《人工智能課件》PPT課件

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1、Uncertainty Reasoning) 4.1 不 確 定 性 推 理 概 述4.2 可 信 度 方 法4.3 主 觀 Bayes方 法4.4 證 據 理 論 4.5 模 糊 推 理 本 章 小 結 參 考 文 獻第 4章 不 確 定 性 推 理 方 法 4.1 不 確 定 性 推 理 概 述4.1.1 不 確 定 性 推 理 的 概 念4.1.2 不 確 定 性 推 理 方 法 的 分 類4.1.3 不 確 定 性 推 理 的 基 本 問 題 概 述 (1)p推 理 從 已 知 事 實 （ 證 據 ） 出 發(fā) 運 用 相 關 知 識 （ 規(guī) 則 ） 證 明 某 個 假 設 成 立 or

2、 不 成 立p上 一 章 介 紹 的 推 理 方 法 屬 于 確 定 性 推 理 ： 所 依 據 的 證 據 是 確 定 的 ， 即 要 么 為 真 ， 要 么 為 假 推 理 過 程 以 數 理 邏 輯 為 基 礎 ， 嚴 密 ， 所 推 出 的 結 論 也是 確 定 的 ， 即 結 論 要 么 成 立 ， 要 么 不 成 立 概 述 (2) 而 在 現 實 生 活 中 ， 證 據 、 知 識 往 往 是 不 確 定 的 ： 推 理 所 需 知 識 不 完 備 、 不 精 確 所 需 知 識 描 述 模 糊 ： 如 果 李 紅 這 個 人 比 較 好 ， 我 就把 他 當 作 好 朋 友 多

3、 種 原 因 導 致 同 一 結 論 問 題 的 背 景 知 識 不 足 ： 疑 難 雜 癥 、 地 震 預 報 概 述 (3)p 不 確 定 性 推 理 ： 從 不 確 定 性 的 初 始 證 據 （ 即 已 知 事 實 ） 出 發(fā) 運 用 不 確 定 性 的 知 識 （ 或 規(guī) 則 ） 推 出 具 有 一 定 程 度 的 不 確 定 性 但 卻 是 合 理 或 近 乎 合理 的 結 論 不 確 定 性 推 理 方 法 的 分 類模 型 方 法控 制 方 法把 不 確 性 的 證 據 和 知 識 分 別 與 某種 度 量 標 準 對 應 起 來 ， 并 給 出 更新 結 論 不 確 定 性

4、的 算 法 通 過 識 別 領 域 中 引 起 不 確 定 性 的 某 些特 征 及 相 應 的 控 制 策 略 來 限 制 或 減 少不 確 定 性 系 統(tǒng) 產 生 的 影 響啟 發(fā) 式 搜 索回 溯相 關 性 制 導非 數 值 方 法數 值 方 法對 不 確 定 性 的 定量 表 示 和 處 理基 于 概 率 的 方 法模 糊 推 理 方 法 可 信 度 方 法主 觀 Bayse方 法證 據 理 論 方 法 不 確 定 性 推 理 中 的 基 本 問 題 不 確 定 性 的 表 示 不 確 定 性 推 理 計 算 不 確 定 性 的 度 量 不 確 定 性 推 理 中 的 基 本 問 題

5、不 確 定 性 的 表 示 不 確 定 性 推 理 計 算 不 確 定 性 的 度 量 證 據 不 確 定 性 的 表 示 ： 證 據 具 有 不 確 定 性 ： 通 過 觀 察 而 得 到 的 初 始 證 據 。 由 觀 察 引 起 前 面 推 理 過 程 中 推 出 的 結 論 。 由 前 面 推 理 過 程 引 起 。 表 示 為 一 數 值 ： 初 始 證 據 由 專 家 給 出 ， 前 面 推 理 所 得結 論 由 不 確 定 性 傳 遞 算 法 計 算 得 到 知 識 不 確 定 性 的 表 示 表 示 知 識 的 不 確 定 性 時 要 考 慮 的 因 素 ： 要 將 領 域 問

6、 題 的 特 征 比 較 準 確 地 描 述 出 來 ， 滿 足 問 題求 解 的 需 要 ； 要 便 于 推 理 過 程 中 對 不 確 定 性 的 推 算 。 知 識 的 不 確 定 性 由 領 域 專 家 給 出 ， 以 一 個 數 值 表 示 /該數 值 表 示 了 相 應 知 識 的 不 確 定 程 度 。 不 確 定 性 推 理 計 算 (1) 不 確 定 性 推 理 過 程 包 括 不 確 定 性 的 傳 遞 計 算 、 證 據 不確 定 性 的 合 成 和 結 論 不 確 定 性 的 更 新 或 合 成 。 不 確 定 性 傳 遞 計 算 :研 究 如 何 將 證 據 E的 不

7、 確 定 性 CF(E)和 規(guī) 則 EH的 不 確 定 性 CF(H, E)傳 遞 到 結 論 上 CF(H)。 證 據 不 確 定 性 合 成 問 題 ： 當 支 持 結 論 的 證 據 不 止 一 個 ，而 是 幾 個 ， 這 幾 個 證 據 可 能 是 AND或 OR的 關 系 ， 如如 何 由 不 確 定 性 推 理 計 算 (2) 結 論 不 確 定 性 合 成 問 題 ： 如 果 有 兩 個 證 據 分 別 由 兩 條規(guī) 則 支 持 結 論 ， 如 何 根 據 這 兩 個 證 據 和 兩 條 規(guī) 則 的 不確 定 性 確 定 結 論 的 不 確 定 性 。第 3章 確 定 性 推

