《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案
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1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一部份 習(xí)題 第一章 概率論基本概念 一、填空題 1、設(shè) A,B, C 為 3 事件,則這 3 事件中恰有 2 個(gè)事件發(fā)生可表示為 。 2、設(shè) P( A) 0.1, P( A B) 0.3 ,且 A 與 B 互不相容,則 P( B) 。 3、口袋中有 4 只白球, 2 只紅球,從中隨機(jī)抽取 3 只,則取得 2 只白球, 1 只紅球的概率 為 。
2、 4、某人射擊的命中率為 0.7,現(xiàn)獨(dú)立地重復(fù)射擊 5 次,則恰有 2 次命中的概率為 。 5、某市有 50%的住戶訂晚報(bào),有 60%的住戶訂日?qǐng)?bào),有 80%的住戶訂這兩種報(bào)紙中的一 種,則同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的百分比為 。 6、設(shè) A,B 為兩事件, P( A) 0.7, P( AB ) 0.3 ,則 P( A B ) 。 7、同時(shí)拋擲 3 枚均勻硬幣,恰有 1 個(gè)正面的概率為 。 8 A , B 為兩事件, P( A) 0
3、.5, P( A B) 0.2 ,則 P( AB) 。 、設(shè) 9、 10 個(gè)球中只有 1 個(gè)為紅球,不放回地取球,每次 1 個(gè),則第 5 次才取得紅球的概率 為 。 10、將一骰子獨(dú)立地拋擲 2 次,以 X 和 Y 分別表示先后擲出的點(diǎn)數(shù),A X Y 10 B X Y ,則 P(B | A) 。 11、設(shè) A, B 是兩事件,則 A, B 的差事件為 。
4、 12、設(shè) A, B, C 構(gòu)成一完備事件組, 且 P( A) 0.5, P( B ) 0.7, 則 P(C ) ,P( AB) 。 13、設(shè) A 與 B 為互不相容的兩事件, P( B) 0, 則 P( A | B) 。 14、設(shè) A 與 B 為相互獨(dú)立的兩事件,且 P( A) 0.7, P(B) 0.4 ,則 P( AB) 。 15、設(shè) A, B 是兩事件, P( A) 0.9, P( AB ) 0.36, 則 P( AB ) 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 1 頁(yè)(共 57 頁(yè))
5、 16、設(shè) A, B 是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件, P( A) 0.2, P(B) 0.4, 則 P( A B) 。 17、設(shè) A, B 是兩事件, 如果 A B ,且 P( A) 0.7, P(B) 0. 2 ,則 P( A | B) 。 18、設(shè) P( A) 1 , P(B) 1 , P( A B) 1 ,則 P( A B ) 。 3 4 2 19、假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占 60%, 30%,10%。從中隨機(jī)取一件,結(jié)果不是 三等品,則為一等品的概率為 20、將 n
6、個(gè)球隨機(jī)地放入 n 個(gè)盒子中,則至少有一個(gè)盒子空的概率為 。 二、選擇題 1、設(shè) P( AB) 0 ,則下列成立的是 ( ) ① A 和 B不相容 ② A 和 B 獨(dú)立 ③ P( A) 0orP (B) 0 ④ P( A B) P( A) 2 A, B,C 是三個(gè)兩兩不相容的事件,且 P( A) P( B) P(C ) a ,則 a 的最大值為 、設(shè) ()
7、 ① 1/2 ② 1 ③ 1/3 ④ 1/4 3、設(shè) A 和 B 為 2 個(gè)隨機(jī)事件,且有 P(C | AB) 1 ,則下列結(jié)論正確的是 ( ) ① P(C ) P( A) P(B) 1 ② P(C ) P( A) P( B) 1 ③P(C ) P( AB) ④P(C ) P( A B) 4、下列命題不成立的是 ( ) ① A B AB B ② A B A
8、 B ③ ( AB)( AB ) ④ A B B A 5、設(shè) A, B 為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件, P( A) 0, P( B) 0 ,則有 ( ) ① P( A) 1 P(B) ② P( A | B) 0 ③ P( A | B ) 1 P( A) ④ P( A | B) P(B) 6、設(shè) A, B 為兩個(gè)對(duì)立的事件, P( A) 0, P(B) 0 ,則不成立的是 ( ) ① P( A) 1 P(B) ② P( A | B
