有限元復(fù)習(xí)

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1、有限元復(fù)習(xí) 重點(diǎn)掌握一般問題的描述、模型簡化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本過程、位移函數(shù)構(gòu)造、單元特性、有限元計(jì)算的具體操作（單元?jiǎng)傟囆纬?、總綱陣組裝）、邊界條件處理（載荷等效/邊界約束施加）、有限元分析的具體操作 場(chǎng)問題的一般描述---微分方程+邊界條件 1) 應(yīng)力場(chǎng)----彈性力學(xué) 2) 溫度場(chǎng)----熱傳導(dǎo) 3) 電磁場(chǎng)----電磁學(xué) 4) 流速場(chǎng)----流體力學(xué) A、B----微分算子（如對(duì)坐標(biāo)或時(shí)間的微分） u----未知場(chǎng)函數(shù)，可為標(biāo)量場(chǎng)（如溫度），也可為矢量場(chǎng)（如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等） 一、基本概念 1、 平面應(yīng)力/平面應(yīng)變問題；空間問題/軸對(duì)稱問題；板

2、殼問題；桿梁問題；溫度場(chǎng)；線性問題/非線性問題（材料非線性/幾何非線性）等 1.）平面應(yīng)力問題：如等厚度薄板。彈性體在一個(gè)坐標(biāo)方向的幾何尺寸遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向的幾何尺寸，只受平行于板面，且不沿厚度變化的外力（表面力或體積力）。 在六個(gè)應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個(gè)應(yīng)力分量，即 （）。 一般，并不一定等于零，但可由及求得，在分析問題時(shí)不必考慮。于是只需要考慮三個(gè)應(yīng)變分量即可。 2．）平面應(yīng)變問題：如長厚壁圓筒（受均勻內(nèi)壓或外壓）重力壩 一縱向(即Z向)很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿

3、Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對(duì)稱(任一橫截面都可以看作對(duì)稱面)，所有各點(diǎn)都只會(huì)有x和y方向的位移而不會(huì)有Z方向的位移，即w = 0這種問題稱為平面位移問題，習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。只剩下三個(gè)應(yīng)變分量。也只需要考慮三個(gè)應(yīng)力分量即可。 兩種平面問題，幾何方程，虛功方程，物理方程相同。彈性矩陣不同。 3.) 空間軸對(duì)稱問題—即彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的位移、應(yīng)力與應(yīng)變只與坐標(biāo)r、z有關(guān)，與無關(guān) ? 幾何形狀關(guān)于軸線對(duì)稱； ? 作用于其上的載荷關(guān)于軸線對(duì)稱。 ? 約束條件關(guān)于軸線對(duì)稱。 軸對(duì)稱單元的特點(diǎn)（與平面三角形單元的區(qū)別） ? 軸對(duì)

4、稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接； ? 節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷是施加于節(jié)圓上的均布力； ? 單元邊界是一回轉(zhuǎn)面； ? 應(yīng)變分量 中出現(xiàn)了 ，即應(yīng)變不是常量；且應(yīng)變矩陣在r--》0時(shí)，存在奇異點(diǎn)，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標(biāo)替代節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。 4.) 力學(xué)概念定義的板是指厚度尺寸相對(duì)長寬尺寸小很多的平板 ，且能承受橫向或垂直于板面的載荷。如板不是平板而為曲的(指一個(gè)單元)，則稱為殼問題。如作用于板上的載荷僅為平行于板面的縱向載荷，則稱為平面應(yīng)力問題；如作用于板上的載荷為垂直于板面的橫向載荷，則稱為板的彎扭問題，常簡稱板的彎曲問題。 ? 常用的單元有三角形和矩形。為了使相鄰單元

5、間同時(shí)可傳遞力和力矩，節(jié)點(diǎn)當(dāng)作剛性節(jié)點(diǎn)，即節(jié)點(diǎn)處同時(shí)有節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)力矩作用。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，即一個(gè)擾度和分別繞x，y軸的轉(zhuǎn)角 ? 薄板矩形/三角形單元是非協(xié)調(diào)單元（相鄰單元在公共邊界上擾度是連續(xù)的但轉(zhuǎn)角不一定連續(xù)）。但實(shí)踐表明，當(dāng)單元細(xì)分，其解完全能收斂真實(shí)解。 2、 不同類型單元的節(jié)點(diǎn)自由度的理解(平面、空間) 單元類型 單元圖形 節(jié)點(diǎn)數(shù) 節(jié)點(diǎn)自由度 桿單元 2 1 梁單元 2 3 平面單元 3 2 平面四邊形 4 2 軸對(duì)稱問題 3 2 板殼單元 4 3 四面體單元 4 3 3、 有限元法的基本思想（