8、理 方 法 不 確 定 性 度 量 (1) 不 同 的 知 識 和 不 同 的 證 據 ， 其 不 確 定 性 的 程 度 一 般 是不 同 的 。 推 理 所 得 結 論 的 不 確 定 性 也 會 隨 之 變 化 ， 需 要 用 不 同的 數 值 對 它 們 的 不 確 定 性 程 度 進 行 表 示 ， 同 時 還 需 對它 的 取 值 范 圍 進 行 規(guī) 定 。 只 有 規(guī) 定 了 范 圍 ， 每 個 數 值才 有 意 義 。 不 確 定 性 度 量 是 指 ， 用 一 定 的 數 值 來 表 示 知 識 、 證 據和 結 論 的 不 確 定 程 度 時 ， 這 種 數 值 的 取 值

9、 方 法 和 取 值范 圍 。 不 確 定 性 度 量 (2) 在 確 定 一 種 量 度 方 法 及 其 范 圍 時 ， 應 注 意 以 下 幾 點 ： 量 度 要 能 充 分 表 達 相 應 知 識 及 證 據 的 不 確 定 性 程 度 ； 范 圍 的 指 定 應 便 于 領 域 專 家 及 用 戶 對 證 據 或 知 識 不 確定 性 的 估 計 ； 量 度 要 便 于 不 確 定 性 的 推 理 計 算 ， 而 且 所 得 到 的 結 論之 不 確 定 值 應 落 在 不 確 定 性 量 度 所 規(guī) 定 的 范 圍 之 內 ； 量 度 的 確 定 應 當 是 直 觀 的 ， 也 應

10、當 有 相 應 的 理 論 依 據 。 不 確 定 推 理 中 的 3個 基 本 問 題 不 確 定 性 的 表 示 ： 證 據 不 確 定 性 的 表 示 知 識 不 確 定 性 的 表 示 推 理 計 算 不 確 定 性 傳 遞 問 題 證 據 不 確 定 性 合 成 問 題 結 論 不 確 定 性 的 更 新 或 合 成 問 題 不 確 定 性 度 量 取 值 方 法 取 值 范 圍 4.2 可 信 度 方 法 由 美 國 斯 坦 福 大 學 E.H.Shortliffe等 人 在 確 定 性 理 論 的基 礎 上 ， 結 合 概 率 論 提 出 的 一 種 不 確 定 性 推 理 方

11、法 可 信 度 方 法 中 不 確 定 性 用 可 信 度 來 表 示 1976年 在 血 液 病 診 斷 專 家 系 統(tǒng) MYCIN中 首 先 應 用 應 用 最 早 、 且 簡 單 有 效 的 方 法 之 一 主 要 內 容4.2.1 可 信 度 的 概 念4.2.2 知 識 的 不 確 性 表 示4.2.3 證 據 的 不 確 定 性 表 示4.2.4 不 確 定 性 的 推 理 計 算 可 信 度 的 概 念 可 信 度 ： 人 們 在 實 際 生 活 中 根 據 自 己 的 經 驗 或 觀 察 對某 一 事 件 或 現 象 為 真 的 相 信 程 度 。 可 信 度 具 有 較 大

12、的 主 觀 性 和 經 驗 性 ， 其 準 確 性 難 以 把握 。 但 是 ， 對 某 一 具 體 領 域 而 言 ， 由 于 該 領 域 專 家 具有 豐 富 的 專 業(yè) 知 識 及 實 踐 經 驗 ， 要 給 出 該 領 域 知 識 的可 信 度 還 是 完 全 有 可 能 的 。 人 工 智 能 所 面 臨 的 問 題 ， 較 難 用 精 確 的 數 學 模 型 進 行描 述 ， 并 且 先 驗 概 率 及 條 件 概 率 的 確 定 也 比 較 困 難 ，因 此 用 可 信 度 來 表 示 知 識 及 證 據 的 不 確 定 性 仍 不 失 為一 種 可 行 的 方 法 。 在 基

13、于 可 信 度 的 不 確 定 性 推 理 模 型 中 ， 知 識 是 以 產 生式 的 形 式 表 示 的 ， 知 識 的 不 確 定 性 則 是 以 可 信 度 CF(H，E)表 示 的 。 其 一 般 形 式 為 E是 知 識 的 前 提 條 件 或 稱 為 證 據 。 它 既 可 以 是 一 個 簡 單條 件 ， 也 可 以 是 用 或 把 多 個 簡 單 條 件 連 接 起 來 所構 成 的 復 合 條 件 。 H是 結 論 ， 可 以 是 單 一 的 結 論 ， 也 可 以 是 多 個 結 論 CF(H， E)是 該 條 知 識 的 可 信 度 ， 稱 為 可 信 度 因 子 或

14、規(guī)則 強 度 。 知 識 可 信 度 的 定 義 (1) 在 MYCIN中 ， CF(H,E)被 定 義 為 MB(Measure Belief)為 信 任 增 長 度 ， 表 示 由 于 與 前 提 條件 E匹 配 的 證 據 的 出 現 ， 使 結 論 H為 真 的 信 任 增 長 度 ； MD(Measure Disbelief)為 不 信 任 增 長 度 ， 它 表 示 由 于 與前 提 條 件 E匹 配 的 證 據 的 出 現 ， 對 結 論 H為 真 的 不 信 任增 長 度 。 知 識 可 信 度 的 定 義 (2) 知 識 可 信 度 的 定 義 (3) 根 據 前 面 CF(

15、H,E)的 定 義 以 及 MB(H,E)和 MD(H,E)的 互斥 性 ， 得 到 CF(H,E)的 計 算 公 式 ： 知 識 可 信 度 的 定 義 (4) CF(H,E)的 取 值 范 圍 知 識 可 信 度 的 定 義 (5) 當 0CF(H,E)1時 ， 有 P(H/E) P(H)。 表 明 由 于 證 據 E的 出 現 增 加 了 結 論 H為 真 的 可 信 度 。 CF(H,E)的 值 愈 大 ，則 增 加 H為 真 的 可 信 度 越 大 。 若 CF(H,E)=1， 則 有 P(H/E)=1， 即 由 于 E的 出 現 ， 使 H為 真 。 當 -1 CF(H,E)0時

