高中數(shù)學 第2講 證明不等式的基本方法高效整合課件 新人教A版選修4-5

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1、 知識網(wǎng)絡構建 考綱考情點擊 比較法綜合法分析法課標導航 反證法放縮法 1從內(nèi)容上看，本章為選修部分新增內(nèi)容，也是選考內(nèi)容，主要題型是證明不等式問題，用比較法、綜合法、分析法證明簡單的不等式，難度通常為中檔題2從能力要求上看主要考查學生的運算能力和分析問題的能力命題探究 熱點考點例析 作差比較法是證明不等式的基本方法，其依據(jù)是：不等式的意義及實數(shù)比較大小的充要條件證明的步驟大致是：作差恒等變形判斷結果的符號其中，變形是證明推理中一個承上啟下的關鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，也可以運用一切有效的恒等變形的

2、方法比較法證明不等式 已知a，b是正實數(shù)，n是正整數(shù)求證：(ab)(anbn)2(an1bn1)證明：(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnanbbn12an12bn1abnanban1bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)當ab0時，bnan0，ab0，此時(ab)(bnan)0； 當ba0時，bnan0，ab0，此時(ab)(bnan)0；當ab0時，bnan0，ab0，此時(ab)(bnan)0.綜上所述：(ab)(anbn)2(an1bn1)0.即：(ab)(anbn)2(an1bn1) 綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其

3、必要條件(由因導果)，最后推導出所要證明的不等式成立綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論證明時要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應用時要先考慮是否具備應有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當且僅當時，取等號”的理由要理解掌握綜合法證明不等式 已知a，b，c為ABC的三條邊，求證：a2b2c22(abbcca) 分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)

4、，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式當要證的不等式不知如何入手時，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更為有效分析法證明不等式 由教材內(nèi)容可知，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因導果”，逐步推導出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法一般來說，對于較復雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結合使用 反證法和放縮法(1)反證法：先假設要證明的結論是不正確的，然后利用公理、已有的定義、定理、命題的條件逐步分析，得到和命題的條件(已有的定義、定理、公理等

5、)矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而原來的命題結論正確反證法和放縮法證明不等式 (2)放縮法：將需要證明的不等式的值適當?shù)胤糯?或縮小)，使不等式由繁化簡，以達到證明的目的運用反證法、放縮法等等，證明不等式時既可探索新的證題方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學素養(yǎng) 已知函數(shù)f(x)是(， )上的增函數(shù)，a，b R.(1)若ab0，求證：f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結論分析：(1)充分利用已知條件中函數(shù)的單調(diào)性并結合不等式的性質(zhì)推證(2)寫出逆命題后，看一看能不能直接證若不能，則可考慮用反證法 化歸與轉化思想解決數(shù)學問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，將原問題轉化為一個新問題(相對來說，對自己較熟悉的問題)，通過新問題的求解，達到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉化的思想方法”不等式證明中的數(shù)學思想