反三角函數(正課)

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1、下 頁 上 頁 主 頁 下 頁 上 頁 主 頁 反 三 角 函 數 下 頁 上 頁 主 頁 (1)什 么 樣 的 函 數 有 反 函 數 ?一 一 對 應 函 數 有 反 函 數沒 有 ,因 為 他 不 是 一 一 對 應 函 數(2)互 為 反 函 數 圖 象 之 間 有 什 么 關 系關 于 直 線 y=x對 稱(4)正 弦 函 數 y=sinx在 上 有 反 函 數 嗎 ？(3)正 弦 函 數 y=sinx ,余 弦 函 數 y=cosx,正 切 函 數 y=tanx在 定 義 域 上 有 反 函 數 嗎 ? 余 弦 函 數 y=cosx在 0， 上 有 反 函 數 嗎 ？正 切 函 數

2、 y=tanx在 上 有 反 函 數 嗎 ？ , 2 2 ( , )2 2 下 頁 上 頁 主 頁 x yo-2 - 2 3 4 1-1 正 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？)(sin Rxxy 22 沒 有 ,因 為 他 不 是 一 一 對 應 函 數 ， 同 一 個 三 角 函 數 值 會 對 應 許 多 角 。正 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？sin ( , )2 2y x x 正 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？ 有 ,因 為 它 是 一 一 對 應 函 數 ，同 一 個 三 角 函 數 值 只 對 應 一 個 角 。 下 頁 上 頁 主 頁 一 、 反 正 弦 函 數 1、

3、定 義 ： 正 弦 函 數 的 反 函數 sin ( , )2 2y x x 叫 反 正 弦 函 數 ， 記 作 (本 義 反 函 數 ) arcsinx yarcsiny x 習 慣 記 作 (矯 正 反 函 數 ) 1,1, , 2 2x y 1,1, arcsin ,x a y a 若 有 下 頁 上 頁 主 頁 理 解 和 掌 握 符 號arcsin ( 1)a a （ 1） 、 表 示 一 個 角（ 2） 、 這 個 角 的 范 圍 是 ,2 2 （ 3） 、 這 個 角 的 正 弦 值 是即 ,aarcsinaarcsin , .2 2a 即sin(arcsin ) ( 1,1)a

4、 a a (4)arcsin(sin ) , , .2 2a a a 下 頁 上 頁 主 頁21.510.5-0.5-1-1.5-2-3 -2 -1 1 2 322 1-1 sin , , , 1,12 2y x x y arcsin , 1,1, , 2 2y x x y 2、 反 正 弦 函 數 y=arcsinx,x -1， 1的 圖 象 與 性 質 ： y xy x 2 2(1)定 義 域 :-1， 1。(2)值 域 : , 2 2 (3)奇 偶 性 : 是 奇 函 數 ，其 圖 象 關 于 坐 標 原 點 對 稱 ，arcsin( ) arcsin 1,1.x xx (4)單 調 性

5、 :是 增 函 數 。 o 下 頁 上 頁 主 頁 (1)arcsin1 _(2)arcsin( 1) _1(3)arcsin0 _(4)arcsin _21 2(5)arcsin( ) _(6)arcsin _2 22 3(7)arcsin( ) _(8)arcsin _2 2 3(9)arcsin( ) _2 3、 熟 記 特 殊 值 的 反 正 弦 函 數 值2 20 6 46 4 33 下 頁 上 頁 主 頁 2 -2-2 2O 1EF 22 只 有 正 弦 函 數 主 值 區(qū) 間 上 的 角 才 能 用反 正 弦 表 示 a x=? arcsinax1 x2x 1=-arcsinax

6、2=2+arcsina 4、 已 知 三 角 函 數 值 求 角2,2,sin xxy 3x4x3 arcsinx a 4 2 arcsinx a sin , 1, ( 1) arcsin ( )kx a a x R x k ak z , 2 2 下 頁 上 頁 主 頁你想學習例題講解嗎？不，回主頁是，繼續(xù) 例 1： 判 斷 下 列 各 式 是 否 正 確 ？ 并 簡述 理 由 。 3(1)arcsin 2 3 3(2)arcsin 3 2 (3)arcsin1 2 ( )2k k Z (4)arcsin( ) arcsin3 3 (5)sin(arcsin 2) 22 2(6)sin(arc

7、sin )10 10 對錯 13 錯錯 13 錯 2 1對 例 2、 求 下 列 各 式 的 值 ：2 1(1)sin arcsin (2)sin arcsin3 2 2(1) 1,1,3 2 2sin arcsin3 3 1(2) 1,1, 2 1 1sin arcsin 2 2 解 ： 例 3、 求 下 列 各 式 的 值 ： 3 4(1)tan arcsin (2)cos arcsin2 53(3)cos arcsin , 1,1 (4)sin 2arcsin5x x 3(1)tan arcsin 2 tan 33 , , cos 0, 2 2 2 3cos 1 sin ,5 4 3co

