考研數(shù)學(xué)正態(tài)分布模版課件

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1、 正態(tài)分布是應(yīng)用最正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布廣泛的一種連續(xù)型分布.正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱(chēng)為高高斯加以推廣，所以通常稱(chēng)為高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)概率的一個(gè)近似公式，這一公式率的一個(gè)近似公式，這一公式被認(rèn)為是被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面正態(tài)分布的首次露面.第五講第五講 正態(tài)分布正態(tài)分布 （高斯（高斯GaussGauss分布）分布）高高爾爾頓頓釘釘板板試試驗(yàn)驗(yàn)這條曲線就近似我們將要介紹這條曲線就近似我們將要介紹的的正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線。的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？正態(tài)分布的定義是什

2、么呢？對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，一般是給出它的它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)。一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義 若若r.v X的的概率密度為概率密度為記作記作 f(x)所確定的曲線叫作所確定的曲線叫作正態(tài)曲線正態(tài)曲線.其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)，任意，任意，0，則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.下面驗(yàn)證滿足概率密度性質(zhì)下面驗(yàn)證滿足概率密度性質(zhì):(1)f(x)0,(2)證明：證明：而而 令令 t=cos,u=sin從而從而 二、正態(tài)分布二、正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn) 正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)對(duì)稱(chēng)的

3、鐘形曲線稱(chēng)的鐘形曲線.特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱(chēng)兩頭小，中間大，左右對(duì)稱(chēng)”.”.決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置，決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn) 能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達(dá)式，得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？得出正態(tài)分布的圖形特點(diǎn)呢？容易看到，容易看到，f(x)0即整個(gè)概率密度曲線都在即整個(gè)概率密度曲線都在x軸的上方軸的上方;故故f(x)以以為對(duì)稱(chēng)軸，并在為對(duì)稱(chēng)軸，并在x=處達(dá)到最大處達(dá)到最大值值:令令x=+c,x=-c(c0),分別代入分別代入f(x),可得可得f(+c)=f(-c)且且 f(

4、+c)f(),f(-c)f()這說(shuō)明曲線這說(shuō)明曲線 f(x)向左右伸展時(shí)，越來(lái)越向左右伸展時(shí)，越來(lái)越貼近貼近x軸。即軸。即f(x)以以x軸為軸為漸近線漸近線。當(dāng)當(dāng)x 時(shí)，時(shí)，f(x)0,用求導(dǎo)的方法可以證明，用求導(dǎo)的方法可以證明，為為f(x)的兩個(gè)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x=這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下這是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，如果忘記了，課下再?gòu)?fù)習(xí)一下。再?gòu)?fù)習(xí)一下。根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正根據(jù)對(duì)密度函數(shù)的分析，也可初步畫(huà)出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。態(tài)分布的概率密度曲線圖。下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高下面是我們用某大學(xué)男大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫(huà)出的頻率直方圖。的數(shù)據(jù)畫(huà)出

5、的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見(jiàn)，某大學(xué)男大學(xué)生的身高可見(jiàn)，某大學(xué)男大學(xué)生的身高應(yīng)服從正態(tài)分布。應(yīng)服從正態(tài)分布。人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多數(shù)數(shù)，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少數(shù)數(shù)，而而且且較較高高和和較較矮矮的的人人數(shù)數(shù)大大致致相相近近，這這從從一一個(gè)個(gè)方方面面反反映映了了服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的特特點(diǎn)。點(diǎn)。除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的身高外除了我們?cè)谇懊嬗龅竭^(guò)的身高外,在正在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小寸

6、；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布似服從正態(tài)分布.服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量X的的概率密度是概率密度是X的分布函數(shù)的分布函數(shù)P(Xx)是怎樣的呢？是怎樣的呢？設(shè)設(shè)X ,X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個(gè)參數(shù)和和唯唯一確定，一確定，當(dāng)當(dāng)和和不同時(shí)，是不同的正不同時(shí)，是不同的正態(tài)分布。態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布

7、三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布分布函數(shù)制成表函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題率計(jì)算問(wèn)題.,則則 N(0,1)設(shè)設(shè)定理定理1 書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)

8、值表，有了書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.四、正態(tài)分布表四、正態(tài)分布表表中給的是表中給的是x0時(shí)時(shí),(x)的值的值.當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí)若若N(0,1)若若 XN(0,1),由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說(shuō)明，這說(shuō)明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)當(dāng)XN(0,1)(0,1)時(shí)，時(shí)，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544

9、P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974五、五、3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,時(shí)，時(shí)，可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱(chēng)作“3 3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.例例2 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)公共汽車(chē)車(chē)門(mén)的高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在以下來(lái)設(shè)計(jì)的頂頭碰頭機(jī)會(huì)在以下來(lái)設(shè)計(jì)的.設(shè)男子設(shè)男子身高身高XN(170,62),),問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定問(wèn)車(chē)門(mén)高度應(yīng)如何確定?解解:設(shè)車(chē)門(mén)高度為設(shè)車(chē)門(mén)高度為h cm,按設(shè)計(jì)要求按設(shè)計(jì)要求P(X h或或

10、P(X h)，下面我們來(lái)求滿足上式的最小的下面我們來(lái)求滿足上式的最小的 h.再看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子再看一個(gè)應(yīng)用正態(tài)分布的例子:因?yàn)橐驗(yàn)閄N(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為184厘米時(shí)，可使厘米時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)碰頭男子與車(chē)門(mén)碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò)機(jī)會(huì)不超過(guò).P(X h)0.99求滿足求滿足的最小的的最小的 h.這一講，我們介紹了正態(tài)分布，這一講，我們介紹了正態(tài)分布，它的它的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道它打交道.后面第五章中，我們還將介紹為什么后面第五章

