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1、第2講立體幾何中的向量方法高 考 定 位 以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)，常與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點(diǎn)為二面角的求解，均以解答題的形式進(jìn)行考查，難度主要體現(xiàn)在建立空間直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確計(jì)算上. 真 題 感 悟(2016浙江卷)如 圖 ， 在 三 棱 臺(tái) ABC DEF中 ， 平 面BCFE 平 面 ABC， ACB 90 ， BE EF FC 1， BC 2， AC 3.(1)求 證 ： BF 平 面 ACFD；(2)求 二 面 角 B AD F的 平 面 角 的 余 弦 值 .(1)證明 延 長(zhǎng) AD， BE， CF相 交 于 一 點(diǎn) K， 如 圖所 示 .因 為 平 面
2、BCFE 平 面 ABC， 平 面 BCFE 平 面ABC BC， 且 AC BC， 所 以 AC 平 面 BCK，因 此 BF AC.又 因 為 EF BC， BE EF FC 1， BC 2， 所 以 BCK為 等 邊 三角 形 ， 且 F為 CK的 中 點(diǎn) ， 則 BF CK，且 CK AC C， CK， AC平 面 ACFD，所 以 BF 平 面 ACFD.(2)解法一 如 圖 ， 延 長(zhǎng) AD， BE， CF相 交 于 一 點(diǎn) K， 則 BCK為 等 邊 三 角 形 . 考 點(diǎn) 整 合1.直 線 與 平 面 、 平 面 與 平 面 的 平 行 與 垂 直 的 向 量 方 法 2.直
3、線 與 直 線 、 直 線 與 平 面 、 平 面 與 平 面 的 夾 角 計(jì) 算 熱點(diǎn)一向量法證明平行與垂直【例1】 如 圖 ， 在 直 三 棱 柱 ADE BCF中 ， 平 面ABFE和 平 面 ABCD都 是 正 方 形 且 互 相 垂 直 ， M為AB的 中 點(diǎn) ， O為 DF的 中 點(diǎn) ， 運(yùn) 用 向 量 方 法 求 證 ： 探究提高解決本類問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運(yùn)算. 【訓(xùn)練1】 如 圖 ， 在 四 棱 錐 P ABCD中 ， PA 平面 ABCD， 底 面 ABCD是 菱 形 ， PA AB 2， BA
4、D 60 ， E是 PA的 中 點(diǎn) . 熱點(diǎn)二利用空間向量求空間角微 題 型 1 求 線 面 角 探究提高利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”. 微 題 型 2 求 二 面 角 探究提高利用法向量的根據(jù)是兩個(gè)半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補(bǔ)，在能斷定所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角的情況下，這種方法具有一定的優(yōu)勢(shì)，但要注意，必須能斷定“所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角”，在用法向量法求二面角的大小時(shí)，務(wù)必要作出
5、這個(gè)判斷，否則解法是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)? 熱點(diǎn)三向量法解決立體幾何中的探索性問(wèn)題 3.利 用 空 間 向 量 求 解 二 面 角 時(shí) ， 易 忽 視 二 面 角 的 范 圍 ， 誤 以為 兩 個(gè) 法 向 量 的 夾 角 就 是 所 求 的 二 面 角 ， 導(dǎo) 致 出 錯(cuò) .4.空 間 向 量 在 處 理 空 間 問(wèn) 題 時(shí) 具 有 很 大 的 優(yōu) 越 性 ， 能 把 “ 非運(yùn) 算 ” 問(wèn) 題 “ 運(yùn) 算 ” 化 ， 即 通 過(guò) 直 線 的 方 向 向 量 和 平 面 的法 向 量 ， 把 立 體 幾 何 中 的 平 行 、 垂 直 關(guān) 系 ， 各 類 角 、 距 離以 向 量 的 方 式 表 達(dá) 出 來(lái) ， 把 立 體 幾 何 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 空 間 向 量的 運(yùn) 算 問(wèn) 題 .應(yīng) 用 的 核 心 是 充 分 認(rèn) 識(shí) 形 體 特 征 ， 進(jìn) 而 建 立空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 通 過(guò) 向 量 的 運(yùn) 算 解 答 問(wèn) 題 ， 達(dá) 到 幾 何 問(wèn)題 代 數(shù) 化 的 目 的 ， 同 時(shí) 注 意 運(yùn) 算 的 準(zhǔn) 確 性 .
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