6、二次近似）與有限元分析的基本步驟（5步） 有限元法的基本思想: ? 先將求解域離散為有限個(gè)單元，單元與單元只在節(jié)點(diǎn)相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個(gè)單元的集合近似代替（ 第一次近似） ? 對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)（第二近似） ? 基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點(diǎn)的平衡方程（即單元?jiǎng)偠确匠蹋? ? 借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點(diǎn)物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。 有限元分析的基本步驟: ? 所研究問題

7、的數(shù)學(xué)建模 ? 物體離散（ 第一次近似） 網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元 邊界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點(diǎn)約束和節(jié)點(diǎn)載荷 要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形----單元的幾何特性2）一個(gè)單元內(nèi)的物理特性必須相同----單元的物理特性 ? 單元分析（第二近似） ? 整體分析與求解，整體分析的四個(gè)步驟： 1、）建立整體剛度矩陣； 2、）根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣； 3、）解方程組，求節(jié)點(diǎn)位移（消元法和迭代法）； 4、）根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 ? 結(jié)果分析及后處理 4、 有限元法的基本定義（節(jié)點(diǎn)、單元、節(jié)點(diǎn)力、節(jié)點(diǎn)載荷）

8、? 單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域 ? 節(jié)點(diǎn)：單元與單元間的連接點(diǎn)。 ? 節(jié)點(diǎn)力：單元與單元間通過節(jié)點(diǎn)的相互作用力 ? 節(jié)點(diǎn)載荷：作用于節(jié)點(diǎn)上的外載（等效）。 注意：1)節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別； 2） 節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)載荷的差別 5、 位移函數(shù)的構(gòu)造方法及基本條件 定義：有限單元法的基本原理是分塊近似，對(duì)每個(gè)單元選擇一個(gè)簡單的場(chǎng)函數(shù)近似表示真實(shí)場(chǎng)函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點(diǎn)上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù) 1.)廣義坐標(biāo)法

9、——構(gòu)造一維單元位移函數(shù)： 3節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù) 為待定系數(shù)，也稱為廣義坐標(biāo) 2.)插值函數(shù)法——即將位移函數(shù)表示為各個(gè)節(jié)點(diǎn)位移與已知插值基函數(shù)積的和。 一維：二維： Ni可為形函數(shù) ? 選擇位移函數(shù)的一般原則（基本條件）： 1）位移函數(shù)在單元節(jié)點(diǎn)的值應(yīng)等于節(jié)點(diǎn)位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）； 2）所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實(shí)解。 注：為了便于微積分運(yùn)算，位移函數(shù)一般采用多項(xiàng)式形式，在單元內(nèi)選取適當(dāng)階次的多項(xiàng)式可得到與真實(shí)解接近的近似解 6、 位移函數(shù)的收斂性條件（協(xié)調(diào)元、非協(xié)調(diào)元）及單元協(xié)調(diào)性的判斷 影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函

10、數(shù)誤差 ? 收斂準(zhǔn)則： 1）位移函數(shù)必須包括常量應(yīng)變（即線形項(xiàng)） ——3節(jié)點(diǎn)三角形單元為例證明 2）位移函數(shù)必須包括單元的剛體位移（即單元應(yīng)變?yōu)?時(shí)的位移）（即常量項(xiàng)）（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）， 3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)（連續(xù)性條件）, 因?yàn)榫€性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)。 4）位移函數(shù)應(yīng)使得相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)（協(xié)調(diào)性條件）,（相鄰單元在公共邊界上位移值相同）。設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù)可得：邊界上位移為 u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。 綜上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰坪瘮?shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元為協(xié)調(diào)單元 注：上述四個(gè)條件稱為有限元解收斂于真實(shí)解的