9、) 0 ③ P( A | B ) =0 ④ P( AB ) 1 7、設(shè) A, B 為事件, P( A B) P( A) P( B) 0 ,則有 ( ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 2 頁(yè)(共 57 頁(yè)) ① A 和 B不相容 ② A 和 B 獨(dú)立 ③ A 和 B相互對(duì)立 ④ P( A B) P( A) 8、設(shè) A, B 為兩個(gè)相互獨(dú)立的事件, P( A) 0, P( B) 0 ,則 P( A B) 為( ) ① P( A) P(B) ② 1 P( A) P(B ) ③
10、1 P( A) P(B ) ④ 1 P( AB) 9、設(shè) A, B 為兩事件,且 P( A) 0.3 ,則當(dāng)下面條件( )成立時(shí),有 P(B) 0.7 ① A 與 B 獨(dú)立 ② A 與 B 互不相容 ③ A 與 B 對(duì)立 ④ A 不包含 B 10、設(shè) A, B 為兩事件,則 ( A B)( A B ) 表示( ) ①必然事件 ②不可能事件 ③ A 與 B 恰有一個(gè)發(fā)生 ④ A 與 B 不同時(shí)發(fā)生 11、每次試驗(yàn)失敗的概率為 p(0 p 1) ,則在 3 次重復(fù)試驗(yàn)中至少成功一次的概率為
11、 ( ) ① 3(1 p) ② (1 p)3 ③ 1 p3 ④ C31 (1 p) p2 12、 10 個(gè)球中有 3 個(gè)紅球 7 個(gè)綠球,隨機(jī)地分給 10 個(gè)小朋友,每人一球,則最后三個(gè)分 到球的小朋友中恰有一個(gè)得到紅球的概率為( ) ① C 31 ( 3 ) ② ( 3 )( 7 )2 ③ C 31 ( 3 )( 7 ) 2 ④ C31C72 10 10 10 10 10 C103
12、13、設(shè) P( A) 0.8, P( B) 0.7, P( A | B) 0.8 ,則下列結(jié)論成立的是( ) ① A與 B 獨(dú)立 ② A與 B 互不相容 ③ B A ④ P( A B) P( A) P( B) 14、設(shè) A, B,C 為三事件,正確的是( ) ① P( AB ) 1 P( AB) ② P( A B ) P( A) P( B) 1 ③ P( ABC ) 1 P( AB C ) ④ P(
13、 A B) P( BA) 15、擲 2 顆骰子,記點(diǎn)數(shù)之和為 3 的概率為 p ,則 p 為( ) ① 1/2 ② 1/4 ③ 1/18 ④ 1/36 16、已知 A, B 兩事件的概率都是 1/2, 則下列結(jié)論成立的是( ) ① P( A B) 1 ② P( AB ) 1 ③ P( AB ) P( AB) ④ P( AB) 1 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 3 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 17、
14、 A, B, C 為相互獨(dú)立事件, 0 P(C ) 1,則下列 4 對(duì)事件中不相互獨(dú)立的是( ) ① A B 與 C ② A B 與 C ③ AB 與 C ④ AC 與 C 18、對(duì)于兩事件 A, B ,與 A B B 不等價(jià)的是( ) ① A B ② AB ③ A B ④ B A 19、對(duì)于概率不為零且互不相容的兩事件 A, B ,則下列結(jié)論正確的是( ) ① A 與 B 互不相容 ② A 與 B 相容 ③ P( AB ) P( A)P(B) ④
15、 P( A B) P(A) 三、計(jì)算題 1、某工廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品共有 100 個(gè),其中有 5 個(gè)次品。從中取 30 個(gè)進(jìn)行檢查,求次品 數(shù)不多于 1 個(gè)的概率。 2、某人有 5 把形狀近似的鑰匙,其中有 2 把可以打開房門,每次抽取 1 把試開房門,求 第三次才打開房門的概率。 3、某種燈泡使用 1000 小時(shí)以上的概率為 0.2,求 3 個(gè)燈泡在使用 1000 小時(shí)以后至多有 1 個(gè)壞的概率。 4、甲、乙、丙 3
16、臺(tái)機(jī)床加工同一種零件,零件由各機(jī)床加工的百分比分別為 45%, 35%, 20%。各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次為85% , 90%, 88%,將加工的零件混在一起,從中隨 機(jī)抽取一件,求取得優(yōu)質(zhì)品的概率。若從中取 1 個(gè)進(jìn)行檢查,發(fā)現(xiàn)是優(yōu)質(zhì)品,問是由哪臺(tái) 機(jī)床加工的可能性最大。 6 、 某 人 買 了 A, B, C 三 種 不 同 的 獎(jiǎng) 券 各 一 張 , 已 知 各 種 獎(jiǎng) 券 中 獎(jiǎng) 的 概 率 分 別 為 0. 03,0.01,0.02 ;并且各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的。如果只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)則此人一定 賺錢,求此人賺錢的
