(shí)數(shù)：3 學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：閆建斌 課 題 線性回歸方程 授課日期及時(shí)段 2014-2-11 18:00-20:00精品文檔，你值得期待 教學(xué)目標(biāo) 線性回歸方程基礎(chǔ) 重點(diǎn)、難點(diǎn) 教 學(xué) 內(nèi) 容

2、 1、本周錯(cuò)題講解 2、知識(shí)點(diǎn)梳理 1．線性回歸方程 ①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系 ②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系 ③線性回歸方程：（最小二乘法） 最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方最小的方法 注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn) 2．相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）： 注：⑴>0時(shí)，變量正相關(guān)； <0時(shí)，變量負(fù)相關(guān)； ⑵① 越接近于1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)； ② 接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。 3．線形回歸模型： ⑴隨機(jī)誤差：我們把線性回歸模型，其中為模型的未知參數(shù)，稱為隨

3、機(jī)誤差。 隨機(jī)誤差 ⑵殘差：我們用回歸方程中的估計(jì)，隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)量，故，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差。 ⑶回歸效果判定-----相關(guān)指數(shù)(解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率) (的表達(dá)式中確定) 注：①得知越大，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好； ②越接近于1，，則回歸效果越好。 4．獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）： (1)分類變量：這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別的變量。 (2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表。 (3)對(duì)于列聯(lián)表：的觀測值。 (4)臨界值表： 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0

4、25 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 如果，就推斷“有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“有關(guān)系”。 (5)反證法與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較： 反證法原理 在假設(shè)下，如果推出矛盾，就證明了不成立。 獨(dú)立性檢 驗(yàn)原理 在假設(shè)下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過這個(gè)小概率。 典型例題 1．(2011山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

5、如下表： 廣告費(fèi)用x/萬元 4 2 3 5 銷售額y/萬元 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程＝x＋中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為 (　　)． A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 解析　∵＝＝，＝＝42， 又＝x＋必過(，)，∴42＝9.4＋，∴＝9.1. ∴線性回歸方程為＝9.4x＋9.1. ∴當(dāng)x＝6時(shí)，＝9.46＋9.1＝

6、65.5(萬元)． 答案　B 2．(2011江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下： 父親身高x/cm 174 176 176 176 178 兒子身高y/cm 175 175 176 177 177 則y對(duì)x的線性回歸方程為 (　　)． A.＝x－1 B.＝x＋1 C.＝88＋x D.＝176 解析　因?yàn)椋剑?76， ＝＝176， 又y對(duì)x的線性回歸方程表示的直線恒過點(diǎn)(，)，

7、 所以將(176,176)代入A、B、C、D中檢驗(yàn)知選C. 答案　C 3．(2011陜西)設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論中正確的是(　　)． A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率 B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同 D．直線l過點(diǎn)(，) 解析　因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的 絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B錯(cuò)誤．C中n 為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以

8、不相同，所以C錯(cuò)誤．根據(jù)回 歸直線方程一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)可知D正確，所以選D. 答案　D 4．(2011廣東)為了解籃球愛好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系： 時(shí)間x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李這5天的平均投籃命中率為________；用線性回歸分析的方法，預(yù)測小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為________． 解析　小李這5天的平均投籃命中率 ＝＝0.5， 可求得小李這5天的平均打籃球時(shí)間＝3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)

9、可求得＝0.01，＝ 0.47，故回歸直線方程為＝0.47＋0.01x，將x＝6代入得6號(hào)打6小時(shí)籃球的 投籃命中率約為0.53. 答案　0.5　0.53 5．(2011遼寧)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元． 解析　由題意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254. 答案　0.254 6．(2011安徽)某

10、地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 年份 2002 2004 2006 2008 2010 需求量(萬噸) 236 246 257 276 286 (1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程＝x＋； (2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測該地2012年的糧食需求量． 解　(1)由所給數(shù)據(jù)看出，年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程．為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下： 年份－2006 －4 －2 0 2 4 需求量－257 －21 －11 0 19 29 對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得＝0，＝3.2. ＝ ＝＝

11、6.5，＝－b＝3. 由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為 －257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2， 即＝6.5(x－2 006)＋260.2. ① (2)利用直線方程①，可預(yù)測2012年的糧食需求量為 6．5(2012－2006)＋260.2＝6.56＋260.2＝299.2(萬噸)． 課堂練習(xí) 1．實(shí)驗(yàn)測得四組(x，y)的值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為(　　) A.＝x＋1　　　　　B.＝x＋2 C.＝2x＋1 D.＝x－1 2．在比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，甲、

12、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85，則擬合效果好的模型是(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不確定 3．某化工廠為預(yù)測產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測值，計(jì)算，得xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，則其線性回歸方程為(　　) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x 4．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)： 月份x 1 2 3 4 用水量y

13、 4.5 4 3 2.5 由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是＝－0.7x＋a，則a等于______． 5．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝bx＋a，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？ 課后練習(xí) 一、選擇題 1．實(shí)驗(yàn)測得四組(x，y)的值為