11、充分條件；前三個(gè)條件稱為必要條件。滿足四個(gè)條件的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)元；滿足前三個(gè)條件的單元稱為非協(xié)調(diào)元；滿足前兩個(gè)條件的單元稱為完備元。 7、 彈性力學(xué)的幾個(gè)基本概念（位移、應(yīng)力、應(yīng)變等） 剪應(yīng)力互等定律； 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變(或稱正應(yīng)變) 任意兩個(gè)原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變 8、 彈性力學(xué)的基本方程（平衡方程、幾何方程、物理方程）（注意基本假設(shè)/與非線性對(duì)比） 9、 虛功原理、最小勢(shì)能原理及變分法（里茲法） 外力虛功 T = 內(nèi)力虛功 U 10、形函數(shù)特點(diǎn) 即插值基函數(shù)，反映了單元的位移形態(tài)，由節(jié)點(diǎn)位

12、移求單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位移 1)形函數(shù)Ni為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。 2)形函數(shù)Ni在i節(jié)點(diǎn)處的值等于1， 而在其他節(jié)點(diǎn)上的值為0。 3)單元內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)之和恒等于1。 4)形函數(shù)的值在0—1間變化。 11、 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)及元素的物理意義 1.)對(duì)常應(yīng)變?nèi)切螁卧簡卧獎(jiǎng)偠汝嚨囊话愀袷娇杀硎緸閯t它建立了單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。 2.) 平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題中的單

13、元?jiǎng)偠染仃? 單元?jiǎng)傟嘯K]的物理意義是單元受節(jié)點(diǎn)力作用后抗變形的能力。其元素的意義為：當(dāng)?shù)趈個(gè)自由度發(fā)生單位位移，而其他自由度的位移為0時(shí)，在第i個(gè)自由度上所施加的力。若按節(jié)點(diǎn)來說明，則剛陣中每個(gè)子塊表示：當(dāng)節(jié)點(diǎn)j處發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)固定時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上所施加的力。K的腳碼，標(biāo)有“-”的表示水平方向，沒有標(biāo)“-”的表示垂直方向。 表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：1）對(duì)稱陣 2）主對(duì)角線元素恒為正值 3）奇異陣，即|K|=0， 4）所有奇數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為零。由此可見，單元?jiǎng)傟嚫髁?/p>

14、元素的總和為零。由對(duì)稱性可知，各行元素的總和也為零。

15、

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20、

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23、 12、常用單元的特性（如單元內(nèi)部邊界位移/應(yīng)變/應(yīng)力分布，相鄰單元邊界的協(xié)調(diào)性分析）（常應(yīng)變單元三角形/四面體；矩形單元；等參四邊形單元；矩形板單元） 1.) 三節(jié)點(diǎn)三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化，應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚? 應(yīng)變矩陣[B]反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)變與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系 ?

24、應(yīng)力矩陣[S]反映了單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系 ? 顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣[B]為常量矩陣，說明在該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。 2.) 矩形單元：4節(jié)點(diǎn)8自由度矩形單元。位移函數(shù) ? 該位移函數(shù)滿足收斂性條件，單元為協(xié)調(diào)元；且為等參單元 ? 應(yīng)變矩陣[B]的元素是x，y的函數(shù)，應(yīng)力也是隨x或y線性變化的。較常應(yīng)變單元有更高的計(jì)算精度 矩形板單元： 13、等參單元定義、存在條件及特性 定義：矩形單元比三角形有更高的精度，而三角形有較矩形單元更好的邊界適應(yīng)性。實(shí)際工程中，往往更希望有單元精度高、邊界適應(yīng)性好的

25、單元。等參單元具有此特點(diǎn)。即以規(guī)則形狀單元（如正四邊形、正六面體單元等）的位移函數(shù)相同階次函數(shù)為單元幾何邊界的變換函數(shù)，進(jìn)行坐標(biāo)變換所獲得的單元。由于單元幾何邊界的變換式與規(guī)則單元的位移函數(shù)有相同的節(jié)點(diǎn)參數(shù)，故稱由此獲得的單元為等參單元。借助于等參單元可以對(duì)一般任意形狀的求解域方便地進(jìn)行有限元離散。 ? 等參變換：采用相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)和形函數(shù)，將局部坐標(biāo)下的規(guī)則形狀單元轉(zhuǎn)換為總體坐標(biāo)下幾何形狀扭曲的單元，以滿足任意形狀離散的要求 存在條件及特性： ? 等參單元為協(xié)調(diào)元，滿足有限元解收斂的充要條件。 ? 等參單元存在的充要條件是：[J]稱為Jacobi矩陣，由坐標(biāo)變換式確定，當(dāng)[J]的逆存在