17、概率。 7、教師在出考題時(shí),平時(shí)練習(xí)過的題目占 60% ,學(xué)生答卷時(shí),平時(shí)練習(xí)過的題目在考試 時(shí)答對(duì)的概率為 95%,平時(shí)沒有練習(xí)過的題目在考試時(shí)答對(duì)的概率為 30%。求答對(duì)而平時(shí) 沒有練習(xí)過的概率 8、有兩張電影票, 3 人依次抽簽得票。求每個(gè)人抽到電影票的概率。 9、有兩張電影票, 3 人依次抽簽得票,如果第 1 個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開,由第 2 個(gè)人抽的 結(jié)果去猜測(cè)第 1 個(gè)人抽的結(jié)果。問:如果第 2 個(gè)人抽到電影票,問第 1 個(gè)人抽到電影票的 概率。 10、一批產(chǎn)品的次品率為 0.1,
18、現(xiàn)任取 3 個(gè)產(chǎn)品,問 3 個(gè)產(chǎn)品中有幾個(gè)次品的概率的可能 性最大。 11、有 5 個(gè)除顏色外完全相同的球,其中三個(gè)白色,兩個(gè)紅色。從中任取兩個(gè), ( 1)求這 兩個(gè)球顏色相同的概率; ( 2)兩球中至少有一紅球的概率。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 4 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 12、設(shè) A, B 是兩個(gè)事件,用文字表示下列事件: A B , A B, AB, AB 。 13、從 1~100 這 100 個(gè)自然數(shù)中任取 1 個(gè),求( 1)取到奇數(shù)的概率; ( 2)取到的數(shù)能被 3 整除的概率;( 3)取到的數(shù)能被 6 整除的偶
19、數(shù)。 14、對(duì)次品率為 5%的某箱燈泡進(jìn)行檢查,檢查時(shí),從中任取一個(gè),如果是次品,就認(rèn)為這箱燈泡不合格而拒絕接受,如果是合格品就再取一個(gè)進(jìn)行檢查,檢查過的產(chǎn)品不放回,如此進(jìn)行五次。如果 5 個(gè)燈泡都是合格品,則認(rèn)為這箱燈泡合格而接受,已知每箱燈泡有 100 個(gè),求這箱燈泡被接受的概率。 15、某人有 5 把形狀近似的鑰匙,其中只有 1 把能打開他辦公室的門,如果他一把一把地 用鑰匙試著開門,試過的鑰匙放在一邊,求( 1)他試了 3 次才能打開他辦公室的門的概 率;( 2)他試了 5 次才能打開他辦公室的門的概率 16、 10 個(gè)塑料球中有 3 個(gè)黑色, 7
20、個(gè)白色,今從中任取 2 個(gè),求已知其中一個(gè)是黑色的條 件下,另一個(gè)也是黑色的概率。 17、裝有 10 個(gè)白球, 5 個(gè)黑球的罐中丟失一球,但不知是什么顏色。為了猜測(cè)丟失的球是 什么顏色,隨機(jī)地從罐中摸出兩個(gè)球,結(jié)果都是白色球,問丟失的球是黑色球的概率。 18、 設(shè)有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ號(hào)盒中裝有 14 個(gè)黑球, 6 個(gè)白球;Ⅱ號(hào)盒中裝有 5 個(gè)黑球 ,25 個(gè)白球;Ⅲ號(hào)盒中裝有 8 個(gè)黑球, 42 個(gè)白球?,F(xiàn)從三個(gè)盒子中任取一盒,再?gòu)闹腥稳∫磺?,? ( 1)取到的球?yàn)楹谏虻母怕剩? ( 2)如果取到的球?yàn)楹谏?,求它是取自Ⅰ?hào)盒的概率。 1
21、9、三種型號(hào)的圓珠筆桿放在一起,其中Ⅰ型的有 4 支,Ⅱ型的有 5 支,Ⅲ型的有 6 支; 這三種型號(hào)的圓珠筆帽也放在一起,其中Ⅰ型的有 5 個(gè),Ⅱ型的有 7 個(gè),Ⅲ型的有 8 個(gè)。 現(xiàn)在任意取一個(gè)筆桿和一個(gè)筆帽,求恰好能配套的概率。 20、有兩張電影票, 3 人依次抽簽得票,如果第 1 個(gè)人抽的結(jié)果尚未公開,由第 2 個(gè)人抽 的結(jié)果去猜測(cè)第 1 個(gè)人抽的結(jié)果。問:如果第 2 個(gè)人抽到電影票,問第 1 個(gè)人抽到電影票 的概率。 21、甲、乙、丙、丁 4 人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼, 他們能譯出的概率
22、分別為 0.2 , 0.3 , 0.4 , 0.7, 求此密碼能譯出的概率是多少。 22、袋中 10 個(gè)白球, 5 個(gè)黃球, 10 個(gè)紅球,從中取 1 個(gè),已知不是白球,求是黃球的概 率。 23、設(shè)每次試驗(yàn)事件 A發(fā)生的概率相同, 已知 3 次試驗(yàn)中 A至少出現(xiàn)一次的概率為 19/27, 求事件 A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率。 24、甲、乙、丙 3 臺(tái)機(jī)床獨(dú)立工作,由 1 個(gè)人看管,某段時(shí)間甲、乙、丙 3 臺(tái)機(jī)床不需看 管的概率分別為 0.9, 0.8, 0.