16、， 有 P(H/E)0， 且 這 種 支 持 力 度 越 大 ， 就 使 CF(H,E)值 越 大 ； 如 果 E的 出 現 使 結 論 H為 假 的 可 信 度 增 加 了 ， 則 使 CF(H,E)0， 且 這 種 支 持 力 度 越 大 ， 就 使 CF(H,E)值 越 小 ； 若 E的 出 現 與 否 與 H無 關 ， 則 使 CF(H,E)=0； CF(H,E)的 取 值 范 圍 是 -1,1。 證 據 的 不 確 定 性 表 示 初 始 證 據 ， 其 可 信 度 值 一 般 由 提 供 證 據 的 用 戶 直 接 指定 。 指 定 的 方 法 也 是 用 可 信 度 因 子 對

17、證 據 不 確 定 性 進行 表 示 。 例 如 CF(E)=0.8表 示 證 據 E的 可 信 度 為 0.8。 用 先 前 推 出 的 結 論 作 為 當 前 推 理 的 證 據 ： 由 不 確 定 性傳 遞 算 法 計 算 得 到 (傳 遞 算 法 將 在 下 面 討 論 )。 證 據 E的 可 信 度 CF(E)取 值 范 圍 ： -1， 1 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (1) 即 從 不 確 定 的 證 據 出 發(fā) ， 通 過 運 用 相 關 的 不 確 定 性 知識 ， 最 終 推 出 結 論 并 求 出 結 論 的 可 信 度 值 。 不 確 定 性 的 傳 遞 /只 有

18、 單 條 知 識 支 持 結 論 時 / ： 如 果 支 持 結 論 的 知 識 只 有 一 條 (IF E THEN H)， 且 已知 證 據 E的 可 信 度 CF(E)和 規(guī) 則 的 可 信 度 CF(H,E),則 結論 H的 可 信 度 計 算 公 式 為 ： CF(H)=CF(H,E) max0,CF(E) 若 CF(E)0， 即 證 據 的 可 信 度 為 假 時 ， CF(H)=0， 因此 上 述 公 式 沒 有 考 慮 證 據 為 假 時 對 H的 影 響 。 當 證 據 為 真 即 CF(E)=1時 ， CF(H)=CF(H,E)， 即 當 證據 為 真 時 ， 結 論 的

19、可 信 度 就 是 規(guī) 則 的 可 信 度 。 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (2)2. 證 據 不 確 定 性 的 合 成 /支 持 結 論 的 證 據 有 多 個 當 證 據 是 多 個 單 一 證 據 的 合 取 時 ， 即 E=E1 E2 En CF(E)=minCF(E1),CF(E2),CF(En) 當 證 據 是 多 個 單 一 證 據 的 析 取 時 ， 即 E=E1 E2 , En CF(E)=maxCF(E1),CF(E2),CF(En) 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (3) 結 論 的 不 確 定 性 合 成 /多 條 知 識 支 持 同 一 結 論 時 ，

20、結 論不 確 定 性 的 合 成 多 條 知 識 的 綜 合 可 以 通 過 兩 兩 的 合 成 實 現 。 因 此 ， 以 兩 條 知 識 為 例 ， 如 對 結 論 H的 綜 合 可 信 度 的 計 算 分 為 兩 步 ： 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (4) 計 算 每 一 條 知 識 的 結 論 可 信 度 CF(H) 利 用 下 式 求 出 E1和 E2對 H的 綜 合 影 響 所 形 成 的 可 信 度 CF1,2(H)： 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (5) 結 論 的 不 確 定 性 更 新 ： 已 知 證 據 E對 結 論 H有 影 響 ， 且知 識 EH CF(

21、H， E)， 而 H原 來 的 可 信 度 為 CF(H)， 那么 如 何 求 在 證 據 E下 H的 可 信 度 更 新 值 CF(H/E)呢 ？ 當 CF(E) 1時 ， 即 證 據 肯 定 出 現 時 不 確 定 性 的 推 理 計 算 (6) 當 0CF(E)0 (i=1,2,n)。 對 于 任 一 事 件 A能且 只 能 與 B1,B2,Bn中 的 任 何 一 個 同 時 發(fā) 生 ， 且 P(A)0 ，則 有 如 果 用 產 生 式 EH中 的 E代 替 Bayes公 式 中 的 A， Hi代 替公 式 中 的 B i， 則 有1 2 . nB B B 1 / 1,2,./ i in

22、i j jjP A PP A i nP A PB BB B B 1 / 1,2,./ i ini j jjP E PP E i nP E PH HH H H 基 本 Bayes公 式 (2) 當 有 多 個 證 據 E1, E2,Em和 多 個 結 論 H1, H2,Hm，并 且 每 個 證 據 都 以 一 定 的 程 度 支 持 結 論 ， 則 直 接 利 用 Bayes公 式 進 行 計 算 簡 單 明 了 ， 并 且 它 具有 較 強 的 理 論 背 景 和 良 好 的 數 學 特 性 。 但 是 要 求 B1,B 2,Bn是 相 互 無 關 ， 這 實 際 上 難 以 保 證 ， 若

23、證 據間 出 現 相 互 依 賴 ， 則 不 能 用 Bayes公 式 了 。 另 外 P(A|Bi)和 P(Bi)的 計 算 困 難 1 21 2 1 21 / / ./ . 1,2,./ / .i i ini m j j jjP P PP i nP PE H E H HH EE E E H E H H 主 觀 Bayes方 法 及 其 推 理 網 絡 (1) 主 觀 Bayes方 法 又 稱 為 主 觀 概 率 論 ， 是 由 R.O.Duda等 人于 1976年 提 出 在 地 質 勘 探 專 家 系 統(tǒng) PROSPECTOR中 得 到 了 成 功 的 應用 ， 其 中 為 了 便 于

