(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2

《(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《(新課程)高中數(shù)學(xué)《第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估新人教A版選修1-2（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教 A 版）選修 1-2 《第三章 數(shù)系的 擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》章末質(zhì)量評(píng)估 ( 時(shí)間： 100 分鐘 滿分： 120 分 ) 一、選擇題 ( 本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一 項(xiàng)是正確的 ) 1． a＝ 0 是復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi( a，b∈ R) 為純虛數(shù)的 ( ) ． A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 復(fù)數(shù) z＝ a＋ bi( a， b∈ R) 為純虛數(shù)的充要條

2、件是 a＝0 且 b≠0. 答案 B 2．復(fù)數(shù) 1－ i 2 ＋ i( ， ∈R， i 是虛數(shù)單位 ) ，則 a 2 b 2 的值為 ＝ － 2 a b a b ( ) ． A． 0 B ．1 C ． 2 D ．－ 1 1－i 2 1－ 2i ＋ i 2 解析 ＝ ＝－ i ＝ a＋ bi. 2 2 2 2 所以 a＝ 0， b＝－ 1，所以 a －b ＝ 0－ 1＝－ 1.

3、 3．已知復(fù)數(shù) z ＝ 3＋ 4i ， z ＝ t ＋i ，且 z z 是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) t 等于 1 2 1 2 ( ) ． 3 4 A. 4 B. 3 4 3 C．－ 3 D．－ 4 解析 z z ＝ (3 ＋ 4i)(

4、 t － i) ＝ (3 t ＋ 4) ＋ (4 t － 3)i. 因?yàn)?z z 是實(shí)數(shù)， 所以 4t － 3 1 2 1 2 ＝ 0，所以 t ＝ 3 4. 因此選 A. 答案 A 4．如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 1＋ 2i ，－ 2＋ i,0 ，那么這 個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

5、 ( ) ． 1 A． 3＋ i B． 3－i C． 1－ 3i D．－ 1＋ 3i → → → 解析 OC＝ OA ＋ OB ＝ 1＋ 2i －2＋ i ＝－ 1＋ 3i ，所以 C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－ 1＋ 3i. 答案 D 5．設(shè) z∈C，若 z2 為純虛數(shù)，則 z 在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在 ( ) ．

6、 A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．直線 y＝ x( x≠0) 上 D．以上都不對(duì) 解析 設(shè) z＝ x＋ yi( x， y∈ R) ， 則 z2＝ ( x＋yi) 2＝ x2－ y2＋2xyi. ∵ z2 為純虛數(shù)，∴ x2－ y2＝ 0， xy≠0. ∴ y＝ x( x≠0) ． 答案 C 1

7、 6．已知復(fù)數(shù) z＝ x＋yi( x， y∈R， x≥ 2) ，滿足 | z－1| ＝ x，那么 z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) ( x， y) 的軌跡是 ( ) ． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 ∵ z＝ x＋ yi( 1 x， y∈R，x≥ ) ，滿足 | z－ 1| ＝ x， 2

8、 ∴ ( x － 1) 2＋ y 2＝ x 2，故 y 2＝ 2 － 1. x 答案 D 7．當(dāng) z＝－ 1－ i 時(shí)， z100＋ z50 ＋1 的值等于 2 ( ) ． A． 1 B．－ 1 2 C． i D．－ i 2 1－ i 2 － 2i 解析 ∵ z ＝ 2 ＝ 2 ＝－ i. ∴ z100＋z50

9、＋ 1＝ ( －i) 50＋ ( － i) 25＋ 1＝ i 50－ i 25＋ 1＝－ i. 答案 D 8．復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，將點(diǎn) A 繞坐標(biāo)原點(diǎn)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) π ，再向左平 A 2 移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位，得到 B 點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， 則復(fù)數(shù) z 為

10、 () ． A．－ 1 B． 1 C． i D．－ i 解析 設(shè) z＝a＋ bi ，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z1，則 z1＝ ( a＋bi)i － 1－ i ＝ ( － b－1) ＋ ( a－ 1)i ， ∵點(diǎn) B 與點(diǎn) A 恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱， － b－1＝－ a， ∴ a－ 1＝－ b， a＝ 1， ∴ ∴ z＝ 1. b＝ 0， 答案 B 9．如果復(fù)數(shù) z 滿足 | z＋ i| ＋| z－ i| ＝2，