23、85,求在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)床因無(wú)人看管而停工的概率。 25、一批產(chǎn)品共有 100 件,對(duì)其進(jìn)行檢查,整批產(chǎn)品不合格的條件是:在被檢查的 4 件產(chǎn) 品中至少有 1 件廢品。如果在該批產(chǎn)品中有 5%是廢品,問該批產(chǎn)品被拒收的概率是多少。 26、將 3 個(gè)球隨機(jī)地放入 4 個(gè)杯子中,求杯子中球的個(gè)數(shù)的最大值為 2 的概率。 27、甲、乙 2 班共有 70 名同學(xué), 其中女同學(xué) 40 名,設(shè)甲班有 30 名同學(xué), 而女同學(xué) 15 名, 求碰到甲班同學(xué)時(shí),正好碰到女同學(xué)的概率。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 5 頁(yè)(共
24、 57 頁(yè)) 28、一幢 10 層的樓房中的一架電梯,在底層登上 7 位乘客。電梯在每一層都停,乘客在 第二層起離開電梯。假設(shè)每位乘客在哪一層離開是等可能的,求沒有 2 位及 2 位以上乘客 在同一層離開的概率。 29、某種動(dòng)物由出生到 20 歲的概率為 0.8,活到 25 歲的概率為 0.4,問現(xiàn)在 20 歲的動(dòng)物 活到 25 歲的概率為多少? 30、每門高射炮(每射一發(fā))擊中目標(biāo)的概率為 0.6,現(xiàn)有若干門高射炮同時(shí)發(fā)射(每炮 射一發(fā)),欲以 99% 以上的概率擊中目標(biāo),問至少需要配置幾門高射炮? 31、電路由電池 A 與 2 個(gè)并
25、聯(lián)的電池 B 和 C 串聯(lián)而成,設(shè)電池 A, B,C 損壞的概率分別 為 0.2 ,0.3 , 0.3,求電路發(fā)生間斷的概率。 32、袋中 10 個(gè)白球, 5 個(gè)黃球, 從中不放回地取 3 次,試求取出的球?yàn)橥伾那虻母怕省? 33、假設(shè)目標(biāo)在射程之內(nèi)的概率為 0.7,這時(shí)射擊的命中率為 0.6,試求兩次獨(dú)立射擊至少 有一次擊中的概率。 34、假設(shè)某地區(qū)位于甲乙二河流的匯合處,當(dāng)任一河流泛濫時(shí),該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某 段時(shí)期內(nèi)甲河流泛濫的概率為 0.1,乙河流泛濫的概率為 0.2,當(dāng)甲河流泛濫時(shí)乙河流泛濫的概率為 0.3,求( 1)該時(shí)期內(nèi)這地區(qū)遭受水災(zāi)的概
26、率; ( 2)當(dāng)乙河流泛濫時(shí)甲河流泛濫的概率。 35、 甲、乙、丙 3 人同向飛機(jī)射擊。擊中飛機(jī)的概率分別為 0.4, 0.5,0.7。如果有 1 人 擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為 0.2,如果有 2 人擊中,則飛機(jī)被擊落的概率為 0.6,如果有 3 人擊中,則飛機(jī)一定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。 36、一射手命中 10 環(huán)的概率為 0.7,命中 9 環(huán)的概率為 0.3,求該射手 3 發(fā)子彈得到不小 于 29 環(huán)的概率。 38、甲、乙 2 名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行單打比賽,如果每賽局甲勝的概率為 0.6,乙勝的概率
27、 0.4,比賽既可采用三局兩勝制,也可采用五局三勝制,問采用哪種比賽制度對(duì)甲更有利。 39、有 2500 人參加人壽保險(xiǎn), 每年初每人向保險(xiǎn)公司交付保險(xiǎn)費(fèi) 12 元。若在一年內(nèi)死亡, 則其家屬可以從保險(xiǎn)公司領(lǐng)取 2000 元。假設(shè)每人在一年內(nèi)死亡的概率都是 0.002,求保險(xiǎn) 公司獲利不少于 10000 元的概率。 40、在 12 名學(xué)生中有 8 名優(yōu)等生,從中任取 9 名,求有 5 名優(yōu)等生的概率。 41、特色醫(yī)院接待患者的比例為 K 型 50%,L 型 30%,M 型 20%,對(duì)應(yīng)治愈率為 0.7,0.8, 0.9,一患者
28、已治愈,問他屬于 L 型的概率? 42、某人從甲地到乙地,乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為 0.2,0.4, 0.4,乘火車遲到的 概率為 0.5、乘輪船遲到的概率為 0.2、乘飛機(jī)不會(huì)遲到。問這個(gè)人遲到的概率;又如果他 遲到,問他乘輪船的概率是多少? 43、一對(duì)骰子拋擲 25 次,問出現(xiàn)雙 6 和不出現(xiàn)雙 6 的概率哪個(gè)大? 44、一副撲克( 52 張),從中任取 13 張,求至少有一張“ A”的概率? 45、據(jù)以往資料表明,某三口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律。孩子得病的概率為 0.6 ,
29、孩子得病下母親得病的概率為 0.5 ,母親及孩子得病下父親得病的概率為 0.4 ,求 母親及孩子得病但父親未得病的概率。 46、某人忘記了電話號(hào)碼的最后一位數(shù)字,因而他隨機(jī)地?fù)芴?hào)。求他撥號(hào)不超過 3 次的概 率;若已知最后一位數(shù)字為奇數(shù),此概率是多少? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 6 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 47、某場(chǎng)戰(zhàn)斗準(zhǔn)備調(diào)甲、乙兩部隊(duì)參加,每支部隊(duì)能按時(shí)趕到的概率為 ,若只有一支部 隊(duì)參加戰(zhàn)斗,則取勝的概率為 0.4 ;若兩部隊(duì)參加戰(zhàn)斗,則必勝;若兩部隊(duì)未能按時(shí)趕到 則必?cái) S_(dá) 0.9 以上的概率取勝,求