24、推 理 ， 利 用 了 一 個 推 理 網 絡 推 理 網 絡 ： 把 所 有 的 知 識 規(guī) 則 連 接 成 一 個 有 向 圖 ， 圖中 的 葉 節(jié) 點 代 表 證 據 ， 其 他 節(jié) 點 代 表 假 設 結 論 ， 弧 代表 規(guī) 則 ， 并 引 入 兩 個 數 值 (LS, LN)與 每 條 弧 相 聯 系 ， 用來 度 量 規(guī) 則 成 立 的 充 分 性 和 必 要 性 。 LS表 示 規(guī) 則 成 立的 充 分 性 ， LN表 示 規(guī) 則 成 立 的 必 要 性 。 主 觀 Bayes方 法 及 其 推 理 網 絡 (2) 推 理 網 絡 將 一 些 證 據 和 一 些 重 要 的 假

25、 設 結 論 聯 系 起 來 。其 中 ， 葉 子 節(jié) 點 表 示 向 用 戶 提 問 獲 取 的 證 據 ， 其 他 節(jié)點 表 示 假 設 結 論 。 推 理 開 始 時 ， 每 個 假 設 結 論 的 真 、假 未 知 ， 經 過 推 理 ， 其 真 、 假 程 度 就 可 以 建 立 起 來 。 一 般 每 個 結 論 節(jié) 點 H都 附 上 先 驗 概 率 值 P(H)； P(H)， (LS,LN)由 領 域 專 家 給 出 知 識 不 確 定 性 的 表 示 (1) 知 識 (規(guī) 則 )是 推 理 網 絡 中 的 一 條 弧 ， 它 的 不 確 定 性 以 一個 值 對 (LS， LN

26、)來 進 行 描 述 。 若 以 產 生 式 的 形 式 表 示 ，則 為 IF E THEN (LS， LN) H (P(H) H是 結 論 ， P(H)是 H的 先 驗 概 率 ， 它 指 出 在 沒 有 任 何 專門 證 據 的 情 況 下 結 論 H為 真 的 概 率 。 P(H)的 值 由 領 域專 家 給 出 E是 證 據 ， 可 以 是 單 個 證 據 ， 也 可 以 是 多 個 證 據 的 組 合 (LS， LN)是 為 度 量 產 生 式 規(guī) 則 的 不 確 定 性 而 引 入 的 一組 數 值 ， LS表 示 規(guī) 則 成 立 的 充 分 性 ， 用 于 表 示 E對 H為真

27、 的 支 持 程 度 ； LN表 示 規(guī) 則 成 立 的 必 要 性 ， 表 示 E對 H為 真 的 必 要 程 度 。 定 義 如 下 / / 1 /,/ / 1 /P E H P E H P E HLS LNP E H P E H P E H 知 識 不 確 定 性 的 表 示 (2) LS， LN 意 義 的 討 論 。先 建 立 幾 率 函 數表 示 證 據 X的 出 現 概 率 與 不 出 現 概 率 之 比 ， 顯 然 隨 P(X) 增 加O(X)也 增 加 ， 而 且 P(X)=0 時 O(X)=0 P(X)=1 時 O(X)=這 樣 ， 取 值 0,1的 P(X)放 大 為 取

28、 值 0,便 得 O(X)。由 于兩 式 相 除 ， 得 到 /O H E LS O H 1P XO X P X / P E H P HP H E P E / / / / P H E P E H P H LS O HP H E P E H P H / / P E H P HP H E P E 相 仿 地 也 可 得 根 據 以 上 兩 式 ， 可 以 得 到 /O H E LN O H 1 O H|E O(H) E H1 O H|E O(H) E H1 O H|E O(H) E HLS 當 ， 即 對 沒 有 影 響當 ， 即 支 持當 ， 即 不 支 持 1 O H|E O(H) E HN

29、1 O H|E O(H) E H1 O H|E O(H) E HL 當 ， 即 對 沒 有 影 響當 ， 即 支 持當 ， 即 不 支 持 可 看 出 ， LS表 示 E真 時 ， 對 H為 真 的 影 響 程 度 ， 表示 規(guī) 則 EH成 立 充 分 性 。 LN表 示 E假 時 ， 對 H為真 的 影 響 程 度 ， 表 示 規(guī) 則 EH成 立 的 必 要 性 。 由 LS， LN 的 定 義 知 ， LS， LN均 0,而 且 LS， LN不 是獨 立 取 值 的 ， 只 能 出 現 LS1， LN1或 LS1 或LS LN 1。 由 于 E和 E不 能 同 時 支 持 或 反 對 H，

30、 因 此 ，不 能 出 現 兩 者 同 時 1或 同 時 1。 在 實 際 系 統(tǒng) 中 ， LS， LN的 值 是 由 專 家 憑 經 驗 給 出 的 ，而 不 是 依 LS， LN的 定 義 來 計 算 的 。 當 E越 支 持 H為 真時 ， LS越 大 ； 當 E對 于 H越 是 重 要 時 ， LN值 就 越 小 證 據 不 確 定 性 的 表 示 對 初 始 證 據 E： 可 以 是 先 驗 概 率 ， 也 可 以 是 用 戶 根 據 觀察 S給 出 的 后 驗 概 率 P(E|S)。 但 由 于 P(E|S)的 給 出 比 較 困難 ， 因 此 在 PROSPECTOR系 統(tǒng) 中

31、引 入 了 可 信 度 C(E|S)的 概 念 。 P(E|S)和 C(E|S)的 關 系 為 則 這 樣 ， 用 戶 只 要 對 初 始 證 據 給 出 相 應 的 可 信 度 C(E S)，就 可 由 系 統(tǒng) 將 它 轉 換 為 相 應 的 P(E S)。 證 據 不 確 定 性 的 表 示 ： 組 合 證 據 當 證 據 是 多 個 單 一 證 據 的 合 取 時 ， 即 E=E1 E2 En 如 果 已 知 P(E1/S ), P(E2/S ), P(En/S ), P(E/S)=minP(E1/S ), P(E2/S ), P(En/S ) 當 證 據 是 多 個 單 一 證 據 的

