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1、1 點 集 拓 撲 學 授課教師 王彥英 X Y Z( ) X Y Z( ) X Y Z( ) 河北師范大學數(shù)學與信息科學學院 2008 年 3 月 2 拓 撲 學 導 論 拓撲學是幾何學的分支，且是與歐氏幾何 不同的幾何學分支 研究對象：一般的幾何圖形（拓撲空間） 中心任務：研究幾何圖形的一類性質即所 謂的拓撲性質，但這類性質與我們在歐氏 幾何中研究的長度、角度、面積等不同。 3 平面歐氏幾何的研究對象與內容 研究對象：直線和圓構成的圖形 研究內容：長度、角度、面積、全等； 兩圖形全等即經過平移、旋轉、對稱兩 圖形重合；而長度、角度、面積經過上 述正交變換保持不變。 結論：歐氏幾何研究圖形
2、在正交變換 下的不變性和不變量。 4 與拓撲性質相關的幾個例子 一筆畫問題 哥尼斯堡七橋問題 四色問題 5 一筆畫問題 平面上由曲線段構成的一個圖 形能不能一筆畫成，使得在每條線 段上不重復？ 例如： 日 ， 中 可以一筆畫出 田 ， 目 不能一筆畫出 6 日 字的變形 田 字的變形 7 歐拉的結論 歐拉考察了一筆畫圖形的結構特征。發(fā)現(xiàn)， 凡是能用一筆畫成的圖形，都有這樣一個 特點：每當你用筆畫一條線進入中間的一 個點時，你還必須畫一條線離開這個點。 否則，整個圖形就不可能用一筆畫出。也 就是說，單獨考察圖中的任何一個點（除 起點和終點外），它都應該與偶數(shù)條線相 連；如果起點與終點重合，那么，
3、連這個 點也應該與偶數(shù)條線相連。 8 一筆畫問題的特點 該問題與線段的長短曲直、交點的準 確方位、面積、體積無關。重要的是 圖形中點線之間的相關位置，或相互 連結的情況不能變。 9 哥尼斯堡七橋問題 哥尼斯堡是位于波羅的海東岸一座古老而美麗的城市，布 勒格爾河的兩條支流在這里匯合，然后橫貫全城，流入大 海。河心有一個小島。河水把城市分成了塊，于是，人 們建造了座各具特色的橋，把哥尼斯堡連成一體。 一天又一天，座橋上走過了無數(shù)的行人。不知從什 么時候起，腳下的橋梁觸發(fā)了人們的靈感，一個有趣的問 題在居民中傳開了： 誰能夠一次走遍所有的座橋，而且 每座橋都只通過一次？ 這個問題似乎不難，誰都樂意用
4、它來測試一下自己的 智力?？墒牵l也沒有找到一條這樣的路線。以博學著稱 的大學教授們，也感到一籌莫展。 七橋問題 難住了哥尼 斯堡的所有居民。哥尼斯堡也因 七橋問題 而出了名。 10 七 橋 問 題 11 歐拉的解法 哥尼斯堡七橋問題引起了大數(shù)學家歐 拉的興趣。他知道，如果沿著所有可 能的路線都走一次的話，一共要走 5040次。就算是一天走一次，也需要 13年多的時間。實際上，歐拉只用了 幾天的時間就解決了七橋問題。 12 歐拉的想法是：兩岸的陸地與河中的小 島，都是橋梁的連接點，它們的大小、 形狀均與問題本身無關。因此，不妨把 它們看作是 4個點。 7座橋是 7條必須經過 的路線，它們的長短
5、、曲直，也與問題 本身無關。因此，不妨任意畫 7條線來表 示它們。 就這樣，歐拉將七橋問題抽象 成了一個“一筆畫”問題，從而否定了 問題的答案。 13 對七橋問題的反思 七橋問題是一個幾何問題，然而，它卻是 一個以前歐氏幾何學里沒有研究過的幾何 問題。在以前的幾何學里，不論怎樣移動 圖形，它的大小和形狀都是不變的；而歐 拉在解決七橋問題時，把陸地變成了點， 橋梁變成了線，而且線段的長短曲直，交 點的準確方位、面積、體積等概念，都變 得沒有意義了。不妨把七橋畫成別的什么 類似的形狀，照樣可以得出與歐拉一樣的 結論。 很清楚，圖中什么都可以變，唯獨點 線之間的相關位置，或相互連結的情況不 能變。
6、14 四 色 問 題 15 以上幾個問題顯示出幾何圖形的一類 新的幾何性質。這類性質與幾何圖形的大 小、形狀以及所含線段的曲直等等都無關， 他們不能用歐氏幾何的方法來處理，它們 的特點是：在“彈性變形” 下保持不變， 研究這類新問題的幾何學，歐拉稱之為 “位置幾何學”，人們通俗地把它叫做 “橡皮幾何學”。后來，這門數(shù)學分支被 正式命名為“拓撲學” 16 拓撲學的中心任務 歐氏幾何研究圖形在正交變換下的不 變性和不變量。 拓撲學研究更一般的圖形在“彈性變 形” 下的不變性和不變量（例子）。 “彈性變形”的特點：可復原，把相 近的點變成相近的點（連續(xù)） 17 基本概念的嚴格數(shù)學描述 一般圖形：集合
