高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練13 空間幾何體 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

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1、專題能力訓(xùn)練13　空間幾何體 一、能力突破訓(xùn)練 1.(2018全國(guó)Ⅲ,文3) 中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái),構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼,圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 2.如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是28π3,則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π 3.(2019陜西西安3月聯(lián)考,8)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三視圖如圖所示

2、,一只螞蟻從頂點(diǎn)A出發(fā)沿該正三棱柱的表面繞行兩周到達(dá)頂點(diǎn)A1,則該螞蟻?zhàn)哌^(guò)的最短路徑為(　　) A.193 B.25 C.2193 D.31 4.(2019福建泉州質(zhì)檢,10)兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱分別有公共底面,且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球面上.若圓柱的側(cè)面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和,且該球的表面積為16π,則圓柱的體積為(　　) A.2π B.8π3 C.6π D.8π 5.(2019山東泰安二模,8)某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積是(　　) A.8π B.123π C.12π D.48π 6.圓柱被一個(gè)平面截去一

3、部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 7.(2019山東臨沂質(zhì)檢改編)某幾何體的三視圖如圖所示(俯視圖中的虛線為半圓),則該幾何體的體積為　　　　　.? 8.(2019天津,文12)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn),另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為　　　　.? 9.如圖,在多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平

4、面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為　　　　　.? 10.(2019東北三省四市一模,15)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》中闡述:“斜解立方,得兩塹堵.斜解塹堵,其一為陽(yáng)馬,一為鱉臑.陽(yáng)馬居二,鱉臑居一,不易之率也.合兩鱉臑三而一,驗(yàn)之以棊,其形露矣.”若稱為“陽(yáng)馬”的某幾何體的三視圖如圖所示,圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,對(duì)該幾何體有如下描述: ①四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;②最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)為26; ③四個(gè)側(cè)面中有三個(gè)側(cè)面是全等的直角三角形;④外接球的表面積為24π.其中正確的描述的序號(hào)為　　　　　.? 11.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C

5、1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點(diǎn)E,F分別在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,過(guò)點(diǎn)E,F的平面α與此長(zhǎng)方體的面相交,交線圍成一個(gè)正方形. (1)在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形(不必說(shuō)明畫(huà)法和理由); (2)求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值. 二、思維提升訓(xùn)練 12.一塊邊長(zhǎng)為6 cm的正方形鐵皮按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器,將該容器按如圖(2)放置.若其正視圖為等腰直角三角形,則該容器的體積為(　　) A.126 cm3 B.46 cm3 C.272 cm3 D.9

6、2 cm3 13.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為(　　) A.1 B.52 C.6 D.23 14.已知一個(gè)四面體的頂點(diǎn)都在球面上,它們的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是下圖,圖中圓內(nèi)有一個(gè)以圓心為中心,邊長(zhǎng)為1的正方形,則這個(gè)四面體的外接球的表面積是(　　) A.π B.3π C.4π D.6π 15.(2019湖北武漢調(diào)研,15)已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為3,外接球的表面積為16π,則正三棱錐P-ABC的體積為　　　　　.? 16.如圖①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對(duì)角線AC把矩形折成二

7、面角D-AC-B(如圖②),并且點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上. (1)證明:AD⊥平面DBC; (2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問(wèn):當(dāng)球的體積最大時(shí),球的半徑是多少? 專題能力訓(xùn)練13　空間幾何體 一、能力突破訓(xùn)練 1.A　解析根據(jù)三視圖原則,從上往下看,看不見(jiàn)的線畫(huà)虛線,則A正確. 2.A　解析由三視圖可知,該幾何體是球截去18后所得幾何體,則78×4π3×R3=28π3,解得R=2, 所以它的表面積為78×4πR2+34×πR2=14π+3π=17π. 3.B　解析將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側(cè)棱展開(kāi),如圖所示.在展開(kāi)圖中,最短距離是6個(gè)矩形拼成的大矩形對(duì)

8、角線的長(zhǎng)度,也即為三棱柱的側(cè)面上所求距離的最小值.由已知求得正三棱柱底面三角形的邊長(zhǎng)為2332=4,所以大矩形的長(zhǎng)等于4×6=24,寬等于7,由勾股定理求得d=242+72=25. 4. C　解析設(shè)球的半徑為R,則4πR2=16π,解得R=2. 如圖,設(shè)圓錐的高AO1=x,底面半徑O1C=y, 則圓錐的母線長(zhǎng)AC=x2+y2,圓柱的高為4-2x. 依題意,得 (2-x)2+y2=22,2π·y·(4-2x)=2×12×2π·y·x2+y2,解得x=1,y=3. 所以圓柱的體積V=S·h=π·y2·(4-2x)=6π. 5.C　解析由三視圖還原幾何體,如圖所示,可知該幾何體