11、那么 | z＋ 1＋ i| 的最小值是 ( ) ． A． 1 B. 2 C． 2 D. 5 解析 | z＋i| ＋ | z－ i| ＝ 2，則點(diǎn) Z 在以 (0,1) 和 (0 ，－ 1) 為端點(diǎn)的線段上， | z＋1＋ i| 表示點(diǎn) Z 到( － 1，－ 1) 的距離．由圖知最小值為 1. 答案 A 10．設(shè) z1， z2 是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) ． A．若 z21＋z22>0，則 z21>－z22 3

12、B． | z 1－ 2| ＝ z 1＋ z 2 2－ 4 1 2 z z z 2 2 C． z1＋ z2＝ 0? z1＝ z2＝ 0 － D． | z 2 | z | 2 | ＝ 1 1 解析 A 錯(cuò)，反例： z1＝ 2＋ i ， z2＝ 2－ i ； B 錯(cuò)，反例： z1＝ 2＋ i ， z2＝ 2－ i ； C 錯(cuò)，反例： z1

13、＝ 1， z2＝ i ； D 正確， z1＝ a＋ bi ， － 2 2 2 ，| z 2 2 2 則 | z | ＝ a ＋ b | ＝ a ＋ b ， 1 1 － 2 2 故 | z1| ＝ | z 1| . 答案 D 二、填空題 ( 本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分．把正確的答案填在題中橫線上) 1 11．在復(fù)平面內(nèi)，已

14、知復(fù)數(shù) z＝ x－ 3i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是 ________． 解析 ∵ z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z x，－ 1 都在單位圓內(nèi)， 3 ∴ | OZ|<1 ，即 x 2 － 1 2 <1. ＋ 3 2 1 2 8 2 2 2 2 ∴ x ＋

15、 9<1，∴ x <9，∴－ 3

16、 解 析 由 定 義 運(yùn) 算 ， 得 z 1 ＝ 2 i － z ＝ 3 ＋ 2i ， 則 z ＝ 3＋ 2i ＝ z 2i z － 1＋ 2i ＋ － 1－ 1 8 － 1＋ － 1－ ＝ 5－ 5i. 1 8 答案 5－5i x y 5 13．設(shè) x，y 為實(shí)數(shù)，且 1－ i ＋ 1－ 2i ＝ 1－ 3i ，則

17、x＋ y＝ ________. 4 解 析 －  x y 5 x ＋ y ＋ 1－i ＋ 1－ 2i ＝ 1－ 3i ? － ＋ ＋ ＋ － ＝ 1 1 1 ＋ 1 1 1 2x＋ 5y＝2， ＋ ? 2 x(1 ＋ i) ＋ 5 y(1 ＋ 2i) ＝ 2(1 ＋ 3i) ? 1 2y

18、 3 解得 2x＋ 5 ＝2， x＝－ 1， y＝ 5， 所以 x＋ y＝ 4. 答案 4 14．已知復(fù)數(shù) z ＝ 3＋ 2i ，復(fù)數(shù) z 滿足 zz ＝ 3z＋ z ，則復(fù)數(shù) z＝ ________. 0 0 0 z03＋2i 3i － 23 解析 z＝z0－3＝ 2i ＝ － 2 ＝ 1－ 2i 3 答案 1－2i 三、解答題 ( 本題共 5 小題，共 54 分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 ) － －

19、 15． (10 分) 若 f ( z) ＝ 2z＋ z － 3i ， f ( z ＋ i) ＝ 6－ 3i ，試求 f ( － z) ． － 解 f ( z) ＝2z＋ z － 3i ， － － － ∴ f ( z ＋ i) ＝ 2( z ＋ i) ＋ z ＋ i － 3i － ＝ 2 z ＋ 2i ＋ z－ i －3i － ＝ 2 z ＋ z－2i. － 又知 f ( z ＋ i) ＝ 6－3i ， － ∴ 2 z ＋ z－2i ＝ 6－3i ， － 設(shè) z＝ a＋bi( a、 b∈R) ，則 z ＝ a－