30、 的最低值。 48、工人看管三臺(tái)設(shè)備,在 1 小時(shí)內(nèi)每臺(tái)設(shè)備不需要看管的概率均為 0.8 ,求 ( 1)三臺(tái)設(shè)備均不需要看管的概率; ( 2)至少有一臺(tái)設(shè)備需要看管的概率; ( 3)三臺(tái)設(shè)備均需要看管的概率。 四、證明題 1、 假設(shè)我們擲兩次骰子,并定義事件 A “第一次擲得偶數(shù)點(diǎn)” , B “第二次擲得奇 數(shù)點(diǎn)”, C “兩次都擲奇數(shù)點(diǎn)或偶數(shù)點(diǎn)” ,證明 A,B, C 兩兩獨(dú)立,但 A,B, C 不 相互獨(dú)立。 、 設(shè)每次試驗(yàn) A 發(fā)生的概率 p, (0
31、 p 1) , An “ n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中至少出現(xiàn)一次 2 A ”證明 Lim P( An ) 1 n 3、設(shè) X ~ b(n, p) ,證明 EX np, DX np (1 p) 4、證明,如果 P( A | B) P( A) ,則 P( B | A) P( B) 5、當(dāng) P( A) a, P(B) b 時(shí),證明: P( A | B) a b 1 b
32、 6、證明: P( A) 0 ,則 P( B | A) P(B ) 1 P( A) 7、設(shè) A, B,C 三事件相互獨(dú)立,則 A B, AB 與 C 相互獨(dú)立。 8、設(shè) Ai A , i 1,2,3 ,則 P(A) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 2 9、已知 A1 , A2 同時(shí)發(fā)生,則 A 發(fā)生,證明 P( A) P( A1
33、 ) P( A2 ) 1 10、 10 個(gè)考簽中有 4 個(gè)難簽, 3 人依次抽簽參加考試,證明 3 人抽到難簽的概率相等。 11、設(shè) A,B 為兩事件,證明 P( B A) P(B) P( AB) 12、證明如果 A 與 B 獨(dú)立,則 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立、 A 與 B 獨(dú)立 13、如果 P( A) 0 ,證明 A與 B 獨(dú)立的充分必要條件是 P( B | A) P(B) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 7 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 第二章 隨機(jī)變量及其
34、分布 一、填空題 k 1、設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 P( X k ) a (k 0,1,2 ), 0 ,則 a 。 k! 2、設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 1/3 的 0— 1 分布,則 X 的分布函數(shù)為 = 。 3、設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N (1,4), P( X a) 1 ,則 a 。 2 4 X 的分布律為 P( X k ) (k 1,2 N ), 0
35、 ,則 a 。 、設(shè)隨機(jī)變量 a N 5、設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 (0,1)區(qū)間上的均勻分布,則隨機(jī)變量 Y X 2 的密度函數(shù)為 。 ( x 1) 2 6、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f ( x) ke 8 ( x ) ,則 k 。 7、隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 X ~ N (1,4), 則 Y 2X 1 ~ 。 8、
36、若 P( X x2 ) 1 , P( X x1 ) , x1 x2 ,則 P( x1 X x2 ) 。 9、設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 0 x 1 F ( x) a 1 x 2 2 a 1 x 2 3 b x 2 a
37、 且 P( X 2) 1 , b 。 ,則 a 2 10、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f (x) ke 0 x 2 x 0 x 則 0 k , P(1 X 2) , P( X 2) 。 11、設(shè) 5 個(gè)晶體管中有 2 個(gè)次品, 3 個(gè)正品,如果每次從中任取 1 個(gè)進(jìn)行測(cè)試,測(cè)試后的產(chǎn)品 不放回,直到把 2 個(gè)次品都找到為止, 設(shè) X 為需要進(jìn)行測(cè)試的次數(shù), 則 P( X 3) 。 12、設(shè)
38、F ( x) 為離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,若 P( a X b) F (b) F (a) , 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 8 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 則 P( X b) 。 13、一顆均勻骰子重復(fù)擲 10 次,設(shè) X 表示點(diǎn) 3 出現(xiàn)的次數(shù),則 X 的分布律 P( X k) 。 14、設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量,且 P( X 0.29) 0.75 ,Y 1 X ,且 P(Y k) 0.25 , 則 k 。 15、
