正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)的周期性

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1、1.4.2 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 問 題 提 出問 題 .根 據(jù) 正 弦 函 數(shù) 和 余 弦 函 數(shù) 的 圖 象 ,你 能 說 出它 們 具 有 哪 些 性 質(zhì) ？ y-1 xO1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6 - y=sinx xyO1-1 2 2 2 2 2 2222222 y=cosx根 據(jù) 正 弦 函 數(shù) 和 余 弦 函 數(shù) 的 定 義 域 為 R,值 域 是 -1,1 一 、 周 期 函 數(shù) 的 概 念 思 考 1:觀 察 上 圖 ,正 弦 曲 線 每 相 隔 個 單 位 重 復 出 現(xiàn) .y-1 xO1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6 -

2、 y=sinx2誘 導 公 式 sin(2k+x） =sinx其 理 論 依 據(jù) 是 什 么 ？ 誘 導 公 式 sin(x+2 ) =sinx,的 幾 何 意 義 xyo X X+2X X+2正 弦 函 數(shù) 值 是 按 照 一 定 規(guī) 律 不 斷 重 復 地 出 現(xiàn) 的當 自 變 量 x的 值 增 加 2 的 整 數(shù) 倍 時 ,函 數(shù) 值 重 復 出現(xiàn) .數(shù) 學 上 ,用 周 期 性 這 個 概 念 來 定 量 地 刻 畫 這 種“ 周 而 復 始 ” 的 變 化 規(guī) 律 思 考 2:設(shè) f(x)=sinx,則 sin(x+2) =sinx用 符 號 語言 可 以 怎 樣 表 示 ？ f(x

3、+2k )=f(x) 這 就 是 說 ： 當 自 變 量 x的 值 增 加 到 x+2k 時 ， 函數(shù) 值 重 復 出 現(xiàn) . 為 了 突 出 函 數(shù) 的 這 個 特 性 ， 我 們 把 函 數(shù)f(x)=sinx稱 為 周 期 函 數(shù) ， 2k 為 這 個 函 數(shù) 的 周 期 (其 中 k z且 k 0). 思 考 3:把 函 數(shù) f(x)=sinx稱 為 周 期 函 數(shù) .那 么 ,一 般地 ,如 何 定 義 周 期 函 數(shù) 呢 ？周 期 函 數(shù) 的 定 義 :對 于 函 數(shù) f(x)， 如 果 存 在一 個 非 零 常 數(shù) T， 使 得 當 x取 定 義 域 內(nèi) 的 每 一個 值 時 ，

4、都 有 f(x+T)=f(x) 那 么 函 數(shù) f(x)就叫 做 周 期 函 數(shù) ， 非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個 函 數(shù)的 周 期 . 思 考 4： 周 期 函 數(shù) 的 周 期 是 否 唯 一 ？ 正 弦 函 數(shù)y=sinx的 周 期 有 哪 些 ？答 :周 期 函 數(shù) 的 周 期 不 止 一 個 . 2 , 4 , 6 , 都 是 正 弦 函 數(shù) 的 周 期 ,事 實 上 ,任 何 一 個 常 數(shù) 2k (k z且 k 0)都 是它 的 周 期 .周 期 函 數(shù) 的 定 義 :對 于 函 數(shù) f(x),如 果 存 在 一 個非 零 常 數(shù) T,使 得 當 x取 定 義 域 內(nèi) 的

5、每 一 個 值 時 ,都 有 f(x+T)=f(x)那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 做 周 期 函數(shù) ,非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個 函 數(shù) 的 周 期 . 已 知 f(x+T)=f(x) (T0)，求 證 :f(x+2T)=f(x) 證 明 ： 因 為 T是 f(x)的 周 期 ，所 以 f(x+T)=f(x)，F(xiàn)(x+T)+T=f(x+T)，即 f(x+2T)=f(x) 因 此 2T是 f（ x） 的 周 期 這 個 命 題 推 廣 可 得 到 什 么 結(jié) 論 ？ 2T， 3T， ， nT（ n Z） 也 都 是 f（ x） 的 周 期 如 果 一 個 函 數(shù) 是 周 期 函 數(shù)