7、 變形：映射 彈性變形：可逆映射或一一映射 相近：鄰域，開集 相近變相近：連續(xù) 圖形全等：同胚 不變性：連通性，可數(shù)性，分離性等 18 拓撲學的近代發(fā)展 點集拓撲學 代數(shù)拓撲學 微分拓撲學 幾何拓撲學 思考題：設 C代表平面上的圓周，“點 A位于圓周的內部” 這一性質是否在“彈性變形”下保持不變？ 19 樸 素 集 合 論 20 集 合 的 基 本 概 念 A = 1 , 1, 2, () XP , X a b ( ) , , , , X a b a bP 單 點 集 a , 1 集 族 冪 集： X 的所有子集構成的集族， 記為 A = 1 , 1, 2, () XP , X a b ( )
8、 , , , , X a b a bP 單 點 集 a , 1 集 族 冪 集： X 的所有子集構成的集族， 記為 A = 1 , 1, 2, () XP , X a b ( ) , , , , X a b a bP 單 點 集 a , 1 集 族 冪 集： X 的所有子集構成的集族， 記為 A = 1 , 1, 2, () XP , X a b ( ) , , , , X a b a bP 單 點 集 a , 1 集 族 冪 集： X 的所有子集構成的集族， 記為 21 集合的基本運算 冪 等 律 ,A A A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A C
9、B C A B C A C B C ,A B B A A B B A 分 配 律 交 換律 22 集合的基本運算 De Morgan 律 ( ) ( ) ( )A B C A B A C ( ) ( ) ( )A B C A B A C 23 集合的基本運算 定理 設 X 是一個基礎集 , A,B 是 X 的子 集 , 則有 () () A A A A X X A X A A A X A A A B A B A B A B 24 笛 卡 兒 積 設 是 個集合 , 稱 為 的笛卡兒積，記作 個集合 X 的笛卡兒積 記作 12 , , , n X X X 1n 12 n X X X n XX n
10、 X 1n 1 ( , , ) | n i i x x x X 12 , , , nX X X 設 是 個集合 稱 為 25 關系與等價關系 關 系 相 關 R X Y 關 系 設 X ， Y 是兩個集合 . 如果 則稱 R 是從 X 到 Y 的一個關系 . 相 關 設 R 是從 X 到 Y 的一個關系，如果 （ x , y ） R, 則稱 x 與 y 是 R 相關的， 記作 xRy R X Y 關 系 設 X ， Y 是兩個集合 . 如果 則稱 R 是從 X 到 Y 的一個關系 . 相 關 設 R 是從 X 到 Y 的一個關系，如果 （ x , y ） R, 則稱 x 與 y 是 R 相關的
11、， 記作 xRy 26 恒同關系 設 X是一個集合，從 X到 X的關系簡 稱為 X中的一個關系，集合 X中的 關系 (x,x)|x X稱為恒同關系或 對角線，記作 (X)或 . 27 自 反 的 對 稱 的 若 xRy 則有 yRx 傳 遞 的 如果 xRy , yRz , 則有 xRz . ( X ) R xX 自 反 的 設 R 是集合 X 中的一個關系，如 果 即對 有 xRy 對 稱 的 若 xRy 則有 yRx 傳 遞 的 如果 xRy , yRz , 則有 xRz ( X ) R xX 自 反 的 設 R 是集合 X 中的一個關系，如 果 即對 有 xRy 對 稱 的 若 xRy
12、則有 yRx 傳 遞 的 如果 xRy , yRz , 則有 xRz x R x 28 等價關系 集合 X中的一個關系如果同時 是自反的 ， 對稱的和傳遞的 ， 則 稱為集合 X中的一個等價關系 . 例：設 p 是一個素數(shù)，我們在整數(shù) 集合 Z 中定義一個關系 如下 : p ( , ) | su c h th a t - p x y Z Z n Z x y n p 29 映 射 的 性 質 :f X Y ,A B Y 定理 設 X 和 Y 是兩個集合， . 如果 則 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) (