39、設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 POISSON 分布,且 P( X 1) P( X 2) ,則 P( X 1) 。 1 e ( x2 4 x 4)2 c 16、連續(xù)型隨機(jī)變量 X 為 f (x) , f ( x) dx f ( x)dx ,則 c 。 6 c 17、設(shè) F1 ( x), F2 (x) 為分布函數(shù), a1 0, a2 0 , a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù),則 a1 a2 。
40、 0 x 0 18、若連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù) F ( x) Ax2 0 x 6 ,則 A 。 1 x 6 19、設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 f ( x) 1 e |x| ,則 X 的分布函數(shù)為 。 2 20、若隨機(jī)變量 X ~ N (1,0.52 ) ,則 2 X 的密度函數(shù) f (x) 。 二、選擇題
41、 1、若函數(shù) f (x) 是一隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù),則( ) ① f ( x) 的定義域?yàn)? [0,1] ② f ( x) 值域?yàn)?[0,1] ③ f ( x) 非負(fù) ④ f (x) 在 R1 連續(xù) 2、如果 F (x) 是( ),則 F ( x) 一定不可以為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 ①非負(fù)函數(shù) ②連續(xù)函數(shù) ③有界函數(shù) ④單調(diào)減少函數(shù) 3、下面的數(shù)列中,能成為一隨機(jī)變量的分布律的是( ) ① e 1 (k
42、0,1,2, ) ② e 1 (k 1,2, ) ③ 1k (k 0,1,2, ) ④ 1k (k 1, 2, ) k! k! 2 2 4、下面的函數(shù)中,能成為一連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)的是( ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 9 頁(yè)(共 57 頁(yè)) ① f ( x) sin x x 3 h( x) -sin x x 3 2 ② 2 0 其他 0 其他
43、 ③ g( x) cosx x 3 u( x) 1 cos x x 3 2 ④ 2 0 其他 0 其他 5、設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N (0,1) , (x) 為其分布函數(shù), P( X x) ,則 x ( )。 ① 1 (1 ) ②
44、 1 (1 ) ③ 1 ( ) ④ 1 ( ) 2 2 6、設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 P(X k) b k ( k 1,2, ) ,則 =( )。 ① 0 的實(shí)數(shù) ② b 1 ③ 1 1 ④ 1 1 b b 7、設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N ( , 2 ) ,則 增大時(shí), P(| X | ) 是( ) ① 單調(diào)增大 ② 單
45、調(diào)減少 ③ 保持不變 ④ 增減不定 8、設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布密度 f ( x) ,分布函數(shù) F ( x) , f ( x) 為關(guān)于 y 軸對(duì)稱,則有( ) ① F ( a) 1 F ( a) ② F ( a) 1 (a) ③ F ( a) F ( a) ④ F ( a) 2F (a) 1 F 2 9、設(shè) F1 (x), F2 ( x) 為分布函數(shù), a1 F1 (x) a2 F2 (x) 為分布函數(shù),則下列成立的是( ) ① a1 3 , a
46、2 2 ② a1 2 , a2 3 ③ a1 1 , a2 3 ④ a1 1 , a2 3 5 5 5 5 2 2 2 2 10、要使 f ( x) 1 cos x x G ) 2 x 是密度函數(shù),則 G 為( 0 G ① , ② 0, ③ , ④ ,2 2 2
47、 2 2 11、設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為 f (x) 1 , 則 Y 2X 的密度函數(shù)為( ) (1 x2 ) 1 ② 2 ③ 1 ④ 1 ① (1 4x 2 ) 1 (1 x2 ) (4 x 2 ) 2 ) (1 x 4
48、 12、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F (x) ,密度 f ( x) ,則( ) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 10 頁(yè)(共 57 頁(yè)) ① P( X x) 0 ② F (x) P( X x) ③ F ( x) P( X x) ④ f ( x) P(X x) x 0 x 1 13、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f ( x) 2 x 1 x 2 ,則 P( X 1.5) ( ) 0 其他
49、 1.5 1.5 ① 0.75 ② 0.875 ③ (2 x) dx ④ ( 2 x)dx 0 1 14、設(shè)隨機(jī)變量 X ~ N (1,1) ,分布函數(shù)為 F (x) ,密度 f ( x) ,則有( ) ① P( X 0) P( X 0) ② f ( x) f ( x) ③ P( X 1) P( X 1) ④ F ( x) F ( x) 三、計(jì)算題 1、 10 個(gè)燈泡中有 2
50、個(gè)是壞的,從中任取 3 個(gè),用隨機(jī)變量描述這一試驗(yàn)結(jié)果,并寫出這個(gè)隨機(jī)變量的分布律和分布函數(shù)及所取的三個(gè)燈泡中至少有兩個(gè)好燈泡的概率。 2、罐中有 5 個(gè)紅球, 3 個(gè)白球,有放回地每次任取一球,直到取得紅球?yàn)橹埂S? X 表示 抽取的次數(shù),求 X 的分布律,并計(jì)算 P 1 X 3 。 3、設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 P( X A (k 1,2, ) ,試求 A 的值。 k ) k(k 1) 4、 已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 (1) 求 P( 1 X 1) ; ( 2)
