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1、必修 3(第二章 統計 )知識結構 收集數據 (隨機抽樣 ) 整理、分析數據 估計、推斷 簡 單 隨 機 抽 樣 分 層 抽 樣 系 統 抽 樣 用樣本估計總體 變量間的相關關系 用樣本 的頻率 分布估 計總體 分布 用樣本 數字特 征估計 總體數 字特征 線 性 回 歸 分 析 統計的基本思想 y = f(x) y = f(x) y = f(x) 實際 樣本 模 擬 抽 樣 分 析 問題 1： 正方形的面積 y與正方形的邊長 x之間 的 函數關系 是 y = x2 確定性關系 問題 2： 某水田水稻產量 y與施肥量 x之間是否 -有一個確定性的關系？ 例如： 在 7 塊并排、形狀大小相同的試
2、驗田 上 進行施肥量對水稻產量影響的試驗，得到 如下所示的一組數據： 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產量 y 330 345 365 405 445 450 455 回顧變量之間的兩種關系 自變量取值一定時，因變量的取值帶有一 定隨機性的兩個變量之間的關系叫做 相關關系 。 1、定義： 1）：相關關系是一種不確定性關系； 注 對具有相關關系的兩個變量進行 統計分析的方法叫 回歸分析 。 2）： 2、 現實生活中存在著大量的相關關系。 如：人的身高與年齡； 產品的成本與生產數量； 商品的銷售額與廣告費； 家庭的支出與收入。等等 探索：水稻產量 y與施肥量 x之間大致
3、有何 規(guī)律？ 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 發(fā)現：圖中各點，大致分布在某條直線附近。 探索 2：在這些點附近可畫直線不止一條， 哪條直線最能代表 x與 y之間的關系呢？ x y 施化肥量 水稻產量 施化肥量 x 15 20 25 30 35 40 45 水稻產量 y 330 345 365 405 445 450 455 散點圖 10 20 30 40 50 500 450 400 350 300 x y 施化肥量 水稻產量 n 2 ii i= 1 Q ( a , b ) = ( y - b x - a ) 取最小值時, a , b 的值. ii(x ,
4、y ) ii(x ,y ) |ii|y -y 怎樣求回歸直線？ 最小二乘法： y = b x + a ( x ,y ) 稱為樣本點的中心 。 n ( x - x ) ( y - y ) ii i = 1 b= n 2 ( x - x ) i i = 1 a = y - b x . nn 11 其中x = x ,y = y . ii nn i = 1 i = 1 n ii i = 1 n 22 i i = 1 x y - n x y =, x - n x （ 3）對兩個變量進行的線性分析叫做 線性回歸分析 。 2、回歸直線方程： nn i i i i i = 1 i = 1 nn 2 22 ii
5、 i = 1 i = 1 ( x - x ) ( y - y ) x - n x y b = = , ( x - x ) x - n x a = y - b x y （ 2）相應的直線叫做 回歸直線 。 （ 1）所求直線方程 叫做 回歸直線方程 ； 其中 y = b x + a （注意回歸直線一定經過樣本點的中心） 例 1 假設關于某設備的使用年限 x和所有支出的維修費用 y(萬 元 )有如下的統計數據： x 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由此資料所知 y對 x呈線性相關關系，試求： 1.回歸直線方程 2.估計使用年限為 10年時，維修費用是多少？ 解題步驟
6、： 1.作散點圖 2.把數據列表，計算相應的值，求出回歸系數 3.寫出回歸方程 ,并按要求進行預測說明。 例 2 （ 2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產 甲產品過程中記錄的產量 x（噸）與相應的生產能耗 y (噸標準 煤 )的幾組對應數據。 X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數據的散點圖 (2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出 y關于 x的 性回歸方程 y bx a (3)已知該廠技改前 100噸甲產品的生產能耗為 90噸標準 煤，試根據（ 2）求出的線性回歸方程，預測生產 100 噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？ （參考數值：
7、 3 2 . 5 4 3 5 4 6 4 . 5 6 6 . 5 ） 小結：求回歸直線方程的步驟 nn i i i i i = 1 i = 1 nn 2 22 ii i = 1 i = 1 ( x - x ) ( y - y ) x - n x y b = = , ( x - x ) x - n x a = y - b x y （ 2）所求直線方程 叫做 回歸直線方程 ； 其中 y = b x + a （ 1）作散點圖，通過圖看出樣本點是否呈條狀分 布，進而判斷兩個量是否具有線性相關關系。 （ 3）根據回歸方程，并按要求進行預測說明。 第一章 統計案例 1.1回歸分析的基本思想及其初步應用 （