26、時(shí)，則形函數(shù)對(duì)x，y的導(dǎo)數(shù)可求，即應(yīng)變陣可求。 ? 為了保證能進(jìn)行等參變換(即總體坐標(biāo)與局部坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng))，通常要求總體坐標(biāo)系下的單元為凸，即不能有內(nèi)角大于或等于或接近180度情況。 ? 等參單元的優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)單元邊界呈二次以上的曲線時(shí)，容易用很少的單元去逼近曲線邊界。 ? 上述等參單元的理論公式可適應(yīng)三次以上的曲線型等參元，只是階次提高，單元自由度相應(yīng)增加，計(jì)算更復(fù)雜，積分更困難，實(shí)際中，很少超過3次曲線型。 ? 上述推導(dǎo)要求：保持坐標(biāo)變換中幾何模式階次與描述單元位移函數(shù)中形函數(shù)的階次相同。如取坐標(biāo)變換的幾何模式階次較單元的位移函數(shù)的階次高，則稱此單元為超單元，反之，

27、為亞單元。這兩類單元的收斂性也可得到滿足。 14、邊界條件處理（載荷等效移置 集中力/均布力/線性分布力 邊界位移約束處理 固定/指定位移等） 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為節(jié)點(diǎn)載荷。 載荷移置的原則：能量等效（或靜力等效原則），即單元的實(shí)際載荷與移置后的節(jié)點(diǎn)載荷在相應(yīng)的虛位移上所做的虛功相等 ? 載荷移置的方法： 1）直接計(jì)算法（靜力等效法，虛功移置法）——在線性位移模式下 2）普遍公式法——在非線性模式下 ? 無約束結(jié)構(gòu)的整體剛陣是奇異的，即整體平衡方程的解不唯一，所以， 必須引入幾何約束，才能求得

28、唯一解。位移約束常分為：節(jié)點(diǎn)固定和給定節(jié)點(diǎn)位移兩種約束。由于引入位移約束條件通常在整體剛陣及節(jié)點(diǎn)載荷形成后進(jìn)行，即此時(shí)[K]、{R}中的元素均已按一定順序分別儲(chǔ)存于相應(yīng)的數(shù)組，故引入位移約束時(shí)，要求盡量不要打亂[K]、{R}的儲(chǔ)存順序。引入約束的方法常有：1）降階法（打亂[K]{R}的儲(chǔ)存順序）2）對(duì)角元素置1法3）對(duì)角元素乘大數(shù)法 對(duì)于單元公共節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力，由于據(jù)不同單元求得的結(jié)果是不同的，必須進(jìn)行處理， 常用方法有：1）繞點(diǎn)平均法2）單位面積加權(quán)平均法3）精確計(jì)算法 15、總體剛度矩陣組裝原則及總剛陣特點(diǎn) 1）在整體離散結(jié)構(gòu)變形后，應(yīng)保證各單元在節(jié)點(diǎn)處仍然協(xié)調(diào)地相互連接，即在某一節(jié)

29、點(diǎn)處所有單元在該節(jié)點(diǎn)上有相同位移， 2）整體離散結(jié)構(gòu)各節(jié)點(diǎn)應(yīng)滿足平衡條件。即環(huán)繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有單元作用其上的節(jié)點(diǎn)力之和應(yīng)等于作用于該節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)載荷Ri， 1.) 對(duì)稱性。只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2.) 稀疏性。矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 節(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個(gè)節(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它們是5的相關(guān)節(jié)點(diǎn)。在矩陣[K]中，第5行的非零子塊只有七個(gè)(即與相關(guān)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的七個(gè)子塊)。 3.) 帶形分布規(guī)律。 矩陣[K]的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱為帶形矩陣。在半個(gè)帶形區(qū)域中(包括對(duì)角線元素在內(nèi))，每行具有

