三次函數(shù)第28 關(guān)：三次函數(shù)專題—全解全析

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1、 第 28 關(guān)：三次函數(shù)專題 —全解全析 一、定義： 定義 1、形如 的函數(shù)，稱為“三次函數(shù)” （從 函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)上命名） 定 義 2 、 三 次 函 數(shù) 的 導 數(shù) ， 把 叫做三次函數(shù)導函數(shù)的判別式

2、 二、三次函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究： 1、單調(diào)性 一 般 地 ， 當 時 ， 三 次 函 數(shù) 在 上 是 單 調(diào) 函 數(shù) ； 當 時 ， 三 次

3、 函 數(shù) 在 上有三個單調(diào)區(qū)間 （根據(jù) 兩種不同情況進行分類討論） 2、對稱中心

4、 三次函數(shù) 是關(guān)于點對稱，且對稱中心為點 ，此點的橫坐標是其導函數(shù)極值點的橫坐 標。 證明：設(shè)函數(shù) 的對稱中心為（ m， n）。 按向量 將函數(shù)的圖象平移，則所得函數(shù)

5、 是奇函數(shù)，所以 化 簡 得 ： 上 式 對 恒 成 立 ， 故

6、 ， 得 ， 。 所 以 ， 函 數(shù) 的 對 稱 中 心 是 （ ）。

7、 可見，y＝ f(x) 圖象的對稱中心在導函數(shù) y＝ 的對稱軸上，且又是兩個極值點的中點，同時也是二階導為零的點。 3、三次方程根的問題 （ 1 ） 當 △= 時 ， 由 于 不 等 式

8、 恒成立，函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以原方程僅 有一個實根。 （ 2 ） 當 △= 時 ， 由 于 方 程 有 兩 個 不 同 的 實 根 ， 不 妨 設(shè)

9、 ， 可 知 ， 為 函 數(shù) 的 極 大 值 點 ， 為 極 小 值 點 ， 且 函 數(shù) 在 和

10、 上 單 調(diào) 遞 增 ， 在 上單調(diào)遞減。 此時： ① 若 ， 即 函 數(shù)

11、 極 大 值 點 和 極 小 值 點 在 軸 同 側(cè) ， 圖 象 均 與 軸只有一個交點，所以原方程有且只有一個 實根。 ② 若 ， 即 函 數(shù)

12、 極 大 值 點 與 極 小 值 點 在 軸 異 側(cè) ， 圖 象 與 軸必有三個交點，所以原方程有三個不 等實根。 ③ 若 ， 即

13、 與 中有且只有一個值為 0，所以，原方程有 三個實根，其中兩個相等。 4、極值點問題 若函數(shù) f(x) 在點 x0 的附近恒有 f(x 0) ≥f(x) ( 或 f(x 0) ≤f(x)) ，則稱函數(shù) f(x) 在點 x0 處取得極大值（或極小值） ，稱點 x0 為極大值點（或極小值點） 。

14、 當 時 ， 三 次 函 數(shù) 在 上的極值點要么有兩個。 當 時 ， 三 次 函 數(shù)

15、 在 上不存在極值點。 5、最值問題 函 數(shù) 若 ， 且

16、 ， 則 ： ； 三、三次函數(shù)與導數(shù)專題： 1. 三次函數(shù)與導數(shù)例題 例 1. 函數(shù) .

17、 （ 1）討論函數(shù) 的單調(diào)性； （ 2）若函數(shù) 在區(qū)間（ 1， 2）是增函數(shù)， 求 的取值范圍 . 解 ： （

18、 Ⅰ ） ， 的判別式△ =36（ 1-a ） . （ⅰ）當 a≥1時，△≤ 0，則 恒成立， 且 當 且 僅 當

19、 ， 故 此 時 在 R 上是增函數(shù) . 來自 QQ群 3 （ ⅱ ） 當 且 ， 時 ，

20、 有 兩 個 根 ： ， 若 ， 則 , 當

21、 或 時 ， ， 故 在 上 是 增 函 數(shù) ； 當

22、 時 ， ， 故 在 上是減函數(shù)； 若 ， 則

23、 當 或 時 ， ， 故 在

24、 和 上 是 減 函 數(shù) ； 當 時 ，

25、 ， 故 在 上是增函數(shù)； （ Ⅱ ） 當 且 時 ,

26、 , 所以 當 時 ， 在區(qū)間（ 1，2）是增函數(shù) . 當 時 ，

27、 在 區(qū) 間 （ 1,2 ） 是 增 函 數(shù) ， 當 且 僅 當 且 ， 解 得 .