32、 析 取 時 ， 即 E=E1 E2 , En 如 果 已 知 P(E1/S ), P(E2/S ), P(En/S ), P(E/S)=maxP(E 1/S ), P(E2/S ), P(En/S ) 不 確 定 性 的 推 理 計 算 主 觀 Bayes推 理 計 算 的 任 務 是 根 據 證 據 E的 概 率 P(E)以及 影 響 結 論 的 知 識 強 度 (LS， LN)， 把 H的 先 驗 概 率 P(H)更 新 為 后 驗 概 率 P(H/E) 在 推 理 網 絡 中 ， 一 條 知 識 對 結 論 的 影 響 是 依 賴 證 據 的 ，證 據 出 現 情 況 的 不 同 ，

33、計 算 H的 后 驗 概 率 的 方 法 不 同 ； 下 面 就 確 定 性 證 據 和 不 確 定 證 據 兩 種 情 況 討 論 結 論 H后驗 概 率 的 推 理 計 算 方 法 不 確 定 性 的 推 理 計 算 ： 確 定 性 證 據 證 據 肯 定 出 現 的 情 況 ： P(E)=P(E/S)=1 由 得 到 證 據 肯 定 不 出 現 : P(E)=P(E/S)=0 由 得 到 /O H E LS O H 1 P XO X P X / 1 1LS P HP H E LS P H /O H E LN O H / 1 1LN P HP H E LN P H 不 確 定 性 的 推

34、理 計 算 ： 不 確 定 性 證 據 用 概 率 表 示 證 據 的 不 確 定 性 時 在 觀 察 S下 ， 用 戶 可 以 根 據 概 率 P(E/S)來 表 達 證 據 E為 真的 程 度 Duda 1976年 給 出 根 據 P(E/S)計 算 P(H|S)的 公 式 考 慮 以 下 三 種 情 況 ： P(E|S)=1， 即 證 據 肯 定 出 現 時 ， P(E|S)=0， 即 證 據 肯 定 不 出 現 時 ， 當 P(E|S)=P(E)， 即 E與 S無 關 時 ， | |P H S P H E | | | | |P H S P H E P E S P H E P E S |

35、 |P H S P H E | | | ( )P H S P H E P E P H E P E P H 利 用 以 上 三 個 特 殊 點 ， 以 及 分 段 線 性 插 值 函 數 ， 得 到 用 可 信 度 表 示 證 據 的 不 確 定 性 ， / | 0 | / / | 11 P H P H EP H E P E S P E S P EP EP H S P H E P HP H P E S P E P E P E SP E 1/ / | 1 | 05| 1/ | | 05P H E P H P H E C E S C E SP H S P H P H E P H C E S C E

36、S 不 確 定 性 推 理 計 算 證 據 肯 定 出 現 時 ， 證 據 肯 定 不 出 現 時 證 據 以 一 定 的 概 率 出 現 / 1 1LS P HP H E LS P H / 1 1LN P HP H E LN P H / | 0 | / / | 11 P H P H EP H E P E S P E S P EP EP H S P H E P HP H P E S P E P E P E SP E 1/ / | 1 | 05| 1/ | | 05P H E P H P H E C E S C E SP H S P H P H E P H C E S C E S 結 論 不 確

37、 定 性 合 成 若 有 n條 知 識 都 支 持 相 同 的 結 論 ， 而 且 每 條 知 識 的 前提 條 件 所 對 應 的 證 據 Ei(i=1， 2,.,n） 都 有 相 應 的 觀 察Si與 之 相 對 應 ， 先 對 每 條 知 識 分 別 求 出 O(H|Si) 運 用 公 式 求 出 O(H|S1,S2,Sn) 利 用 幾 率 函 數 的 定 義 ， 得 到 1 21 2 | | , ,., . nn O HO H O HO H O HO H O H O HSS SS S S 1 21 2 1 2| , ,.,| , ,., 1 | , ,., nn nO HP H O H

38、S S SS S S S S S 結 論 不 確 定 性 更 新 首 先 利 用 第 一 條 規(guī) 則 對 結 論 的 先 驗 概 率 進 行 更 新 ， 再把 得 到 的 更 新 概 率 作 為 第 二 條 規(guī) 則 的 先 驗 概 率 ； 再 把 第 二 條 知 識 對 其 進 行 更 新 ， 把 更 新 后 得 到 的 值 作為 第 三 條 知 識 的 先 驗 概 率 ； 這 樣 繼 續(xù) 下 去 直 到 所 有 的 規(guī) 則 使 用 完 為 止 主 觀 貝 葉 斯 方 法 的 優(yōu) 缺 點 主 觀 貝 葉 斯 方 法 是 基 于 貝 葉 斯 規(guī) 則 的 計 算 方 法 ， 具 有公 理 基 礎

39、和 易 于 理 解 的 數 學 性 質 。 它 要 求 所 有 假 設 的 概 率 都 是 獨 立 的 。 當 這 種 獨 立 性 不被 滿 足 時 ， 主 觀 貝 葉 斯 方 法 會 導 致 錯 誤 的 結 果 。 4.4 證 據 理 論4.4.1 證 據 理 論 的 數 學 基 礎4.4.2 特 定 概 率 分 配 函 數4.4.3 基 于 特 定 概 率 分 配 函 數 的 不 確 定 性 推 理 模 型 證 據 理 論 又 稱 D-S理 論 ， 由 A.P.Dempster首 先 提 出 ,G Shafer 進 一 步 發(fā)展 起 來 能 夠 區(qū) 分 “ 不 確 定 ” 與 “ 不 知