8、s arcsin5 5 解 ： 4(2) arcsin5 設 4sin 5 則 例 3、 求 下 列 各 式 的 值 ： 3 4(1)tan arcsin (2)cos arcsin2 53(3)cos arcsin , 1,1 (4)sin 2arcsin5x x , , cos 0,2 2 2 2cos 1 sin 1 ,x 24cos arcsin 15 x (3) arcsin ,x 設 sin x 則 例 3、 求 下 列 各 式 的 值 ： 3 4(1)tan arcsin (2)cos arcsin2 53(3)cos arcsin , 1,1 (4)sin 2arcsin5x

9、x 3 3 3(4)sin 2arcsin 2sin arcsin cos arcsin5 5 5 23 32 15 5 3 42 5 5 2425 例 4、 求 下 列 各 式 的 值 ： 2(1)arcsin sin (2)arcsin sin4 3 (1)arcsin sin 4 2arcsin 2 4 2(2)arcsin sin 3 3arcsin 2 3 下 頁 上 頁 主 頁2 51arcsin.2 51arccos. 2 15arcsin.2 15arccos. _1419983 DC BA 其 最 小 內 角 為的 正 弦 值 成 等 比 數 列 ，一 個 直 角 三 角 形

10、 三 內 角 ）年 全 國 ， 理、 （ Ba 故 應 選 （ 舍 ）或解 得 成 等 比 數 列 ， 則，解 ： 設 2 15arcsin 2 15sin2 15sin sinsin11cos,sin 2 下 頁 上 頁 主 頁你想學習反余弦函數嗎？不，回主頁是，繼續(xù) 下 頁 上 頁 主 頁 x yo-2 - 2 3 4 1-1 沒 有 ,因 為 他 不 是 一 一 對 應 函 數 ， 同 一 個 三 角 函 數 值 會 對 應 許 多 角 。 余 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？cos ( )y x x R cos ( 0, )y x x 余 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？ 有 ,因

11、 為 它 是 一 一 對 應 函 數 ，同 一 個 三 角 函 數 值 只 對 應 一 個 角 。 下 頁 上 頁 主 頁 二 、 反 余 弦 函 數 1、 定 義 ： 余 弦 函 數 的 反 函數 cos ( 0, )y x x 叫 反 余 弦 函 數 ， 記 作 (本 義 反 函 數 ) arccosx yarccosy x 習 慣 記 作 (矯 正 反 函 數 ) 1,1, 0, x y 1,1, arccos ,x a y a 若 有 下 頁 上 頁 主 頁 理 解 和 掌 握 符 號arccos( 1)a （ 1） 、 表 示 一 個 角（ 2） 、 這 個 角 的 范 圍 是 0,

12、 （ 3） 、 這 個 角 的 余 弦 值 是即 ,aarccosa arccos 0, .即cos(arccos ) ( 1,1)a a a (4)arccos(cos ) , 0, .a a a 下 頁 上 頁 主 頁 54.543.5 32.521.5 10.5-0.5 -1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4y=cosx,x 0， y -1， 1 y=arccosx,x -1， 1y 0， -1 12、 反 余 弦 函 數 y=arccosx,x -1， 1的 圖象 與 性 質 o xyy x (1)定 義 域 ： -1， 1。(2)值 域 : 0， 。(3)奇 偶 性 : 非 奇

13、非 偶 函 數(4)單 調 性 :是 減 函 數 。arccos( ) arccos 1,1.x xx 下 頁 上 頁 主 頁 arccos( ) arccos ( 1,1).x x x 證 明 ： 1 1,x 1 1,x cos( arccos ) cos(arccos ) ,x x x arccos 0, , arccos 0, ,x x arccos( ) arccos ( 1,1).x x x 證 明 ： 下 頁 上 頁 主 頁 (1)arccos1 _(2)arccos( 1) _1(3)arccos0 _(4)arccos _21 2(5)arccos( ) _(6)arccos

14、_2 22 3(7)arccos( ) _(8)arccos _2 2 3(9)arccos( ) _2 3、 熟 記 特 殊 值 的 反 正 弦 函 數 值2 0 3 4233 4 656 下 頁 上 頁 主 頁 只 有 余 弦 函 數 主 值 區(qū)間 0， 上 的 角 才 能用 反 余 弦 表 示 2 -2-2 2O 1EF a xarccosa x1 x2 x3-arccosa 2-arccosa2+arccosa,0,cos xxy 4、 已 知 三 角 函 數 值 求 角 cos , 1, 2 arcsin ( )x a a x R x k ak z 下 頁 上 頁 主 頁你想學習例題

15、講解嗎？不，回主頁是，繼續(xù) 例 1： 判 斷 下 列 各 式 是 否 正 確 ？ 并 簡述 理 由 。 1(1)arccos2 3 1(2)arccos3 2 (3)arccos0 2 ( )2k k Z (4)arccos( ) arccos3 3 (5)cos(arccos 2) 22 2(6)cos(arccos )10 10 對錯 13 錯錯 13 錯 2 1對 例 2、 求 下 列 各 式 的 值 ：2 11(1)cos arccos (2)arccos cos3 6 2(1) 1,1,3 2 2cos arccos 3 3 11(2)arccos cos 63arccos 2 6

