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1、
第 31 講 等差數(shù)列的概念及基本運算
1.(2011 江西卷 ) 設 { a } 等差數(shù)列，公差
d＝－ 2， S 其前 n 和，若
S ＝ S ，
則
1＝ (
n
n
1011
)
a
A． 18
B ． 20
C． 22
D ． 24
2. 若數(shù)列 { an} 的前 n 和 Sn＝ an2＋n( a∈ R) ， 下列關于數(shù)列 { an} 的 法正確的是
2、
( )
A． { an} 一定是等差數(shù)列
B． { an} 從第二 開始構成等差數(shù)列
C． a≠0 ， { an} 是等差數(shù)列
D．不能確定其是否 等差數(shù)列
3. 等差數(shù)列 { an} 的前 n 和 Sn，且 6S5－ 5S3＝ 5， a4＝ ( )
1
A． 1 B. 3
1
1
C. 2 D ．－ 3
4.(2012
3、 廣 卷
) 已知 增的等差數(shù)列
{ a
} 足 a
＝ 1 ， a
2
－ 4，
a
＝
＝ a
n
1
3
2
n
__________．
n
1
n＋1
n
n＋ 1
n
__________．
5. 已知數(shù)列 { a } 中， a
＝－ 1， a a ＝ a
－ a ， 數(shù)列的通 公式
3
1
6
6. 設 Sn 是等差數(shù)列 { a
4、n} 的前 n 和，若
S
S
＝ ，
＝__________ ．
S6
3
S12
7.(2012 廣 省肇 市第一次模
) 已知數(shù)列
n
2
5
{ a } 是一個等差數(shù)列， 且 a ＝ 1，a ＝－
5.
(1) 求 { an} 的通 an；
n
＝
5－ an
nn
2 12 22 3
2 n
(2) 設 c
2 ， b ＝ 2c ，求
5、T＝log b ＋ log b ＋log b ＋?＋ log b 的 ．
1
Sn
1. 等差數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，且 a4－ a2＝8，a3＋ a5＝ 26. 記 Tn＝ n2，如果存在正整
數(shù) M，使得對一切正整數(shù) n，Tn ≤M都成立，則 M的最小值是 ______ ．
2.(2012 湖北省重點教學全作學校 ) 等差數(shù)列 { an} 的前 n 項和為 Sn，滿足 S20＝ S40，
則下列結論中正確的選項為 ______．
① S30 是 Sn 中的最大值
6、； ② S30 是 Sn 中的最小值；
③ S30＝0; ④ S60＝ 0.
3. 已知數(shù)列 { n} 中， 1＝
3
， n＝ 2－
1
( ≥2， ∈ N* ) ，數(shù)列 {
n} 滿足
n＝
1
( ∈ N* ) ．
aa
5
a
a
nn
b
b
a
n
n－ 1
－ 1
n
(1) 求證： { bn} 是等差數(shù)列；
(2) 求數(shù)列 { an} 中的最大項與最小項，并說明理由．
7、
2
第 31 講
鞏固
1． B 2.A 3.B
4． 2 － 1 解析： 公差
(
>0) ， 1＋ 2 ＝ (1 ＋
) 2－4，解得
＝ 2，所以
a
n＝ 2
n
d d
d
d
d
n
－ 1.
1
8、5．－ n
解析：由 an＋ 1 an＝ an＋ 1－ an，得 1 － 1 ＝1，
an an＋ 1
即
1 －
1
＝－ 1，又
1 ＝－ 1，
a ＋1
a
a1
n
n
1
數(shù)列 { } 是以－ 1 首 和公差的等差數(shù)列，
an
1 1
于是 an ＝－ 1＋ ( n－1) ( － 1) ＝－ n，所以 an＝－ n.
3
6.
10
解析：由等差數(shù)列的求和公式可得，
3
3 1＋ 3
1
9、
S＝
a
d
＝ ，可得 a1＝ 2d 且 d≠0.
S6
6a1＋ 15d
3
6
6 1＋15
27
3
所以 S ＝
a
d ＝
d＝ .
S12
12a1＋ 66d
90d
10
7．解析： (1)
設{
a
n}
10、 的公差
，由已知條件，
d
a1＋ d＝ 1
，解得
a1＝3
，
a ＋ 4d＝－ 5
d＝－ 2
1
所以 an＝a1＋ ( n－
11、1) d＝－ 2n＋5.
5－
a
n
5－（－ 2 ＋ 5）
n
n
＝
2
＝
n
＝ n，
(2) 因 a ＝－ 2n＋5，所以 c
2
所以 bn＝2cn＝ 2n，
所以 T＝log
b ＋ log
b ＋ log
b ＋?＋ log
12、b ＝ log
2＋ log 2
2
3
n
＝ 1＋
＋ log
2 ＋?＋ log 2
2
1
2
2
2
3
2
n
2
2
2
2
n（ n＋1）
.
2＋ 3＋?＋ n＝
2
13、
提升能力
1． 2
解析：因 { an} 等差數(shù)列，由 a4－ a2＝ 8， a3 ＋a5＝ 26，可解得 a1＝ 1， d＝4，從而 Sn
3
＝2n2－ n，所以 Tn＝2－ 1n，若 Tn≤ M對一切正整數(shù) n 恒成立，則只需 Tn 的最大值≤ M即可．又
1
Tn＝2－ n<2，所以只需 2≤ M，故 M的最小值是 2.
2．④
解析：因為 S ＝ na ＋
n（ n－ 1）
d 2
d
2
d＝ 2n ＋( a － 2) n，
14、
n
1
1
當 d>0 時， S20＝ S40，則 S30 為最小值；若 d<0， S20＝ S40，則 S30 為最大值；
因此 S30 不一定為 0，因此①②③不正確；
在等差數(shù)列 { an} 中， S20， S40－ S20， S60－ S40 成等差數(shù)列．
所以 2( S40－ S20) ＝ S20＋ S60－ S40，又 S40＝ S20? S60 ＝0，
故選項④正確．
3．解析： (1)
證明： bn＋1－ bn＝
1
1
－
n＋1
－ 1
15、
n
－1
a
a
＝
1
－
1
2－
n
1 －1
a － 1
an
＝
an
－
1
an－ 1
an－ 1
＝ 1，
所以 { bn} 是公差為 1 的等差數(shù)列．
(2) 由 (1) 知， bn＝b1＋ ( n－1) 1
＝
1
＋ ( n－ 1) ＝ n－
7，
16、3
2
5－ 1
所以
1
7
n
2n－ 5
＝ n－ ，所以 a ＝
，
a
－1
2
2 － 7
n
n
1
，
又 a ＝ 1＋
n
7
n－
2
1
由函數(shù) y＝ 1＋ 7的圖象可知，
x－ 2
4
n＝ 4 時， an 最大； n＝ 3 時， an 最小，
所以最大項為 a4，最小項為 a3.
5
【學海導航】2014版高考數(shù)學一輪總復習第31講等差數(shù)列的概念及基本運算同步測控文