8、第二課時） a. 比 數學 3 中“回歸”增加的內 容 數學 統計 1. 畫散點圖 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回歸直線方程 y bx a 4. 用回歸直線方程 解決應用問題 選修 - 統計案例 5. 引入線性回歸模型 y bx a e 6. 了解模型中隨機誤差項 e產 生的原因 7. 了解相關指數 R2 和模型擬 合的效果之間的關系 8. 了解殘差圖的作用 9. 利用線性回歸模型解決一類 非線性回歸問題 10. 正確理解分析方法與結果 什么是回歸分析： “回歸”一詞是由英國生物學家 F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時首先提出的。 根據遺傳學的觀點，子輩的身高受父輩影響，以
9、X記父輩身高， Y記子輩身高。 雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此， X和 Y之間存在一種相關關系。 一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身 高必然向兩極分化，而事實上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩 的身高有向中心回歸的特點?！盎貧w”一詞即源于此。 雖然這種向中心回歸的現象只是特定領域里的結論，并不具有普遍性，但從它 所描述的關于 X為自變量， Y為不確定的因變量這種變量間的關系看，和我們現在的 回歸含義是相同的。 不過，現代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內容已有很大變化，它是一種應用 于許多領域的廣泛的分析研
10、究方法，在經濟理論研究和實證研究中也發(fā)揮著重要作用。 回歸分析的內容與步驟： 統計檢驗通過后，最后是 利用回歸模型，根據自變量去估計、預測因變量 。 回歸分析通過一個變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。 其主要內容和步驟是， 首先根據理論和對問題的分析判斷， 將變量分為自變量和因變量 ； 其次，設法 找出合適的數學方程式（即回歸模型） 描述變量間的關系； 由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要 對回歸模型進行統計檢驗 ； 例 1 從某大學中隨機選取 8名女大學生，其身高和體重數據如表 1-1所示。 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175
11、165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根據一名女大學生的身高預報她的體重的回歸方程，并預報一名身高為 172cm的女大學生的體重。 案例 1：女大學生的身高與體重 解： 1、選取身高為自變量 x，體重為因變量 y，作散點圖： 2、由散點圖知道身高和體重有比較好的 線性相關關系，因此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關系。 3、從散點圖還看到，樣本點散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數 y=bx+a描述它們關系。 我們可以用下面的 線性回歸模型 來表示： y=bx+a+e，其中 a和 b為模型的未知參數， e稱為隨機
12、誤差 。 思考 P3 產生隨機誤差項 e 的原因是什么？ 思考 P4 產生隨機誤差項 e的原因是什么？ 隨機誤差 e的來源 (可以推廣到一般）： 1、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能 還包括遺傳基因、飲食習慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測誤差。 探究 P4： 身高為 172cm的女大學生的體重一定是 60.316kg嗎？ 如果不是，你能解析一下原因嗎？ 答：身高為 172cm的女大學生的體重不一定是 60.316kg， 但一般可以認為她的體重在 60.316kg左右。 函數模型與回歸模型之間的差別 函數模型： ab
13、xy 回歸模型： eabxy 對回歸模型進行統計檢驗 表 1-4列出了女大學生身高和體重的原始數據以及相應的殘差數據。 在研究兩個變量間的關系時，首先要根據散點圖來粗略判斷它們是否線性相關， 是否可以用回歸模型來擬合數據。 殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數據中是否存在可疑數據， 這方面的分析工作稱為殘差分析 。 12, , , ne e e 編號 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 體重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 殘差 -6.373 2.6
14、27 2.419 -4.618 1.137 6.627 -2.883 0.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本 編號，或身高數據，或體重估計值等，這樣作出的圖形稱為 殘差圖 。 殘差圖的制作及作用。 坐標縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點應該分布在以 橫軸為心的帶形區(qū)域 ； 對于遠離橫軸的點，要特別注意 。 身 高 與 體 重 殘 差 圖 異 常 點 錯誤數據 模型問題 幾點說明： 第一個樣本點和第 6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集過程中是否有人為 的錯誤。如果數據采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸
15、模型擬合數 據；如果數據采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計較合適，這 樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高。 我們可以用 相關指數 R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 殘 差 平 方 和 。 總 偏 差 平 方 和 另外， 2. 反映回歸直線的擬合程度 3. 取值范圍在 0 , 1 之間 4. r2 1，說明回歸方程擬合的越好； r20， 說明回歸方程擬合的越差 5. 判定系數等于相關系數的平方，即 r2 (r)2 我
16、們可以用 相關指數 R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 殘 差 平 方 和 。 總 偏 差 平 方 和 顯然， R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。 在線性回歸模型中， R2表示解析變量對預報變量變化的貢獻率 。 R2越接近 1，表示回歸的效果越好（因為 R2越接近 1，表示解析變量和預報變量的 線性相關性越強）。 如果某組數據可能采取幾種不同回歸方程進行回歸分析，則可以通過比較 R2的值 來做出選擇，即 選取 R2較大的模型作為這組數據的模型 。 總的來說： 相關指數 R2是度量模型擬合
17、效果的一種指標。 在線性模型中，它 代表自變量刻畫預報變量的能力 。 我們可以用 相關指數 R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n i i i n i i yy R yy 殘 差 平 方 和 。 總 偏 差 平 方 和 1 354 總計 0.36 128.361 殘差變量 0.64 225.639 解釋變量 比例 平方和 來源 表 1-3 從表 3-1中可以看出，解析變量對總效應約貢獻了 64%，即 R2 0.64，可以敘述為 “身高解析了 64%的體重變化”，而隨機誤差貢獻了剩余的 36%。 所以，身高對體重的效應比隨機誤差的效應大得多。 用身高預報體重
18、時，需要注意下列問題： 1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體； 2、我們所建立的回歸方程一般都有時間性； 3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍； 4、不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值。 事實上，它是預報變量的可能取值的平均值。 這些問題也使用于其他問題。 涉及到統計的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時間性； 樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預報結果的正確理解。 小結： 一般地，建立回歸模型的基本步驟為： （ 1）確定研究對象，明確哪個變量是解析變量，哪個變量是預報變量。 （ 2）畫出確定好的解析變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系 （如是否存在線性關系等
19、）。 （ 3）由經驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數據呈線性關系，則選用線性 回歸方程 y=bx+a） . （ 4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數（如最小二乘法）。 （ 5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數據對應殘差過大，或殘差呈現 不隨機的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是 否合適等。 例 1 假設關于某設備的使用年限 x和所有支出的維修費用 y(萬 元 )有如下的統計數據： x 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 試求： 1.對變量 y與 x進行相關性檢驗 2.求回歸直線 3.根據你得到的模型，預報使用年限為 10年時，維修費用是多少？ 4.你認為這個模型能較好地刻畫年限與維修費用的關系嗎？ 請說明理由 詳細解題過程 例 2 （ 2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產 甲產品過程中記錄的產量 x（噸）與相應的生產能耗 y (噸標準 煤 )的幾組對應數據。 X 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)對變量 y與 x進行相關性檢驗 (2)如果兩變量 x、 y具有線性相關關系，試求出 y關于 x的線性回歸方程。 （ 3）根據你得到的模型，預報使用產量為 100噸，預測生產能耗是多少？ （ 4）你認為這個模型能較好地刻畫產量與能耗的關系嗎？ 請說明理由
復習線性回歸方程的求法