40、道 ” 的 差 異 ， 具 有 較 大 的 靈活 性 ； 采 用 信 任 函 數 而 不 是 概 率 作 為 不 確 定 性 度 量 ， 通 過 對 一 些事 件 的 概 率 加 以 約 束 來 建 立 信 任 函 數 而 不 必 說 明 精 確 的 難于 獲 得 的 概 率 ， 當 這 種 約 束 限 制 為 嚴 格 的 概 率 時 ， 證 據 理論 就 退 化 為 概 率 論 了 。 D-S理 論 的 數 學 基 礎 在 可 信 度 方 法 和 主 觀 Bayes方 法 中 ， 知 識 是 以 產 生 式 形式 表 示 的 。 在 可 信 度 的 方 法 中 ， 證 據 、 結 論 以 及

41、 知 識的 不 確 定 性 是 以 可 信 度 進 行 度 量 的 。 在 主 觀 Bayes方 法中 ， 證 據 及 結 論 的 不 確 定 性 是 以 概 率 的 形 式 進 行 度 量 ，而 知 識 的 不 確 定 性 則 是 以 數 值 對 (LS， LN)來 進 行 度 量的 。 在 D-S理 論 中 ， 知 識 也 是 用 產 生 式 形 式 表 示 的 ， 但 證 據和 結 論 都 要 以 集 合 進 行 表 示 。 例 如 ， 假 設 D是 所 有 可 能疾 病 的 集 合 ， 醫(yī) 生 為 進 行 診 斷 而 進 行 的 各 種 檢 查 所 獲得 的 就 是 證 據 。 這 些

42、 證 據 就 構 成 了 證 據 集 合 E/根 據 E中的 證 據 ， 就 可 以 判 斷 病 人 的 疾 病 。 通 常 ， 有 的 證 據 所 支 持 的 不 只 是 一 種 疾 病 ， 而 是 多 種疾 病 ， 這 些 疾 病 構 成 了 D的 一 個 子 集 H/H為 結 論 集 合 。 在 D-S理 論 中 ， 知 識 的 不 確 定 性 通 過 一 個 集 合 形 式 的“ 可 信 度 因 子 ” 來 表 示 ， 而 證 據 和 結 論 的 不 確 定 性 度量 則 采 用 信 任 函 數 和 似 然 函 數 來 表 示 。 證 據 理 論 用 集 合 來 表 示 命 題 。 設

43、 D是 變 量 y的 樣 本 空 間 ，其 中 具 有 n個 元 素 ， 則 D中 元 素 所 構 成 的 子 集 個 數 為 2n個 。 在 任 何 時 刻 變 量 y的 取 值 都 會 落 入 某 個 子 集 。 也 就是 說 ， 每 一 個 子 集 A都 對 應 著 一 個 關 于 y的 命 題 /用 集 合A表 示 某 個 命 題 概 率 分 配 函 數 設 D為 樣 本 空 間 ， 其 中 有 n個 元 素 ， 則 D中 元 素 所 構 成的 子 集 個 數 為 2n， 并 以 2D來 表 示 這 個 集 合 。 概 率 分 配函 數 的 作 用 是 將 D上 的 任 意 一 個 子

44、 集 A都 映 射 為 0,1上的 一 個 數 M(A)。 當 A對 應 一 個 命 題 時 ， M(A)即 是 對 相應 命 題 不 確 定 性 的 度 量 設 D為 樣 本 空 間 ， 領 域 內 的 命 題 都 用 D的 子 集 表 示 ， 如果 定 義 函 數 M(x)為 集 合 2D到 區(qū) 間 0,1上 的 一 個 映 射 函 數 ，其 滿 足 下 列 條 件 ： 則 稱 M(x)為 2 D上 的 概 率 分 配 函 數 。 M(A)稱 為 命 題 A的 基本 概 率 數 0, 1A DM M A 概 率 分 配 函 數 不 是 概 率 ： 根 據 概 率 分 配 函 數 的 定 義

45、 ，集 合 D的 所 有 子 集 的 概 率 分 配 數 之 和 為 1。 而 概 率 的 定義 則 認 為 D上 各 元 素 的 基 本 概 率 數 之 和 為 1。 信 任 函 數 定 義 ： 設 D為 樣 本 空 間 ， A為 2D中 的 一 個 命 題 ， 定 義 函 數 Bel(x)為 將 集 合 2D映 射 到 0， 1上 的 一 個 函 數 ， 即 0 Bel(x)1,并 且 滿 足 條 件 則 稱 Bel(x)為 信 任 函 數 ， 或 下 限 函 數 信 任 函 數 Bel(A)是 表 示 對 命 題 A為 真 的 信 任 程 度 。 從 定 義 看 出 ， A的 信 任 函

46、 數 值 為 A的 所 有 子 集 的 基 本 概 率 數 之 和 。 容 易 得 到 B ABel A M B 0 1BelBel D 似 然 函 數 定 義 設 函 數 Pl(x)是 從 集 合 2D到 區(qū) 間 0， 1的 映 射 函 數 ，且 有 則 稱 Pl(x)為 似 然 函 數 因 為 Bel(A)表 示 對 命 題 A為 真 的 信 任 程 度 ， Bel(A)表示 對 命 題 A為 假 的 信 任 程 度 ， 1-Bel(A)表 示 對 A非 假 的信 任 程 度 。 非 假 不 一 定 為 真 ， 則 有 Pl(A) Bel(A) Pl(A)- Bel(A)表 示 對 A既

47、不 為 假 又 不 為 真 的 信 任 程 度 ，即 既 信 任 A又 不 信 任 A， “ 不 知 道 ” 一 般 用 Bel(A), Pl(A)描 述 命 題 A的 不 確 定 性 1 B APl A Bel A M B 概 率 分 配 函 數 的 正 交 和 命 題 的 不 確 定 性 需 要 信 任 函 數 和 似 然 函 數 ， 而 這 些 函數 的 定 義 又 依 賴 于 概 率 分 配 函 數 ， 則 概 率 分 配 函 數 是命 題 不 確 定 性 度 量 的 基 礎 。 有 些 情 況 ， 由 于 數 據 來 源 不 同 ， 同 樣 的 證 據 會 得 到 兩個 不 同 的