16、解 ： 2cos(arcsin ) 1x x 的 過 程是 求 ， 證 明 原 式 的 過 程 就看 成 一 個 角分 析 ： 可 以 把 cos arcsinx 2 22 221arcsincos 1sin1cos0cos 1sincos2,2,sin arcsin xx xx x 所 以 所 以又 因 為 的 三 角 函 數 值 關 系利 用 同 角 則 由 反 正 弦 的 定 義 知證 明 ： 令 例 3、 證 明 ： 例 4、 求 下 列 各 式 的 值 ： 4(1)sin arccos 5(2)tan arccos , 1,1, 04 5(3)cos arccos arccos5 1

17、3x x x 4(1) arccos ,5 4cos 5 0, , sin 0, 2 3sin 1 cos ,5 4 3sin arccos 5 5 設 則 例 4、 求 下 列 各 式 的 值 ： 4(1)sin arccos 5(2)tan arccos , 1,1, 04 5(3)cos arccos arccos5 13x x x (2) arccos 0, , sin(arccos ) 0 x x sin(arccos )tan(arccos ) cos(arccos )xx x 21 cos (arccos )cos(arccos ) xx 21 xx 例 4、 求 下 列 各 式

18、 的 值 ： 4(1)sin arccos 5(2)tan arccos , 1,1, 04 5(3)cos arccos arccos5 13x x x 4 5cos arccos cos arccos5 13 4 5sin arccos sin arccos5 13 4 5 3 12 56.5 13 5 13 65 4 5(3)cos arccos arccos5 13 下 頁 上 頁 主 頁你想學習反正切函數嗎？不，回主頁是，繼續(xù) 下 頁 上 頁 主 頁 tan ( , )2y x x k k z 沒 有 ,因 為 他 不 是 一 一 對 應 函 數 ， 同 一 個 三 角 函 數 值

19、會 對 應 許 多 角 。 正 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？ tan , ( , )2 2y x x 正 弦 函 數 有 反 函 數 嗎 ？ 有 ,因 為 它 是 一 一 對 應 函 數 ，同 一 個 三 角 函 數 值 只 對 應 一 個 角 。22 下 頁 上 頁 主 頁 三 、 反 正 切 函 數 1、 定 義 ： 正 切 函 數 的 反 函數 tan ( ( , )2 2y x x 叫 反 正 切 函 數 ， 記 作 (本 義 反 函 數 ) arctanx yarctany x 習 慣 記 作 (矯 正 反 函 數 ) , ( , )2 2x R y , arctan ,x a

20、 R y a 若 有 下 頁 上 頁 主 頁 理 解 和 掌 握 符 號arctan ( )a a R（ 1） 、 表 示 一 個 角（ 2） 、 這 個 角 的 范 圍 是 ( , )2 2 （ 3） 、 這 個 角 的 正 切 值 是即 ,aarctanaarctan ( , ).2 2a 即tan(arctan ) ( )a a a R (4)arctan(tan ) , ( , ).2 2a a a 下 頁 上 頁 主 頁32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 2、 反 正 切 函 數y=arctanx,x R的 圖 象 與

21、性 質 22 Ry xxy )2,2(,tan 22)2,2(,arctan yRxxy(1)定 義 域 R(2)值 域 : ( , )2 2 (3)奇 偶 性 : 是 奇 函 數arctan(-x)=-arctanx(x R)其 圖 象 關 于 坐 標 原 點 對 稱 。(4)單 調 性 :是 增 函 數 y x 下 頁 上 頁 主 頁 (1)arctan1 _(2)arctan( 1) _(3)arctan0 _(4)arctan 3 _3(5)arctan( 3) _(6)arctan _33(7)arctan( ) _3 3、 熟 記 特 殊 值 的 反 正 切 函 數 值30 44

22、6 3 6 下 頁 上 頁 主 頁 只 有 正 切 函 數 主 值 區(qū) 間 上 的 角 才 能 用 反 正 切 表 示 22 axx=arctana 2323 x1 x2x1=arctana- x2=arctana+)2,2(,tan xxy4、 已 知 三 角 函 數 值 求 角 tan , arcsin ( )x aa R x k ak z ( , )2 2 下 頁 上 頁 主 頁你想學習例題講解嗎？不，回主頁是，繼續(xù) 下 頁 上 頁 主 頁 例 1、 求 下 列 各 式 的 值 ：2 11(1)tan arctan (2)arctan tan3 6 2(1) ,3 2 2tan arctan 3 3R 11(2)arctan tan 6 3arctan 3 6 解 ： 下 頁 上 頁 主 頁 例 2、 已 知 tan 2 (1) 0, ),2若 則則則 3(2) ( , )2 2 若(3) ,2k k z 若 arctan2arctan2 arctan2( )k k z 作業(yè)：請同學們預習第三章：直線與方程3.1的 練 習 和 習 題