13、) ( ) f A B f A f B f A B f A f B f A B f A f B 30 常 用 映 射 單射、滿射、一一映射 常值映射 恒同映射（單位映射） 投射 自然投射 : su c h tha t , ( ) X X i X X x X i x x : suc h that , ( ) f X Y x X f x c 12 1 : s u c h t h a t ( , , ) i n i i n i p X X X X p x x x : s u c h th a t ( ) R p X X R p x x 31 定義：設 X 和 Y 是兩個集合， A 是 X 的一個子集
14、， 若對于 有 ，則 稱 g 是 f 的限制，也稱 f 是 g 的一個 擴張，記作 恒同映射 在 X 的子集 A 上的 限制 稱為內射 . :,f X Y :g A Y aA ( ) ( )f a g a | Agf :Xi X X |:XAi A X 定義：設 X 和 Y 是兩個集合， A 是 X 的一個子集， 若對于 有 ，則 稱 g 是 f 的限制，也稱 f 是 g 的一個 擴張，記作 恒同映射 在 X 的子集 A 上的 限制 稱為內射 . :,f X Y :g A Y aA ( ) ( )f a g a | Agf :Xi X X |:XAi A X 定義：設 X 和 Y 是兩個集合，
15、 A 是 X 的一個子集， 若對于 有 ，則 稱 g 是 f 的限制，也稱 f 是 g 的一個 擴張，記作 恒同映射 在 X 的子集 A 上的 限制 稱為內射 . :,f X Y :g A Y aA ( ) ( )f a g a | Agf :Xi X X |:XAi A X 32 集族及其運算 有標集族 設 是一個集合 .如果對每一個 ， 指定一個集合 A， 我們就說給定一個 有標集族 A ,在不至于引起混淆的 前提下就直接說給定一個集族 A ， 同時 稱為集族的指 標集 . 33 例： 1 , 2 , 3 1 Aa 2 , A a b 3 , A c d ii A 是一個有標集族 . ,
16、, ( p , q ) 1 q p x Q x , x A p q x x Q A 是一個有標集族 . 34 A 集族的并 A 集族的交 注：在 A 集族的并中若 是空 集，則其并為空集，在 A 集族 的交中若 是空集，則其交沒有意義 . 使得| AxxA 有,對 任何| AxxA A 集族的并 A 集族的交 注：在 A 集族的并中若 是空 集，則其并為空集，在 A 集族 的交中若 是空集，則其交沒有意義 . 使得| AxxA 有,對 任何| AxxA A 集族的并 A 集族的交 注：在 A 集族的并中若 是空 集，則其并為空集，在 A 集族 的交中若 是空集，則其交沒有意義 . 使得| Ax
17、xA 有,對 任何| AxxA A 集族的并 A 集族的交 注：在 A 集族的并中若 是空 集，則其并為空集，在 A 集族 的交中若 是空集，則其交沒有意義 . 使得| AxxA 有,對 任何| AxxA 注：在集族的并中，若 是空集，則其 并為空集，在集族的交中， 不能是 空集 . 35 集族的運算性質 定理：設 A 是一個非空的有標集 族， A是一個集合，則 AAA 0 ,對 于任何 )1( 0 36 集族的運算性質 )()( )()( 分配律 )2( AAAA AAAA 37 集族的運算性質 )()( )()( 律Morgan De )3( AAAA AAAA 38 映射與集族的性質 定理：設 X 和 Y 是兩個集合， 則對于集合 Y 的任何一 個非空子集族 B , 有 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ) f B f B f B f B :.f X Y 定理：設 X 和 Y 是兩個集合， 則對于集合 Y 的任何一 個非空子集族 B , 有 11 11 ( ) ( ) ( ) ( ) f B f B f B f B :.f X Y
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