9、為直三棱柱,底面為等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2. 把該三棱柱補(bǔ)形為正方體,則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為22+22+22=23. 所以該三棱柱外接球的半徑為3. 故球O的表面積是4π×(3)2=12π. 6.B　解析由條件及幾何體的三視圖可知該幾何體是由一個(gè)圓柱被過(guò)圓柱底面直徑的平面所截剩下的半個(gè)圓柱及一個(gè)半球拼接而成的.其表面積由一個(gè)矩形的面積、兩個(gè)半圓的面積、圓柱的側(cè)面積的一半及一個(gè)球的表面積的一半組成. ∴S表=2r×2r+2×12πr2+πr×2r+12×4πr2 =5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 7.8-π3　解析由三視圖知,該幾何體為四棱錐,其中挖

10、去一個(gè)半圓錐,如圖所示. 所以體積V=V四棱錐-V半圓錐 =13×2×2×2-12×13π×12×2=8-π3. 8.π4　解析由底面邊長(zhǎng)為2,可得OC=1. 設(shè)M為VC的中點(diǎn), 則O1M=12OC=12, O1O=12VO, VO=VC2-OC2=2, ∴O1O=1. V圓柱=π·O1M2·O1O=π×122×1=π4. 9.4　解析(方法一:分割法)幾何體有兩對(duì)相對(duì)面互相平行, 如圖,過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DG于H,連接EH,即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG. 由題意,知 V三棱柱DEH-ABC=S△DEH×AD =12

11、×2×1×2=2, V三棱柱BEF-CHG=S△BEF×DE=12×2×1×2=2. 故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=2+2=4. (方法二:補(bǔ)形法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行, 如圖,將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體,顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半. 又正方體的體積V正方體ABHI-DEKG=23=8, 故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG=12×8=4. 10.①②④　解析由三視圖還原原幾何體,如圖所示,可知該幾何體為四棱錐,PA⊥底面ABCD,PA=2,底面ABCD為矩形,AB=2,BC=4,則四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,故①正確; 最長(zhǎng)側(cè)

12、棱為PC,長(zhǎng)為26,故②正確; 由已知可得,PB=22,PC=26,PD=25,則四個(gè)側(cè)面均不全等,故③錯(cuò)誤; 把四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,則其外接球的半徑為12PC=6,其表面積為4π×(6)2=24π,故④正確. 11.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示. (2)作EM⊥AB,垂足為M, 則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8. 因?yàn)镋HGF為正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6. 因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面α分成兩個(gè)高為10的直棱柱, 所以其體積的比值為9779也正確. 二、思維提升訓(xùn)練 12.D　解析如圖(

13、2),△PMN為該四棱錐的正視圖,由圖(1)可知,PM+PN=6cm,且PM=PN. 由△PMN為等腰直角三角形,得MN=32cm,PM=3cm. 設(shè)MN的中點(diǎn)為O,則PO⊥平面ABCD,PO=12MN=322cm, 故VP-ABCD=13×(32)2×322=92(cm3).故選D. 13.D　解析由題意,得該幾何體的直觀圖為三棱錐A-BCD,如圖,其最大面的表面是邊長(zhǎng)為22的等邊三角形,其面積為34×(22)2=23. 14.B　解析由三視圖可知,該四面體是一個(gè)正方體的內(nèi)接正四面體,所以此四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線的長(zhǎng),為3, 所以此四面體的外接球的表面積

14、為4π×322=3π. 15.934　解析設(shè)外接球的半徑為r,則16π=4πr2,解得r=2. 設(shè)三棱錐P-ABC的高為h,點(diǎn)P在底面的投影為點(diǎn)H,則OP=r=2,OA=r=2,OH=h-2,底面三角形的外接圓半徑為AH,根據(jù)正弦定理得3sin60°=23,得外接圓的半徑為3. 在△OAH中,(h-2)2+3=4,解得h=1(舍去)或h=3. 所以V=13×3×3×3×32×12=934. 16. (1)證明設(shè)D在平面ABC內(nèi)的投影為H,則H在AB上,連接DH,如圖, 則DH⊥平面ABC,得DH⊥BC. 又AB⊥BC,AB∩DH=H, 所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC

15、. 又AD⊥DC,DC∩BC=C, 所以AD⊥平面DBC. (2)解當(dāng)球的體積最大時(shí),易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設(shè)球的半徑為R,球心為O, 則VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).由已知可得S△ABC=S△ADC=6. 過(guò)D作DG⊥AC于點(diǎn)G,連接GH,如圖,可知HG⊥AC. 易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=12×4×374=372. 在△DAB和△BCD中, 因?yàn)锳D=BC,AB=DC,DB=DB, 所以△DAB≌△BCD, 故S△DBC=372,VD-ABC=13×6×374=372. 則R36+327+6+327=372,于是(4+7)R=327,所以R=372×(4+7)=47-76.