20、 bi ， ∴ 2( a－ bi) ＋ ( a＋ bi) － 2i ＝ 6－ 3i ，即 3a－ ( b＋ 2)i ＝ 6－ 3i ， 3a＝ 6， a＝ 2， 由復(fù)數(shù)相等的定義，得 解得 b＋ 2＝ 3. b＝ 1. 5 ∴ z＝ 2＋ i. 故 f ( － z) ＝ f ( － 2－i) ＝ 2( － 2－ i) ＋( － 2＋ i) － 3i ＝－ 6－ 4i. 2 ＋ ＋ － 2 16． (10 分) 設(shè)復(fù)數(shù) z＝ ，若 z ＋ az＋ b＝ 1＋ i ，求實(shí)數(shù) a、b 的值． 解 z＝ ＋ 2

21、＋ －2i ＋ － 2＋ i ＝ 2 ＋ i 3－ i － － ＝ 1－ i. ＝ 2＋ i ＝ ＋ － 將 z ＝ 1－i 代入 z 2＋ az ＋ ＝ 1＋ i ，得 b (1 － i) 2＋ a(1 － i) ＋b＝ 1＋ i ， ( a＋ b) － ( a＋ 2)i ＝1＋ i ， a＋ b＝ 1， 所以 － a＋ ＝ 1. a＝－ 3， 所以

22、 b＝ 4. 17． (10 分) 已知 z 是復(fù)數(shù)， z ＋ 2i 、 z 均為實(shí)數(shù) (i 為虛數(shù)單位 ) ，且復(fù)數(shù) ( z ＋ i) 2 在復(fù)平 2－ i a 面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 解 設(shè) z＝x＋ yi( x， y∈ R) ， ∵ z＋ 2i ＝x＋ ( y＋ 2)i ，由題意得 y＝－ 2. z x－ 2i 1

23、 ∵ 2－ i ＝ 2－ i ＝ 5( x－ 2i)(2 ＋ i) 1 1 ＝ 5(2 x＋ 2) ＋ 5( x－4)i. 由題意得 x＝ 4，∴ z＝ 4－ 2i. ∵ ( z＋ ai) 2＝ (12 ＋ 4a－ a2) ＋ 8( a－ 2)i. 12＋ 4a－ a2>0 根據(jù)條件，可知 ，解得 2< <6. a－ a ∴實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (2,6) ． 18． (12 分) 在復(fù)平面內(nèi) A， B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為 1,2 ＋ i ，－ 1＋ 2i

24、. → → → (1) 求 AB ， B C， AC對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)； (2) 判斷△ ABC的形狀； (3) 求△ ABC的面積． → 解 (1) AB 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 6 zB－ zA＝ (2 ＋ i) － 1＝ 1＋i. → B C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 zC－ zB＝ ( － 1＋ 2i) － (2 ＋ i) ＝－ 3＋ i. → A C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 C A － 1＝－ 2＋ 2i. z － z ＝ ( － 1＋ 2i) → (2)| AB | ＝|1 ＋

25、i| ＝ 2， → | B C| ＝ | －3＋ i| ＝ 10， → | A C| ＝ | －2＋ 2i| ＝ 8. → → → ∴ | A B | 2＋ | AC| 2＝ | BC| 2， ∴∠ A為直角，△ ABC為直角三角形． → → 1 1 (3) S△ABC＝2| A B || AC| ＝ 2 2 8＝ 2. － － 19． (12 分) 已知 z1＝x＋ yi ， z 1＝ x－ yi( x、y∈ R) 且 x2＋ y2＝ 1，z2＝ (3 ＋ 4i) z1＋ (3 － 4i) z

26、 1. (1) 求證： z2∈ R； (2) 求 z2 的最大值和最小值． － (1) 證明 ∵ z1＝ x＋yi ， z 1＝ x－ yi( x， y∈R) ， － － ∴ z1＋ z 1＝ 2x， z1－ z 1＝ 2yi. － ∴ z2＝ (3 ＋4i) z1＋ (3 －4i) z 1， － － ＝ 3( z1＋ z 1) ＋ 4i( z1－ z 1) ． ＝ 6x＋ 8yi 2＝ (6 x－ 8y) ∈ R. (2) 解 ∵x2＋ y2＝ 1， 設(shè) u＝ 6x－8y，代入 x2＋ y2＝ 1 消

27、去 y 得 64x2＋ (6 x－ u) 2＝ 64. ∴ 100x2－ 12ux＋ u2－ 64＝ 0. 7 ∵ x∈ R，∴ ≥0. ∴ 144u2－4100( u2－64) ≥0. ∴ u2－100≤0. ∴－ 10≤ u≤10. ∴ z2 的最大值是 10，最小值是－ 10. 8