48、概 率 分 配 函 數 。 這 又 如 何 來 度 量 命 題 的 不 確定 性 呢 ？ 將 兩 個 概 率 分 配 函 數 合 成 一 個 概 率 分 配函 數 。 A.Dempster提 出 了 一 種 組 合 方 法 ， 即 對 兩 個 概 率 分 配函 數 進 行 正 交 和 運 算 定 義 設 M1和 M2是 兩 個 概 率 分 配 函 數 ， 則 它 們 的 正 交 和 為 若 K0， 則 正 交 和 M也 是 一 個 概 率 分 配 函 數 ；若 K=0， 則 不 存 在 正 交 和 ， 稱 M1和 M2矛 盾 。1 2M M M 例 ： 設 D=c, d 求 M1和 M2是 組

49、 合 后 的 概 率 分 配 函 數 。 定 義 設 M1, M2, Mn是 n個 概 率 分 配 函 數 ， 則 正 交 和 為1 2 . nM M M M 特 定 概 率 分 配 函 數 推 理 模 型 是 建 立 在 概 率 分 配 函 數 的 基 礎 上 ， 所 選 取 的概 率 分 配 函 數 之 復 雜 性 ， 就 直 接 影 響 推 理 模 型 的 復 雜性 ， 進 而 影 響 不 確 定 性 計 算 的 復 雜 性 。 定 義 設 樣 本 空 間 D=S1,S2,.,Sn， 領 域 內 的 命 題 都 用 D的 子 集 表 示 ， 則 定 義 2D上 的 概 率 分 配 函 數

50、 M(x)滿 足 如下 條 件 ： D 只 有 含 有 單 個 元 素 的 子 集 和 樣 本 空 間 D本 身 的 基 本 概 率 數 才有 可 能 大 于 0， 其 他 子 集 的 基 本 概 率 數 為 0。 得 到 如 下 性 質 ： 基 于 特 定 概 率 分 配 函 數 的 不 確 定 性 推 理 模 型 用 Bel(A)和 Pl(A)構 造 信 任 度 函 數 f(A)以 度 量 命 題 的 不 確 定 性 證 據 的 不 確 定 性 表 示 0， 1 知 識 不 確 定 性 的 表 示 表 示 形 式 ： CF是 該 條 知 識 的 可 信 度 因 子 ， 用 集 合 形 式

51、表 示 。 其 中 ，ci用 來 指 出 hi(i=1,2,n)的 可 信 度 , ci與 hi對 應 ， ci應 滿 足以 下 條 件 不 確 定 性 的 傳 遞 推 理 方 法 假 設 有 知 識 則 結 論 H的 可 信 度 f(H)通 過 下 列 步 驟 得 到 ： 求 出 H的 概 率 分 配 函 數 如 果 兩 條 知 識 支 持 同 一 結 論 ， 即 則 分 別 求 出 每 一 條 知 識 的 概 率 分 配 函 數然 后 利 用 公 式 求 出 M1 和 M2 的 正 交 和 ， 即 可得 到 結 論 H的 概 率 分 配 函 數 M 求 出 H的 信 任 度 函 數 Bel

52、(H)和 似 然 函 數 Pl(H) 求 出 結 論 H的 信 任 度 f(H)1 2M M M 證 據 理 論 的 優(yōu) 缺 點 D-S證 據 理 論 方 法 有 極 強 的 理 論 基 礎 , 可 以 表 示 主 、 客觀 信 息 , 區(qū) 分 不 確 定 和 不 知 道 ， 方 便 地 定 義 各 種 問 題 ，處 理 概 率 、 模 糊 等 不 確 定 類 型 ， 在 20世 紀 80年 代 相 當流 行 缺 點 ： 如 果 證 據 之 間 是 沖 突 的 ， 即 證 據 分 別 以 較 大 的 概 率 支持 不 同 的 對 立 的 命 題 時 ， 若 直 接 運 用 D-S證 據 理 論

53、 的 組合 公 式 進 行 推 理 ， 往 往 會 得 到 與 現 實 相 悖 的 結 論 ， 即沖 突 的 證 據 焦 元 在 推 理 后 往 往 會 變 得 很 小 ， 甚 至 會 變成 零 ， 而 組 合 前 的 概 率 很 小 的 命 題 可 能 會 變 得 很 大 ，或 者 成 為 必 然 事 件 ， 很 明 顯 和 想 要 得 到 的 結 果 相 悖 。 例 1： 兩 個 醫(yī) 生 檢 查 了 同 一 名 病 人 ， 認 為 這 個 病 人 可 能得 的 病 是 ： 腦 膜 炎 (M)、 腦 震 蕩 (C)、 腦 瘤 (T)。 假 設 這兩 個 醫(yī) 生 都 認 為 這 個 病 人 得

54、 腦 瘤 的 可 能 性 很 小 ， 但 是腦 膜 炎 還 是 腦 震 蕩 ， 兩 個 醫(yī) 生 存 在 很 大 的 分 歧 ， 他 們的 診 斷 如 下 ： m1(M)=0.99， m1(T)=0.01， m2(C)=0.99， m2(T)=0.01m (M)=0， m (C)=0， m (T)=1與 事 實 不 符 合 D-S證 據 理 論 方 法 所 面 臨 的 另 一 個 重 要 問 題 是 其 對 焦 元的 基 本 概 率 分 配 敏 感 ， 魯 棒 性 差 。 即 當 某 個 證 據 源 對焦 元 的 基 本 概 率 分 配 函 數 發(fā) 生 較 小 的 變 化 時 ， 多 源 證據