14、(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為(　　) A.＝x＋1　　　　　　　　B.＝x＋2 C.＝2x＋1 D.＝x－1 答案　A 解析　畫出散點(diǎn)圖，四點(diǎn)都在直線＝x＋1. 2．下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說法不正確的是(　　) A．相關(guān)系數(shù)用來衡量變量x與y之間的線性相關(guān)程度 B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大 C．|r|≤1，且|r|越接近0，相關(guān)程度越小 D．|r|≥1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越小 答案　D 3．由一組樣本(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回歸直線方程＝a＋bx，下面有四種關(guān)于回

15、歸直線方程的論述： (1)直線＝a＋bx 至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)； (2)直線＝a＋bx的斜率是； (3)直線＝a＋bx必過(，)點(diǎn)； (4)直線＝a＋bx和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差 (yi－a－bxi)2是該坐標(biāo)平面上所有的直線與這些點(diǎn)的偏差中最小的直線． 其中正確的論述有(　　) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 答案　D 解析　線性回歸直線不一定過點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的任何一點(diǎn)；b＝就是線性回歸直線的斜率，也就是回歸系數(shù)；線性回歸直線過點(diǎn)(，)

16、；線性回歸直線是平面上所有直線中偏差 (yi－a－bxi)2取得最小的那一條．故有三種論述是正確的，選D. 4．設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有(　　) A．b與r的符號(hào)相同　　　　 B．a(chǎn)與r的符號(hào)相同 C．b與r的符號(hào)相反 D．a(chǎn)與r的符號(hào)相反 答案　A 5．在比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85，則擬合效果好的模型是(　　) A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不確定 答案　A 6．某化工廠為預(yù)測產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量

17、x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測值，計(jì)算，得xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，則其線性回歸方程為(　　) A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x 答案　A 解析　利用回歸系數(shù)公式計(jì)算可得a＝11.47，b＝2.62，故＝11.47＋2.62x. 二、填空題 7．下表是某廠1～4月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5 由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是＝－0.

18、7x＋a，則a等于______． 解析?。?.5，＝3.5，∵回歸直線方程過定點(diǎn)(，)，∴3.5＝－0.72.5＋a. ∴a＝5.25. 8．某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表： 月平均氣溫x(℃) 17 13 8 2 月銷售量y(件) 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程＝bx＋a中的b≈－2，氣象部門預(yù)測下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)，該商場下個(gè)月毛衣的銷售量約為________件． (參考公式：b＝，a＝－b ) 答案　46 解析　由所提供

19、數(shù)據(jù)可計(jì)算得出＝10，＝38，又b≈－2代入公式a＝－b 可得a＝58，即線性回歸方程＝－2x＋58，將x＝6代入可得． 9．對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示： 又發(fā)作過 心臟病 未發(fā)作過 心臟病 合計(jì) 心臟搭橋手術(shù) 39 157 196 血管清障手術(shù) 29 167 196 合計(jì) 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算K2＝________. 比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒有差別．________. 答案　≈1.78 不能作出這兩

20、種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論 解析　提出假設(shè)H0：兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別． 根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得K2＝≈1.78. 當(dāng)H0成立時(shí)K2≈1.78，而K2＜2.072的概率為0.85.所以，不能否定假設(shè)H0.也就是不能作出這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論． 三、解答題 10．某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了2010年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下表： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日

21、 溫差x(℃) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù)y(顆) 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． (1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率； (2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝bx＋a； (3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠？ 解析　(1)設(shè)抽到不相鄰的兩

22、組數(shù)據(jù)為事件A，因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)． 每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種： 所以P(A)＝＝.所以選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是. (2)由數(shù)據(jù)，求得＝12，＝27. 由公式，求得b＝，a＝－b ＝－3. 所以y關(guān)于x的線性回歸方程為＝x－3. (3)當(dāng)x＝10，＝10－3＝22，|22－23|＜2； 同樣，當(dāng)x＝8時(shí)，＝8－3＝17，|17－16|＜2； 所以，該研究所得到的回歸方

23、程是可靠的． 11．某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下： 零件的個(gè)數(shù)x(個(gè)) 2 3 4 5 加工的時(shí)間y(小時(shí)) 2.5 3 4 4.5 (1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； (2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＝bx＋a，并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線； (3)試預(yù)測加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？ (注：b＝，a＝－b ) 解析　(1)散點(diǎn)圖如圖． (2)由表中數(shù)據(jù)得：xiyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，x＝54， ∴b＝0.7，　∴a＝1.05， ∴＝0.7x＋1.05. 回歸直線

24、如圖所示． (3)將x＝10代入回歸直線方程，得＝0.710＋1.05＝8.05(小時(shí) )． ∴預(yù)測加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)． 12．(2010遼寧卷)為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B. 下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2) 表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 頻數(shù) 30 40 20 10 表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的

25、頻數(shù)分布表 皰疹面積 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) 頻數(shù) 10 25 20 30 15 (ⅰ)完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小； (ⅱ)完成下面22列聯(lián)表，并回答能否有99.9% 的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． 表3： 皰疹面積小 于70 mm2 皰疹面積不小 于70 mm2 合計(jì) 注射藥物A a＝ b＝ 注射藥物B c＝ d＝ 合計(jì)n＝ 附：K2＝ 解析　(ⅰ) 可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)． (ⅱ)表3： 皰疹面積小 于70 mm2 皰疹面積不小 于70 mm2 合計(jì) 注射藥物A a＝70 b＝30 100 注射藥物B c＝35 d＝65 100 合計(jì) 105 95 n＝200 K2＝≈24.56. 由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”． X