11、中，我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.求截面面積求截面面積 A=的分布的分布.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，第六講第六講 隨機(jī)變量函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)分布分布 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.已知已知t=t0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R為電阻）為電阻）的分布等的分布等

12、.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進(jìn)行討論下面進(jìn)行討論.這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的上都是重要的.二、離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)的分布解：解：當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)，Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，例例1求求 Y=2X+3 的概率分布的概率分布.而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件的事件，兩者具有相同的概率，兩者具有相同的概率.故故X 1

13、2 5 P 0.2 0.5 0.3X 5 7 13 P 0.2 0.5 0.3如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v，X的概率分布列為的概率分布列為則則 Y=g(X)X x1 x2 xn P p1 p2 pn g(X)g(x1)g(x2)g(xn)P p1 p2 pn 如：如：則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：X -1 0 1 P 0.3 0.6 0.1X 0 1 P 0.6 0.4 三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函

14、數(shù)FX(x),概率密度概率密度f(wàn)X(x),求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY(y),概率概率密度密度f(wàn)Y(y)時(shí)，有兩種方法：時(shí)，有兩種方法：1.分布函數(shù)法分布函數(shù)法:(1)FY(y)=P(Yy)=Pg(X)y2.將它用將它用FX(x)表示，表示，(2)解：解：設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)故故注意到注意到 0 x 4 時(shí)，時(shí)，即即 8 y 0 時(shí)時(shí),注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時(shí)，時(shí)，設(shè)

15、設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，解：解：若若則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy)的過(guò)的過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從從 g(X)y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X)y 等價(jià)的等價(jià)的X的不等式的不等式.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 用用 代替代替 X2 y 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從而求出相應(yīng)的概率而求出相應(yīng)的概率.這是求的函數(shù)的分布的一種常用方法這是求的函數(shù)的分布的一種常用方法.例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密

16、度為的概率密度為求求Y=sinX的概率密度的概率密度.當(dāng)當(dāng) y 0時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故解解:注意到注意到,=P(0 X arcsiny)+P(-arcsiny X ）解：解：當(dāng)當(dāng)0y1時(shí)時(shí),例例4 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為求求Y=sinX的概率密度的概率密度.當(dāng)當(dāng)0y1,G(y)=1;對(duì)對(duì)y0,G(y)=0;由于由于對(duì)對(duì)0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X)y)=P(X (y)=F(y)=y即即Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是求導(dǎo)得求導(dǎo)得Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)可見(jiàn)可見(jiàn),Y 服從服從0，1上的均勻分布上的均勻分布.本例的結(jié)論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用本例的結(jié)

17、論在計(jì)算機(jī)模擬中有重要的應(yīng)用.例如，想得到具有密度函數(shù)為例如，想得到具有密度函數(shù)為的隨機(jī)數(shù)的隨機(jī)數(shù).參數(shù)為參數(shù)為 的的指數(shù)分布指數(shù)分布 根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，Y=F(X)服從服從0,1上的均勻分布上的均勻分布.由于由于 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù).應(yīng)如何做呢？應(yīng)如何做呢？于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)的方于是得到產(chǎn)生指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)的方法如下法如下:均勻隨機(jī)數(shù)均勻隨機(jī)數(shù) ui給指數(shù)分布參數(shù)給指數(shù)分布參數(shù)令令指數(shù)隨機(jī)數(shù)指數(shù)隨機(jī)數(shù) 下面給出一個(gè)定理，在滿下面給出一個(gè)定理，在滿足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)

18、的概率密度.2.公式法：公式法：定理定理1：若若y=g(x)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù) x=h(y)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=g(X)為連續(xù)為連續(xù) 型隨機(jī)變量，其概率密度為：型隨機(jī)變量，其概率密度為：定理定理2：若若y=g(x)連續(xù)且在不相交的區(qū)間連續(xù)且在不相交的區(qū)間I1，I2，In上逐段嚴(yán)格單調(diào)，對(duì)應(yīng)的反函數(shù)分上逐段嚴(yán)格單調(diào)，對(duì)應(yīng)的反函數(shù)分 別為別為h1(y),h2(y),hn(y),則則Y=g(X)為連續(xù)為連續(xù) 型隨機(jī)變量，其概率密度為：型隨機(jī)變量，其概率密度為：例例6 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求Y=-2lnX的

19、概率密度的概率密度.解：解：在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0,于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)上單調(diào)下降，有反函數(shù)由前述定理得由前述定理得注意取注意取絕對(duì)值絕對(duì)值已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達(dá)式中的表達(dá)式中得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X)的的分布時(shí)，分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件關(guān)鍵的一步是把事件 g(X)y 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以，從而可以利用利用 X 的分布來(lái)求的分布來(lái)求 P g(X)y.這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布.P66 例例4的結(jié)論記住，即若的結(jié)論記住，即若XN（,2）則則Y=aX+bN(a+b,a22).正態(tài)變量的線性函正態(tài)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)變量。數(shù)仍為正態(tài)變量。第第三三章章內(nèi)內(nèi)容容總總框框圖圖隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 隨機(jī)變量概念的引入 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度離散型隨機(jī)變量及其概率分布列概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布列與分布函數(shù)的關(guān)系幾種重要的連續(xù)型分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布 幾種重要的 離散型分布均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布二項(xiàng)分布的正態(tài)近似二項(xiàng)分布泊松分布幾何分布超幾何分布二項(xiàng)分布的泊松近似