28、 綜 上 ， 的 取 值 范 圍 是 . 例 2. 設(shè) 函 數(shù) ， 其 中 。 （ 1 ） 討 論

29、 在其定義域上的單調(diào)性； （1） 當 時 ， 求 取 得 最 大 值 和 最 小 值 時 的 的值 . （ Ⅰ ） 的 定 義 域 為

30、 ， 令 ， 得 所以 當

31、或 時 ， ； 當 時 ， ，

32、 故 在 內(nèi) 單 調(diào) 遞 減 ， 在 內(nèi)單調(diào)遞增 （ Ⅱ ） 因 為 ， 所 以

33、 （ ⅰ ） 當 時 ， ， 由 （ Ⅰ ） 知 ， 在 [0 ，1] 上單調(diào)遞增， 所 以 在

34、 和 處分別取得最小值和最大值 （ ⅱ ） 當 時 ， ， 由 （ Ⅰ ） 知 ，

35、 在 [0 ， ] 上 單 調(diào) 遞 增 ， 在 [ ， 1] 上 單 調(diào) 遞 減 ， 因 此 在

36、 處取得最大值 又 ，所以 當 時 ， 在 處取得最小值；

37、 當 時 ， 在 和 處同時取得最小值；

38、 當 時 ， 在 處取得最小值。 例 3. 已知函數(shù) 來自 QQ群 3 （1） 求 的單調(diào)區(qū)間和極值

39、； （ 2）若對 于任意的 ，都存在 ， 使 得 ， 求 的取值范圍

40、 解：（Ⅰ）由已知，有 令 ， 解 得 或 當 變

41、化 時 ， 的變化情況如下表： 0 - 0 + 0 - 0 所 以 ， 的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 ； 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 是

42、 ， ， 當 時 ， 有 極 小 值 ， 且 極 小 值

43、 ； 當 時 ， 有 極 大 值 ， 且 極 大 值 （ Ⅱ ） 解 ： 由 及 （ Ⅰ ） 知 ， 當 時 ，

44、 ； 當 時 ， 設(shè) 集 合 ， 集 合 ， 則 “

45、 對 于 任 意 的 ， 都 存 在 ， 使 得 ” 等 價 于 ， 顯 然 ，

46、 . 下面分三種情況討論： （ 1 ） 當 ， 即 時 ， 由

47、 可 知 ， ， 而 ， 所 以 不 是 的子集。

48、 （ 2 ） 當 ， 即 時 ， 有 ， 且 此 時 在 上 單 調(diào) 遞

49、 減 ， 故 ， 因 而 ； 由 ， 有 在

50、 上 的 取 值 范 圍 包 含 ， 則 所 以 ， （ 3 ） 當 ， 即

51、 時 ， 有 ， 且 此 時 在 上單調(diào)遞減，

52、 故 ， 所 以 不 是 的子集。 綜 上 ， 的 取 值 范 圍 是

53、 2. 三次函數(shù)與導數(shù) --- 課后練習題 1. 設(shè) . (1) 若 在 上 存 在 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 , 求

54、 的取值范圍； (2) 當 時 ， 在 上 的 最 小 值 為 ， 求

55、 在該區(qū)間上的最大值 . 1. 解 ： （ 1 ） 已 知 ， ， 函 數(shù) 在

56、 上 存在單調(diào)遞增區(qū)間，即導函數(shù)在 上存在函數(shù) 值大于零的部分 （2）已 知 , 在

57、 上 取 到 最 小 值 ， 而 的圖像開口

58、向 下 ， 且 對 軸 軸 為 ， 則 必 有 一 點 使 得 此 時 函 數(shù) 在 上 單 調(diào) 遞 增 ， 在

59、 上 單 調(diào) 遞 減 ， ，

60、 ， 此 時 ， 由 ， ， 所 以 函 數(shù)

61、 2 ． 已 知 函 數(shù) ， ． （ 1 ） 討 論 函 數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （ 2 ） 設(shè) 函 數(shù) 在 區(qū) 間

62、 內(nèi) 是 減 函 數(shù) ， 求 的取值范圍． 2 ． 解 ： （ 1 ） 求 導 ：

63、 當 時 ， ， ， 在 上遞增

64、 當 ， 求 得 兩 根 為 即 在 遞 增 ，

65、 遞 減 ， 遞增 （ 2 ） ， 且 解 得 ：

66、 3. 設(shè) 函 數(shù) （ Ⅰ ） 當 求 曲 線 處的切線斜率 （Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值； 【解析】解：（ 1）當 所以曲線 處的切線斜率為 1.