6、,所 有 的 周 期 就構(gòu) 成 一 個 無 窮 集 合 最 小 正 周 期 :今 后 本 書 中 所 涉 及 到 的 周 期 ,如 果 不 加 特別 說 明 ,一 般 都 是 指 函 數(shù) 的 最 小 正 周 期 .思 考 5： 周 期 函 數(shù) 是 否 一 定 存 在 最 小 正 周 期 ？ 例 如 ： f(x)=c (c為 常 數(shù) ）否 如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的 所 有 周 期 中 存在 一 個 最 小 的 正 數(shù) , 則 這 個 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的最 小 正 周 期 . 周 期 函 數(shù) 的 定 義 :對 于 函 數(shù) f(x),如 果 存 在 一 個 非 零 常

7、數(shù) T,使 得 當 x取 定 義 域 內(nèi) 的 每 一 個 值 時 ,都 有 f(x+T)=f(x)那 么 函 數(shù) f(x)就 叫 做 周 期 函 數(shù) 非 零 常 數(shù) T就 叫 做 這 個 函數(shù) 的 周 期 . 最 小 正 周 期 :如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 個最 小 的 正 數(shù) ,則 這 個 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期 . 答 ： 正 弦 函 數(shù) y=sinx有 最 小 正 周 期 ，且 最 小 正 周 期 T=2思 考 6： 我 們 知 道 2 ， 4 ， 6 ， 都 是y=sinx的 周 期 ,那 么 函 數(shù) y=s

8、inx有 最 小 正 周 期 嗎 ？若 有 ,那 么 最 小 正 周 期 T等 于 多 少 ？ 證 明 ： 假 設(shè) 存 在 T (0,2)使 得 y=sinx對 于任 意 的 x R都 成 立 那 么 根 據(jù) 周 期 函 數(shù) 的 定 義 ， 當 x為 任 意 值時 都 有 sin（ x+T） =sinx 這 與 T (0,2)時 ,cosT 1矛 盾 .這 個 矛 盾 證 明 了 y=sinx,x R的 最 小 正 周 期 是 2.令 x=/2,代 入 上 式 得 ， sin（ /2+T） =sin/2=1.但 sin（ /2+T） =cosT，于 是 又 cosT=1。證 明 ： 正 弦 函

9、 數(shù) y=sinx有 最 小 正 周 期 ，且 最 小 正 周 期 T=2 :1. ,( ) ( ) ( ) .sin( ) sin ,4 2 4f x T f x T y f xx x 例 定 義 是 對 定 義 域 中 的 值 來 說 的 只 有注 意 : 每 一 個 個 別 的滿 足 不 能 說 值: 是 的 周 期如 2sin( ) sin , sin .2 2xx x y x 就 是 說 不 能 對 在 定 義 域 內(nèi) 的 每 一 個 值 使因 此 不 是 的 周 期sin( ) sin .3 2 3 但 是f(x T)=f(x)是 反 映 周 期 函 數(shù) 本 質(zhì) 屬 性 的 條 件

10、 .對 于 任 意 常 數(shù) T(T0),如 果 在 函 數(shù) 定 義 域 中 至 少 能 找 到 一個 x,使 f(x T) f(x)不 成 立 ,則 y=f(x)不 是 周 期 函 數(shù) .對 于 某 個 確 定 的 常 救 T0.如 果 在 函 數(shù) 定 義 域 中 至 少 能 找到 一 個 x,使 f(x T) f(x)不 成 立 .我 們 能 斷 言 T不 是 函 數(shù)y=f(x)的 周 期 ,但 不 能 說 明 y f(x)不 是 周 期 函 數(shù) 判 斷 下 列 說 法 是 否 正 確（ 1） 時 ， 則 一 定 不 是 的 周 期 3x 2sin( ) sin3x x 23siny x （

11、 ）（ 2） 時 ， 則 一 定 是 的 周 期 76x 2sin( ) sin3x x 23siny x （ ） 2. ( ) ( )f x T f x x 等 式 ,強 調(diào) 本 身 加 的 常 數(shù):自 變 量 才 是 周 期 .3.(1) ( , ) (2) ( )1. ( )( ) 0. ( )f x CxD x Cx x R 并 不 是 所 有 的 函 數(shù) 都 有 最 小 正 周 期 ,例 如常 值 函 數(shù) 為 常 數(shù) 周 期當 為 有 理 數(shù) 時 ， 周 期 為 任 一 有 理 數(shù) 。為 任 一 實 數(shù)它 們 都 沒 有 最 當 為 無 理 數(shù) 時小 正 周 期 .2(2 ) (2

