極值與凹凸性

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1、o xya b)(xfy 1x 2x 3x 4x 5x 6xo xy o xy0 x 0 x3.4 極 值 與 凹 凸 性 定 義 3.1 )()( 0 xfxf 或)()( 0 xfxf 為 函 數(shù)則 稱 )()( 0 xfxf 的 一 個 極 大 值 (或 極 小 值 ), 如 果 在 x0的 函 數(shù) 的 極 大 值 與 極 小 值 統(tǒng) 稱 為 極 值 , 使 函 數(shù)取 得 極 值 的 點 x0稱 為 極 值 點 .設 在 x0 附 近 有 定 義 , )(xf某 個 空 心 鄰 域 內 , 恒 有注 意 : 極 值 的 概 念 是 一 個 局 部 性 的 概 念 , 它 僅 涉及 函 數(shù)

2、 在 一 點 附 近 的 性 質 . 定 理 3.4 (極 值 的 必 要 條 件 )注 意 : 可 導 函 數(shù) 的 極 值 點 必 定 是 駐 點 ,例 如 , ,3xy ,00 xy但 駐 點 不 一 定 是 極 值 點 .則 必 有 .0)( 0 xf設 在 點 處 可 導 , 且 在 處 取 得 極 值 , )(xf 0 x 0 x )(,)( xfxf 稱 為 函 數(shù)為 零 的 點使 得 導 數(shù) 的 駐 點 .0不 是 極 值 點但 x另 外 : 連 續(xù) 函 數(shù) 的 不 可 導 點 , 也 可 能 是 極 值 點 .例 如 , ,xy .,0 但 是 極 小 值 點處 不 可 導在

3、x 設 函 數(shù) 在 x0 處 連 續(xù) ,)(xf定 理 3.5 (極 值 的 第 一 充 分 條 件 )在 x0的 某 個 空 心鄰 域 內 可 導 , 則 ，0)( xf(1) 如 果 有),( 00 xxx ),( 00 xxx而,0)( xf有 則 在 處 取 得 極 大 值 ;)(xf 0 x ，0)( xf(2) 如 果 有),( 00 xxx ),( 00 xxx而,0)( xf有 則 在 處 取 得 極 小 值 ;)(xf 0 x(3) 如 果 當 及 時 ,),( 00 xxx ),( 00 xxx )(xf 符 號 相 同 ,則 在 處 無 極 值 .0 x)(xf xyo

4、xyo0 x 0 x 是 極 值 點 情 形xyo xyo0 x 0 x 不 是 極 值 點 情 形 求 函 數(shù) 極 值 的 基 本 步 驟 :(3) 求 出 各 極 值 點 處 的 函 數(shù) 值 , 得 到 相 應 的 極 值 .(1) 求 出 的 所 有 可 能 的 極 值 點 , 即 的 不 可 導的 點 和 的 點 ;)(xf 0)( xf(2) 對 (1)中 求 得 的 每 個 點 , 根 據 在 其 左 、右 是 否 變 號 , 確 定 該 點 是 否 為 極 值 點 . 0)( xf 如 果 是 極 值 點 , 進 一 步 確 定 是 極 大 值 點 還 是極 小 值 點 ; x例

5、 1 求 函 數(shù) 的 極 值 .解 3 2)1()( xxxf ，令 0)( xf .31x得 駐 點)0,( 1,31 31,00 31)(xf )(xf 0 極大值 極小值)1,0(,)1(3 31)( 3 2 xxx xxf函 數(shù) 在 其 定 義 域 內 連 續(xù) .),( ,10 時與當 xx 導 數(shù) 不 存 在 ; 1 ),1( 不存在無極值 不存在 .0)1( f,3431 3f定 理 3.6 (極 值 的 第 二 充 分 條 件 ) 注 意 : ,)(,0)( 00 處 不 一 定 取 得 極 值在 點時 xxfxf ,0)( 0 xf 則 ,0)( 0 xf設 在 處 具 有 二

