線性代數(shù)課件：第2章 行列式的性質(zhì)與計(jì)算

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1、 將行列式將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT (Transpose)或或D .即如果即如果2.1 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT 則.第第2章章 行列式的性質(zhì)與計(jì)算行列式的性質(zhì)與計(jì)算顯然，顯然，(DT)T=D.行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D DT.性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 2

2、互換行列式的兩行互換行列式的兩行互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列列列)，行列式的值變號(hào)，行列式的值變號(hào)，行列式的值變號(hào)，行列式的值變號(hào).3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 例例1=_.3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0 3 2 1 0 1 5 6 2 0 1 7 3 3 2 1 0=3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0 推論推論推論推論.若行列式若行列式若行列式若行列式D D中有兩行中有兩行中有兩行中有兩行(列列列列)完全相同完全相同完全相同完全相同,則則則則D D=0.=0.行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)0 a

3、11 a12 a1n ka21 ka22 ka2n an1 an2 anna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 性質(zhì)性質(zhì)3 行列式某一行的公因子可以提取出來(lái)行列式某一行的公因子可以提取出來(lái).行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)=kka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kan1 kan2 kanna11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=_.kn 思考：思考：性質(zhì)性質(zhì)3 行列式某一行或列的公因子可以提取出來(lái)行列式某一行或列的公因子可以提取出來(lái).a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann=k.a11ai

4、1an1 a12ai2an2 a1nainann 推論推論1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素為零，則的元素為零，則D0.推論推論2 如果如果D中有兩行中有兩行(列列)成比例，則成比例，則D=0.行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是兩數(shù)之和，的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式之和則此行列式可以寫(xiě)成兩個(gè)行列式之和.即即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann

5、 .行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a+u b+v c+x d+y=.+a b c d(A)u v x y 例例2.+u b x d(B)u v x y+a b c d a v c y+a b+vc d+yu b+v x d+y B行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)5 將行列式的某一行將行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以數(shù)的所有元素同乘以數(shù)k后后加到另一行加到另一行(列列)對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即即a11ai1aj1an1 a12ai2aj2an2 a1nainajnann a11ai1+kaj1aj1an1a12ai2+kaj2aj2an2a1nain+

6、kajnajnann.要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計(jì)算。為表述方便，引入下列記號(hào)為表述方便，引入下列記號(hào)(行用行用r，列用，列用c)：2)以數(shù)以數(shù)k乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；3)以數(shù)以數(shù)k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示.1)交換行列式的第交換行列式的第 i 行與第行與第 j 行，用行，用 rirj表示表示 ；行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算row row(行行行行)co

7、lumncolumn（列）（列）（列）（列）a ba bc dc da a+c bc b+d d c d c da a+c bc b+d d a a b br r1 1+r+r2 2a ba bc dc d a ba bc c a da d b b c dc dc c a da d b br r1 1+r+r2 2r r2 2 r r1 1r r2 2 r r1 1為了不引起混淆為了不引起混淆為了不引起混淆為了不引起混淆,每步最好只進(jìn)行一每步最好只進(jìn)行一每步最好只進(jìn)行一每步最好只進(jìn)行一個(gè)操作個(gè)操作個(gè)操作個(gè)操作.例如例如例如例如:例例例例3 3.計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：=

8、-85.例例例例4.4.計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：解：解：例例例例5.5.計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：解：解：將各行都加到第一行，從第一行提取將各行都加到第一行，從第一行提取將各行都加到第一行，從第一行提取將各行都加到第一行，從第一行提取 x x+(+(n n-1)-1)a a,得得得得解：解：解：解：例例例例6.6.計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式計(jì)算行列式Oh!I love it!一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 定義定義1 在在n階行列式階行列式D=|aij|中去掉元素中去掉元素a ij 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后,余余下

9、的下的n-1階行列式，稱為階行列式，稱為D中元素中元素aij 的的余子式余子式余子式余子式，記作，記作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求例如，求4階行列式中階行列式中a32的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32(-1)3+2M32=-M32令令A(yù)ij(1)i jMij，Aij稱為元素稱為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式.2.2 行列式按行行列式按行(列列)展開(kāi)展開(kāi) 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 定義定義1 在在n

10、階行列式階行列式D=|aij|中去掉元素中去掉元素a ij 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后,余余下的下的n-1階行列式，稱為階行列式，稱為D中元素中元素aij 的的余子式余子式余子式余子式，記作，記作Mij.令令A(yù)ij(1)i jMij，Aij稱為元素稱為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式代數(shù)余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4階行列式中階行列式中a13的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13(-1)1+3M13=M13 定

11、理定理定理定理1 1 n階行列式階行列式D=|aij|等于它的任意一行等于它的任意一行(列列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和代數(shù)余子式乘積的和.即即 定理定理定理定理2 2 n階行列式階行列式D=|aij|的某一行的某一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即即Dai1Ai1ai2Ai2 ainAin(i=1,2,n)，Da1jA1ja2jA2j anj Anj(j=1,2,n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i

12、j).二、展開(kāi)定理二、展開(kāi)定理二、展開(kāi)定理二、展開(kāi)定理 例例1分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式11-2013-231D=解：解：按第一行展開(kāi)按第一行展開(kāi)13311-2311-213a11A11a12A12a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展開(kāi)定理計(jì)算行列式三、利用展開(kāi)定理計(jì)算行列式按第二列展開(kāi)按第二列展開(kāi)1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18.例例1分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式分別按第一行與第二列展開(kāi)行列式11-2013-231D=解

13、：解：按第一行展開(kāi)按第一行展開(kāi)a11A11a12A12a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32 D解：解：將某行將某行(列列)化為僅有一個(gè)非零元素后展開(kāi)化為僅有一個(gè)非零元素后展開(kāi)例例2計(jì)算行列式計(jì)算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D=(-1)(-1)3+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24.7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1

14、 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D=例例3.計(jì)算行列式計(jì)算行列式解：解：(D2=5)解：解：例例4.計(jì)算行列式計(jì)算行列式例例5.證明范得蒙（證明范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式例如例如,n=4 時(shí)時(shí)D4=證明：證明：從最后一行起每一行加上前一行的從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得例例5.證明范得蒙（證明范得蒙（Vandermonde）行列式）行列式由此推得由此推得 即即 行列式 眾數(shù)縱橫成方陣，多少玄機(jī)藏其中。行列算盡得一值，卻是智取勝?gòu)?qiáng)攻。奇次對(duì)換變符號(hào)，轉(zhuǎn)置倍加果相同。妙手巧化繁為簡(jiǎn)，八仙過(guò)海顯神通。作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：作業(yè)：2121頁(yè)頁(yè)頁(yè)頁(yè) 4(1)5(3)7(3)4(1)5(3)7(3)9(1)9(1)10(2)10(2)