12、), ,(2 ) ()2 ) 2) 2( ,.Tf xf x T f x Tf x T f x Ty f x 例 如 : 不 是 周 期 而 應(yīng) 寫 成才 是時函 此數(shù) 的 周 期 X X+2y x0 2 4-2 y=sinx(x R)自 變 量 x增 加 2時 函 數(shù) 值 不 斷 重 復 地 出 現(xiàn) 的oy x4 8 xoy 6 12三 角 函 數(shù) 的 周 期 性 :4.T是 f(x)的 周 期 ， 那 么 kT也 一 定 是 f(x)的 周 期 .(k為 非 零 整 數(shù) ) 正 弦 函 數(shù) y=sinx是 周 期 函 數(shù) ,2k (k Z且 k 0)都 是 它 的 周 期 ,最 小 正 周

13、 期 T=2 余 弦 函 數(shù) y=cosx是 周 期 函 數(shù) ,2k (k Z且 k 0)都 是 它 的 周 期 ,最 小 正 周 期 T=2 思 考 7： 就 周 期 性 而 言 ， 對 正 弦 函 數(shù) 有 什 么 結(jié) 論 ？對 余 弦 函 數(shù) 呢 ？ y-1 xO1 2 3 4 5 6-2-3-4-5-6 - y=sinx xyO1-1 2 2 2 2 2 2222222 y=cosx 二 ： 周 期 概 念 的 拓 展 思 考 1： 判 斷 下 列 說 法 是 否 正 確思 考 2： 周 期 函 數(shù) 的 定 義 域 有 什 么 特 點 ？ 函 數(shù) f(x)=sinx,x 0， 10 是

14、周 期 函 數(shù) ( )x在 定 義 域 內(nèi) ， x+T也 在 定 義 域 內(nèi)周 期 函 數(shù) 的 定 義 域 是 個 無 限 集 例 1 求 下 列 函 數(shù) 的 周 期 ： y=3cosx,x R; y=sin2x,x R; y=2sin( - ),x R; 2x 6 3cos(x+2 )= 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ,原 函 數(shù) 的 周 期 為 2解 ： y=cosx的 周 期 為 23cosx y=sin2x,x R; sin2(x+ )= 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 原函 數(shù) 的 周 期 為 sin2xsin(2x+2 )=解 ： y=2sin( - ),x

15、R; 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 可 知 ， 原 函 數(shù) 的 周 期 為 46)4(21sin2 x )621sin(2 x 2)621sin(2 x2x 6解 ： 1( ) 2sin .2 6f x x T 解 :設(shè) 的 周 期 為( ) ( )f x T f x 1 12sin ( ) 2sin2 6 2 6x T x 1 1 12sin 2sin2 6 2 2 6x T x 1 1 , sin sin2 6 2 u x u T u 令 則sin 2 2 , 4 .2Ty u T 的 周 期 為 即 由 上 例 知 函 數(shù) y=3cosx的 周 期 T= 2 ； 函 數(shù) y=sin2x

16、的 周 期 T= ； 函 數(shù) y=2sin( - )的 周 期 T=4想 一 想 ： 以 上 這 些 函 數(shù) 的 周 期 與 解 析 式 中 哪 些 量 有 關(guān) 嗎 ？ 2x 6自 變 量 的 系 數(shù) 的 絕 對 值T 2 思 考 5:一 般 地 ,函 數(shù) 的 最 小 正 周 期 是 多 少 ? sin( )y A xw j= + ( 0, 0)A w 思 考 3:函 數(shù) y=3sin(2x 4)的 最 小 正 周 期 是 多 少 ?思 考 6:如 果 函 數(shù) y=f(x)的 周 期是 T,那 么 函 數(shù) y=f( x )的周 期 是 多 少 ？ 2T NoImage 例 2已 知 定 義 在