30、的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計(jì)算公式是：半帶寬 d = ( 相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值 + 1 ) * 2 利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對(duì)稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。 同一網(wǎng)格中，應(yīng)當(dāng)采用合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)省存貯容量。 16、固有頻率與特征向量（振型）定義及理解、振型特性(正交性) 二、基本計(jì)算及證明 1、 等效載荷計(jì)算 第三講 45/71 2、 單元?jiǎng)傟囉?jì)算 在單元?jiǎng)傟?中，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，單元e在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力；類似，在整體剛陣中，表示j節(jié)點(diǎn)單位位移，其他節(jié)點(diǎn)位移為零時(shí)，整體結(jié)構(gòu)在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力（由

31、于結(jié)構(gòu)已被離散為一系列單元，即所有與i、j節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元在i節(jié)點(diǎn)引起的節(jié)點(diǎn)力之和）。 如：計(jì)算時(shí)，與節(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元①和③，當(dāng)節(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時(shí)，相關(guān)單元①和③同時(shí)在節(jié)點(diǎn)2引起節(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在節(jié)點(diǎn)2的節(jié)點(diǎn)力 3、 總體剛度矩陣組裝 1.) 結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)編碼稱為節(jié)點(diǎn)的總碼，各個(gè)單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)又按逆時(shí)針方向編為i,j,m,稱為節(jié)點(diǎn)的局部碼。在單元?jiǎng)偠染仃囍?，把?jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列。得到擴(kuò)大的單元?jiǎng)偠确匠? 2.) 據(jù)節(jié)點(diǎn)力平衡，各個(gè)單元相應(yīng)節(jié)點(diǎn)力疊加=節(jié)點(diǎn)載荷： 3.) 整理可得整體平衡方

32、程：，其中[K]為將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加所得出的結(jié)構(gòu)剛度矩陣 4、 單元協(xié)調(diào)性證明 (相鄰單元在公共邊界上位移值相同）。設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B，代入位移函數(shù), u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。 5、 振型正交性證明 正交性：任意兩個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量關(guān)于質(zhì)量矩陣或剛度矩陣正交。即設(shè) , 三、工程結(jié)構(gòu)的有限元建模與結(jié)果分析 1、 影響有限元分析精度和成本的因素 影響有限元解的誤差：1）離散誤差 2）位移函數(shù)誤差 單元類型和形態(tài)，網(wǎng)格劃分，節(jié)點(diǎn)編號(hào)，位移函數(shù)選擇 2、 有限元模型的基本構(gòu)成（節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、單元數(shù)據(jù)、邊界條件等） 3、 有限元建模的常用方法理解及應(yīng)

33、用（如分步計(jì)算、局部計(jì)算、子結(jié)構(gòu)法、對(duì)稱性簡化等） 4、 單元類型選擇的一般原則 單元選擇包括兩方面的內(nèi)容： 1、）單元類型（桿、梁、板、殼、平面、實(shí)體…） 2、）單元自由度（低階單元、高階單元） 選擇原則：同一問題所選單元應(yīng)使計(jì)算精度高、收斂速度快、計(jì)算量小。 桿系結(jié)構(gòu)：a、鉸接連接時(shí)，選桿單元1; b、剛性連接時(shí)，選剛架單元（梁單元3） 平面結(jié)構(gòu)：a、外載平行于平面內(nèi)，選平面單元2; b、外載不在平面內(nèi)，選彎曲板殼單元3 空間結(jié)構(gòu)：a、結(jié)構(gòu)和受力具有軸對(duì)稱性，選軸對(duì)稱單元3; b、一般實(shí)體，選三維實(shí)體單3 5、 網(wǎng)格劃分的基本原則及網(wǎng)格劃分方案分析、網(wǎng)格形態(tài)基本要求（不同劃分方案優(yōu)劣比較） 劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟(jì)性，合理的網(wǎng)格劃分應(yīng)同應(yīng)力梯度（應(yīng)力變化率）相一致,在應(yīng)力梯度大（應(yīng)力急劇變化）的區(qū)域，單元小些，網(wǎng)格密些，而且網(wǎng)格劃分應(yīng)由密到疏逐漸過度。