6、 階 導 數(shù) , 且)(xf 0 x(1) 當 時 , 函 數(shù) 在 處 取 得 極 大 值 ;)(xf 0 x0)( 0 xf(2) 當 時 , 函 數(shù) 在 處 取 得 極 小 值 .)(xf 0 x0)( 0 xf此 時 仍 需 用 定 理 3.5. 極 大 值 極 小 值 解 xxxf 63)( 2 ，令 0)( xf .2,0 21 xx得 駐 點 66)( xxf ,06)0( f ,1)0( f故 極 大 值,06)2( f .3)2( f故 極 小 值).,( 定 義 域 為例 2 求 函 數(shù) 的 極 值 .13)( 23 xxxf )(xfy )(xfy 1x 2x 1x 2x2

7、 21 xx 2 21 xx 圖 形 上 任 意 弧 段位 于 所 張 弦 的 上 方xyO xyO3.4.2 曲 線 的 凹 凸 性 及 拐 點問 題 : 如 何 研 究 曲 線 的 彎 曲 方 向 ?圖 形 上 任 意 弧 段位 于 所 張 弦 的 下 方 恒 有 2 )()(2 2121 xfxfxxf 2 )()(2 2121 xfxfxxf ;,)( 或 稱 凹 的上 是 向 下 凸 的在 區(qū) 間則 稱 Ixf 設 在 區(qū) 間 I 上 連 續(xù) , )(xf定 義 3.2 , 21 Ixx 如 果 恒 有 .,)( 或 稱 凸 的上 是 向 上 凸 的在 區(qū) 間則 稱 Ixf , 21

8、 Ixx 如 果 則內 可 導在上 連 續(xù)在 ,),(,)( babaxf定 理 3.7 設 ;,)(,0)(),()1( 上 是 凹 的在則內若 在 baxfxfba .,)(,0)(),()2( 上 是 凸 的在則內若 在 baxfxfba 解 ,3 2xy xy 6時 ，當 0 x ,0y ;0,(, 上 是 凸 的曲 線 在所 以 時 ，當 0 x ,0y .),0, 上 是 凹 的曲 線 在所 以 定 義 3.3 連 續(xù) 曲 線 上 凹 凸 性 發(fā) 生 變 化 的 點 稱 為 曲 線的 拐 點 .例 3 判 斷 曲 線 的 凹 凸 性 .3xy 定 理 3.8 (拐 點 的 第 一

9、充 分 條 件 ) 設 函 數(shù) 在 x0的 某 鄰 域 內 連 續(xù) ，)(xfy )( 0 xU在 空 心 鄰 域 內 存 在 , )( 0 xU )(xf (1) ,)(0 異 號兩 側若 在 xfx ;)(,( 00 即 為 拐 點則 點 xfx(2) ,)(0 同 號兩 側若 在 xfx .)(,( 00 不 是 拐 點則 點 xfx定 理 3.9 (拐 點 的 第 二 充 分 條 件 ) ,0)(,0)( 00 xfxf若 是則 點 )(,( 00 xfx曲 線 的 拐 點 .)(xfy 解 ,3235 3132 xxy )0(,9 )15(2 34 xxxy .51,0 xy 得令x

10、 51, ),0( 0,5151 0)(xf )(xf 0 凹 的凸 的 凹 的拐 點 不 是拐 點例 4 求 曲 線 的 拐 點 及 凹 凸 區(qū) 間 . 函 數(shù) 在 其 定 義 域 內 連 續(xù) .),( 3 2)1( xxy ;,0 均 不 存 在處在 yyx 不存在 3 25156,51 例 5 證 明 ).,0,0(,2ln2lnln yxyxyxyxyyxx 證 令 22 )()( yxfyfxf ).0(,ln)( ttttf ,),0(, yxyx .2ln2lnln yxyxyyxx ,1ln)( ttf 01)( ttf所 以 曲 線 在 上 是 嚴 格 向 下 凸 的 .),

11、0( 有即 .,)( 且 其 圖 形 是 凸 的上 連 續(xù)在如 果 baxf性 質 ),2,1(0, nipbax ii ,121 nppp )( 22211 xpxpxpf n .21 時 成 立等 號 僅 當 nxxx )()()( 2211 nn xfpxfpxfp 有則 其 中 證 .2,0,2sin)( xxxxf ,2cos)( xxf .)( 的 圖 形 是 凸 的xf ,0)0( f又,20 時因 此 當 x .2sin xx .2sin,20 xxx 時例 6 證 明 當 0sin)( xxf設 則 ,02 f即,02)1()0()( ftftxf ,2)1(0 ttx使),