17、 R上 的 函 數(shù) f(x)滿 足f(x 2) f(x)=0， 試 判 斷 f(x)是 否為 周 期 函 數(shù) ？ 分 析 由 已 知 有 ： f(x 2)= -f(x) f(x+4)= 即 f(x 4)=f(x) 由 周 期 函 數(shù) 的 定 義 知 ， f(x)是 周 期 函 數(shù) .f(x)=-f(x)= -f(x 2)f(x 2)+2= 例 3 已 知 定 義 在 R上 的 函 數(shù) f(x)滿 足f(x 1)=f(x 1),且 當 x 0,2時 ,f(x)=x 4,求 f(10)的 值 .解 ： 因 為 f(x+1)=f(x-1)，所 以 f(10)= f(9+1)= f(9-1)=f(8)

18、;f(8)= f(7+1)= f(7-1)=f(6); f(6)= f(5+1)= f(5-1)=f(4);f(4)= f(3+1)= f(3-1)=f(2); f(2)= f(1+1)= f(1-1)=f(0);因 此 f(10)=f(0);而 f(0)=0-4=-4。所 以 f(10) =-4 練 習 1.求 下 列 函 數(shù) 的 周 期 ：(1) sin3 , ;(2) cos ;3(3) 3sin , ;(4) sin( );4 10(5) cos(2 ), ;3 1(6) 3sin( ), .2 4 xy x x R yxy x R y xy x x Ry x x R 練 習 2(1)

19、函 數(shù) y sinx的 周 期 是 T= (2)函 數(shù) y cos2x的 周 期 是 T=_.(1) ( ) 5f x 3.下 面 函 數(shù) 是 周 期 函 數(shù) 嗎 ？ 如 果 是 周 期函 數(shù) ， 你 能 找 出 最 小 正 周 期 嗎 ？ R1 Q2 ( ) 0 Qxf x x C （ ）4.y=sinx(x 0,4 )是 周 期 函 數(shù) 嗎 ？ 5. 是 不 是 周 期 函 數(shù) ？ 為 什 么 ？sinx xy x 一 般 地 ， 函 數(shù) y=Asin(x+) 及y=Acos(x+) （ 其 中 A ,為 常 數(shù) ，且 A0, 0 ） 的 周 期 是 :周 期 求 法 ：1.定 義 法 ：

20、2.公 式 法 ： 2 ( 0)T 3.圖 象 法 : g(x)=|sinx| x R. 如 果 在 周 期 函 數(shù) f(x)的 所 有 周 期 中 存 在 一 個 最 小 的 正 數(shù) , 則 這 個 最 小 正 數(shù) 叫 做 f(x)的 最 小 正 周 期歸 納 整 理 1.說 說 周 期 函 數(shù) 的 定 義 .3.什 么 叫 周 期 函 數(shù) 的 最 小 正 周 期 ？2. 求 函 數(shù) 周 期 的 方 法 ： 4.周 期 函 數(shù) 的 周 期 與 函 數(shù) 的 定 義 域 有 關(guān) ， 周 期 函 數(shù) 不 一定 存 在 最 小 正 周 期 . 5.周 期 函 數(shù) 的 周 期 有 許 多 個 ， 若

21、T為 周 期 函 數(shù) f(x)的 周期 ， 那 么 T的 整 數(shù) 倍 也 是 f(x)的 周 期 . 6.函 數(shù) y=Asin( x+ )和 y=Acos( x+ ) (A 0)的 最 小 正 周 期 T= 2 這 個 公 式 ， 解 題 時 可 以 直 接 應(yīng) 用（ 1） 定 義 法 （ 2） 公 式 法 （ 3） 圖 象 法 作 業(yè) ： P36練 習 P46： A組 3 B組 3 證 明 ： 函 數(shù) f(x)的 周 期 是 T，則 f(x+T) = f(x)對 定 義 域 內(nèi) 的 任 何 x都 成 立 設(shè) g(x) = f(x) 則 g(x + T/)= f(x + T/) = f(x + T) = f(x) = g(x) 這 說 明 了 函 數(shù) g(x)以 T/ 為 周 期 即 函 數(shù) f(x) 以 T/為 周 期 。 設(shè) 函 數(shù) y=f(x)是 以 T為 周 期 的 周 期 函 數(shù) ，試 證 函 數(shù) y=f(x)(0)是 以 T/為 周 期的 周 期 函 數(shù)