51、求 Y X 2 的分布律; X ( 3)求 X 的分布函數(shù)。 - 2 - 1 0 1 2 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 5、已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 P( X k ) C 4k p k (1 p)4 k ,且 P( X 1) 5 9 求 p 。 6、對(duì)某一目標(biāo)射擊,直到擊中時(shí)為止。如果每次射擊的命中率為 p ,求射擊次數(shù) X 的分 布律。 7、已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布律為 P( X k ) 1 ,其中 k 1
52、,2, , 2k 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 11 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 求 Y Sin X 的分布律。 2 8、 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為: F ( x) A B arctan x 求: (1) 常數(shù) A, B (2) X 的概率密度。 X 的密度函數(shù)為 A | x | 1 9、已知隨機(jī)變量 f ( x) 1 x 2
53、 | x | 1 0 求( 1)系數(shù) A ; ( 2) X 落入 1 , 1 的概率; 2 2 ( 3) X 的分布函數(shù)。 10、某車間有 20 部同型號(hào)機(jī)床,每部機(jī)床開動(dòng)的概率為 0.8,若假定各機(jī)床是否開動(dòng)是獨(dú) 立的,每部機(jī)床開動(dòng)時(shí)所消耗的電能為 15 個(gè)單位,求這個(gè)車間消耗的電能不少于 270 個(gè) 單位的概率。 11、 設(shè)隨機(jī)變量 X ~ U (0
54、,2) ,求 Y X 2 的分布。 1 (x 2)2 12、設(shè)測(cè)量誤差 X 的密度函數(shù)為 f ( x) 40 e 3200 ,求 2 ( 1) 測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過 30 的概率; ( 2) 測(cè)量 3 次,每次測(cè)量獨(dú)立,求至少有 1 次測(cè)量誤差的絕對(duì)值不超過30 的概率。 13、在下列兩種情形下,求方程 t 2 Xt 1 0 有實(shí)根的概率。 ( 1) X 等可能取{ 1, 2, 3, 4, 5, 6};
55、 ( 2) X ~ U (1,6) 14、設(shè)球的直徑(單位: mm) X ~ U (10,11) ,求球的體積的概率密度。 15、已知離散型隨機(jī)變量 X 只取 -1, 0,1, 2 ,相應(yīng)的概率為 1 , 3 , 5 , 7 , 2a 4a 8a 16a 求 a 的值并計(jì)算 P(| X | 1 | X 0) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 12 頁(yè)(共 57 頁(yè)) X 的密度函數(shù) f ( x) 100 x 100 16、設(shè)某種電子管的壽命
56、 x2 x 100 0 ( 1) 若 1 個(gè)電子管在使用 150 小時(shí)后仍完好,那么該電子管使用時(shí)間少于 200 小時(shí)的 概率是多少? ( 2) 若 1 個(gè)電子系統(tǒng)中裝有 3 個(gè)獨(dú)立工件的這種電子管,在使用 150 小時(shí)后恰有 1 個(gè) 損壞的概率是多少。 17、設(shè)鉆頭的壽命 ( 即鉆頭直到磨損為止所鉆的地層厚度,以米為單位 ) 服從指數(shù)分布, 鉆頭平均壽命為 1000 米,現(xiàn)要打一口深
57、度為 2000 米的井,求 (1) 只需一根鉆頭的概率; (2) 恰好用兩根鉆頭的概率。 18、某公共汽車站從上午 7 時(shí)起第 15 分鐘發(fā)一班車,如果乘客到達(dá)此汽車站的時(shí)間 X 是 7 時(shí)至 7 時(shí) 30 分的均勻分布,試求乘客在車站等候 ( 1)不超過 15 分鐘的概率;(2)超過 10 分鐘的概率。 19、自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為 0.1,生產(chǎn)過程中出現(xiàn)廢品時(shí)重新進(jìn)行調(diào)整, 問在兩次調(diào)整之間能以 0.6 的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少? 20、設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)服從
58、 POSSION 分布,每個(gè)顧客購(gòu)買某種物 品的概率為 p ,并且各個(gè)顧客是否購(gòu)買該物品是相互獨(dú)立的, 求進(jìn)入商店的顧客購(gòu)買該種 物品人數(shù)的分布律。 21、設(shè)每頁(yè)書上的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)服從泊松分布,現(xiàn)從一本有 500 個(gè)印刷錯(cuò)誤的 500 頁(yè)的書 上隨機(jī)地取 5 頁(yè),求這 5 頁(yè)各頁(yè)上的錯(cuò)誤都不超過 2 個(gè)的概率。 22、已知每天到某煉油廠的油船數(shù) X 服從參數(shù)為 2 的泊松分布, 而港口的設(shè)備一天只能為 三只油船服務(wù),如果一天中到達(dá)的油船超過三只,超出的油船必須轉(zhuǎn)到另一港口。求: ( 1)這一天必須有油船轉(zhuǎn)走的概率;