12、1,0(t 沿 著 曲 線上 的 一 動 點當 曲 線 Pxfy )(1. 鉛 直 漸 近 線 (垂 直 于 x 軸 的 漸 近 線 ),)(lim)(lim 00 xfxf xxxx 或 3.4.3 函 數(shù) 圖 形 的 描 繪一 條 漸 近 線 . .)(0 的 一 條 鉛 直 漸 近 線就 是那 么 直 線 xfyxx 的就 稱 為 曲 線那 么 直 線 )(xfyL 移 向 無 窮 點 時 , 如 果 點 P到 某 定 直 線 L 的 距 離趨 向 于 零 ,如 果 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 兩 條 鉛 直 漸 近 線 : .3,2 xx 2. 水 平 漸 近 線 (平 行

13、于 x 軸 的 漸 近 線 ) ),()(lim)(lim 為 常 數(shù)或 bbxfbxf xx 例 如 ,arctan xy 有 兩 條 水 平 漸 近 線 : .2,2 yy .)( 的 一 條 水 平 漸 近 線就 是那 么 直 線 xfyby xy O22如 果 3. 斜 漸 近 線 ,0)()(lim baxxfx斜 漸 近 線 求 法 ,)(lim axxf x .)(lim baxxfx .)( 的 一 條 斜 漸 近 線就 是 曲 線則 xfybaxy .)( 的 一 條 斜 漸 近 線就 是那 么 xfybaxy 如 果 ),(,0)()(lim 為 常 數(shù)babaxxfx 或

14、若 且 注 意 : xxfx )(lim)1( )(lim,)(lim)2( axxfaxxf xx 但解 如 果 ).,1()1,( 定 義 域 為例 7 求 的 漸 近 線 .1 )3)(2(2)( x xxxf 不 存 在 ; 不 存 在 ;可 以 斷 定 不 存 在 斜 漸 近 線 .)(xfy )(lim1 xfx xxfx )(lim )1( )3)(2(2lim xx xxx 2 xx xxx 21 )3)(2(2lim 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx 4所 以 , 是 曲 線 的 鉛 直 漸 近 線 .1x所 以 , 是 曲 線 的 一 條 斜 漸 近 線 .

15、 42 xy (1) 確 定 函 數(shù) 的 定 義 域 、 間 斷 點 、 奇 偶 性 和 周 期 性 .和 拐 點 .(2) 確 定 曲 線 的 漸 近 線 , 把 握 函 數(shù) 的 變 化 趨 勢 . 確 定 曲 線 的 凹 凸 性 (4) 適 當 計 算 曲 線 上 一 些 點 的 坐 標 ,如 極 值 , 拐 點的 坐 標 , 注 意 曲 線 是 否 與 坐 標 軸 是 否 有 交 點 .函 數(shù) 作 圖 的 具 體 步 驟 可 歸 納 如 下 : (3) 求 出 函 數(shù) 的 單 調 性 和 極 值 , 例 8 描 繪 函 數(shù) 的 圖 形 .2)1(4)( 2 xxxf解 ),0()0,(

16、函 數(shù) 非 奇 非 偶 .,)2(4)( 3xxxf 4 )3(8)( xxxf ,0)( xf令 ,2x得 駐 點,0)( xf令 .3x得 2)1(4lim)(lim 2xxxf xx 2.2y 定 義 域 為水 平 漸 近 線 : 2)1(4lim)(lim 200 xxxf xx , .0 xx )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2()(xf )(xf 00)(xf 2 0 不 存 在拐 點 極 小 值 間斷點3 926,3無 斜 漸 近 線 . ,)2(4)( 3xxxf 4 )3(8)( xxxf ,2)1(4)( 2 xxxf 列 表 確 定 函 數(shù) 單 調 區(qū) 間 ,凹 凸 區(qū) 間 及 極 值 點 和 拐 點 :鉛 直 漸 近 線 ),0,31( ),2,1( ),6,1( ).1,2( 作 圖2)1(4)( 2 xxxf拐 點 926,3極 小 值 3)2( f補 充 點 ),0,31( x )(xf )(xf )(xf )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2(2 0 0 不 存 在 0 拐 點 極 小 值 間斷點2y 0 x水 平 漸 近 線 :垂 直 漸 近 線 : xyO 316 2 21123