59、( 2)設(shè)備增加到多少,才能使每天到達(dá)港口的油船有 90%可以得到服務(wù)。 ( 3)每天到達(dá)港口油船的最可能只數(shù)。 23、某實(shí)驗(yàn)室有 12 臺(tái)電腦,各臺(tái)電腦開機(jī)與關(guān)機(jī)是相互獨(dú)立的,如果每臺(tái)電腦開機(jī)占總 工作時(shí)間的 3/4,試求在工作時(shí)間任一時(shí)刻關(guān)機(jī)的電腦臺(tái)數(shù)超過兩臺(tái)的概率以及最有可能有幾臺(tái)電腦同時(shí)開機(jī)。 24、設(shè)有各耗電 7.5KW 的車床 10 臺(tái),每臺(tái)車床使用情況是相互獨(dú)立的,且每臺(tái)車床每小 時(shí)平均開車 12 分鐘,為這 10 臺(tái)車床配電設(shè)備的容量是 55KW ,試求該配電設(shè)備超載的概 率。 25、一臺(tái)電子設(shè)備內(nèi)裝有 5 個(gè)某種類型的電子管,已知這種
60、電子管的壽命(單位:小時(shí)) 服從指數(shù)分布,且平均壽命為 1000 小時(shí)。如果有一個(gè)電子管損壞,設(shè)備仍能正常工作的 概率為 95%,兩個(gè)電子管損壞,設(shè)備仍能正常工作的概率為 70%,若兩個(gè)以上電子管損壞, 則設(shè)備不能正常工作。 求這臺(tái)電子設(shè)備在正常工作 1000 小時(shí)后仍能正常工作的概率 ( 各電子管工作相互獨(dú)立 ) 。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 13 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 26、某地區(qū) 18 歲的女青年的血壓(收縮壓,以 mm —Hg 計(jì))服從 N (110,122 ) 。在該地 區(qū)任選一 18 歲的女青年, 測(cè)量她的血壓 X 。(
61、1)求 P X 105 ,P 100 X 120 ;( 2) 確定最小的 x,使 P X x 0.05 。 ( 5) 0.7976, (1.645) 0.95 6 27、將一溫度調(diào)節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內(nèi)。調(diào)節(jié)器整定在 d℃ ,液體的溫度 X 是 一個(gè)隨機(jī)變量,且 X ~ N (d ,0.52 ) (1)若 d=90, 求X 小于 89的概率。( 2)若要求保持液體的 溫度至少為 80的概率不低于 0.99,問 d至少為多少? (2.327) 0.99,
62、 ( 2) 0.9772 a x 1 28、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù) F (x) bx ln x cx d 1 x e d x e ( 1)確定 a,b, c, d 的值;( 2) P(| X | e) 2 29、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F (x) A Be x x 0 0) 0 x (
63、 0 求 (1) 常數(shù) A, B 的值; (2) P( 1 X 1) 30、有一個(gè)半徑為 2 米的圓盤形靶子,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤的概率與該圓盤的面積成 正比,并設(shè)均能中靶,如以 X 表示擊中點(diǎn)與靶心的距離,求 X 的分布函數(shù)和密度函數(shù)。 31、設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù) f x ( x) 1 | x | 1 x 1 ,求 Y X 2 1 的密度函數(shù)。 0 其他 32、設(shè)隨機(jī)變量的分
64、布律為 X 4 2 3 4 0.2 0.1 0.7 求隨機(jī)變量 Y SinX 的分布函數(shù)。 33、已知 10 個(gè)元件中有 7 個(gè)合格品和 3 個(gè)次品,每次隨機(jī)地抽取 1 個(gè)測(cè)試,測(cè)試后不放回,直至將 3 個(gè)次品找到為止,求需測(cè)試次數(shù) X 的分布律。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第 14 頁(yè)(共 57 頁(yè)) 0 x 1 1
65、 1 x 0 3 2 34、已知 X 的分布函數(shù)為 FX ( x) 1 0 x 1 ,求 Y Sin X 的分布函數(shù)。 2 6 2 1 x 2 3 x 2 1 35、設(shè)某產(chǎn)品的壽命 T 服從 N (160, 2 ) 的正態(tài)分布,若要求壽命低于 120 小時(shí)的概率不 超過 0.1,試問應(yīng)控制 在什么范圍內(nèi),并問壽命超過 210 小時(shí)的概率在什么范圍內(nèi)? 36、某廠決定在工人中增發(fā)高產(chǎn)獎(jiǎng),并決定對(duì)每月生產(chǎn)額最高的 5%的工人發(fā)放高產(chǎn)獎(jiǎng), 已知每人每月生產(chǎn)額
66、 X ~ N (4000,60 2 ) ,試問高產(chǎn)獎(jiǎng)發(fā)放標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)把月生產(chǎn)額定為多少? 37、在長(zhǎng)為 1 的線段隨機(jī)地選取一點(diǎn),短的一段與長(zhǎng)的一段之比小于 1/4 的概率是多少? 38、設(shè) 39、設(shè) X X 的分布密度為 f 的分布密度為 f X X ( x) 2 x x (0, ) SinX 的密度函數(shù)。 2 求 Y 0 x (0, ) ( x) 1 e |x| 2 求( 1) Y X 2 (2) Y | X | ( 3) Y ln | X |的概率密度。 四、證明題 1、設(shè) F (x) 為隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù),證明:當(dāng) x1 x2 時(shí),有 F ( x1 ) F ( x2 ) 2
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