55、的 組 合 結 果 會 發(fā) 生 劇 烈 的 變 化 。 為 了 便 于 說 明 ， 下面 將 例 1的 概 率 分 配 函 數 做 一 個 微 小 的 調 整 得 到 例 2，然 后 利 用 D-S證 據 理 論 對 例 2進 行 合 成 ， 看 看 得 到 合 成結 果 變 化 的 幅 度 。 例 2： R1： m1(M)=0.98， m1(C)=0.01， m1(T)=0.01 R2： m2(M)=0， m2(C)=0.99， m2(T)=0.01根 據 例 2， 利 用 D-S證 據 理 論 的 合 成 結 果 是 m (M)=0， m (C)=0.99， m(T)=0.01。 可 見

56、， 與 例 1相 比 ， 證 據 R1發(fā) 生了 微 小 的 變 化 ， 但 利 用 D-S證 據 理 論 方 法 產 生 的 結 果 卻 發(fā)生 劇 烈 的 變 化 。 即 對 T的 信 任 程 度 由 例 1的 幾 乎 完 全 肯 定(m (T)=1)改 變 為 幾 乎 完 全 否 定 (m (T)=0.01)； 而 對 C的 信任 程 度 由 例 1的 完 全 否 定 (m (C)=0)變 為 幾 乎 完 全 肯 定 (m (C)=0.99)。 可 見 ， 對 焦 元 的 基 本 概 率 分 配 函 數 作 微 小 的調 整 會 導 致 組 合 結 果 發(fā) 生 劇 烈 的 變 化 。 不 確

57、 定 推 理 方 法 研 究 現 狀 針 對 某 種 不 確 定 推 理 方 法 的 問 題 提 出 改 進 方 法 ， 如 為了 解 決 D-S證 據 理 論 的 沖 突 證 據 問 題 ， Yager5率 先 發(fā)現 沖 突 證 據 組 合 時 產 生 的 問 題 ， 并 提 出 將 沖 突 信 息 部分 歸 結 為 未 知 以 較 小 沖 突 ， Dubios6則 進 一 步 提 出 組合 中 的 沖 突 應 當 適 當 予 以 保 留 。 此 后 的 學 者 不 斷 進 行改 進 ， 文 獻 711使 用 “ 距 離 ” 的 概 念 來 衡 量 證 據 的 相似 度 以 緩 解 沖 突

58、； 文 獻 1214采 用 統(tǒng) 一 信 念 函 數 的 概念 建 立 參 數 化 的 合 成 規(guī) 則 ， 而 規(guī) 則 根 據 影 響 因 子 的 大小 確 定 沖 突 證 據 分 配 給 不 同 識 別 框 架 下 不 同 子 集 的 比例 。 文 獻 15， 16則 分 別 對 合 成 規(guī) 則 中 的 證 據 損 耗 和 信念 函 數 中 的 沖 突 程 度 進 行 了 分 析 。 借 鑒 新 的 技 術 ， 如 粗 糙 集 、 模 糊 集 、 神 經 網 絡 等 多 種 方 法 的 融 合 ， 文 獻 21表 明 聯 合 使 用 D-S證 據 理 論 方 法 與 模 糊推 理 方 法 能

59、提 高 系 統(tǒng) 的 精 確 性 和 可 靠 性 。 文 獻 18提 出 了 不 確 定推 理 方 法 的 三 種 聯 合 方 案 用 以 進 行 目 標 識 別 。 第 一 種 是 聯 合 使 用粗 糙 集 和 D-S證 據 理 論 ： 首 先 利 用 粗 糙 集 理 論 對 源 數 據 進 行 信 息約 簡 ， 然 后 利 用 D-S證 據 理 論 進 行 合 成 ； 第 二 種 是 聯 合 使 用 粗 糙集 理 論 和 人 工 神 經 網 絡 (Artificial Neural Networks, 簡 稱 ANN)：首 先 利 用 粗 糙 集 理 論 對 源 數 據 進 行 信 息 約

60、簡 ， 然 后 利 用 ANN進 行合 成 ； 第 三 種 ， 將 粗 糙 集 理 論 、 D-S證 據 理 論 和 ANN三 者 聯 合 使用 ： 首 先 利 用 粗 糙 集 理 論 對 源 數 據 進 行 信 息 約 簡 ， 然 后 利 用 ANN進 行 初 步 信 息 融 合 以 為 下 一 步 的 D-S證 據 理 論 計 算 每 個 目 標 的 基本 可 信 度 分 配 ， 最 后 利 用 D-S證 據 理 論 方 法 進 行 融 合 (如 圖 1所 示 )。仿 真 實 驗 表 明 ， 以 上 三 種 混 合 推 理 的 目 標 識 別 正 確 率 均 比 單 一 使用 粗 糙 集

61、理 論 、 D-S證 據 理 論 和 ANN的 識 別 率 高 。 圖 1 粗 糙 集 、 ANN和 D-S證 據 理 論 三 級 混 合推 理 結 構 4.5 模 糊 推 理 概 述 模 糊 推 理 不 同 于 以 前 介 紹 的 不 確 定 推 理 以 前 介 紹 的 不 確 定 推 理 模 型 是 以 概 率 為 基 礎 ， 所 研 究的 事 件 本 身 具 有 確 切 含 義 ， 只 是 由 于 條 件 限 制 ， 使 人們 對 它 還 不 能 充 分 認 識 ， 從 而 在 條 件 與 事 件 之 間 不 能出 現 確 定 的 因 果 關 系 ， 這 種 不 確 定 性 是 由 隨

62、機 性 引 起的 模 糊 推 理 的 理 論 基 礎 是 模 糊 集 理 論 和 在 此 基 礎 上 發(fā) 展起 來 的 模 糊 邏 輯 ， 它 所 處 理 的 對 象 本 身 是 模 糊 的 ， 概念 本 身 沒 有 明 確 的 外 延 ， 一 個 對 象 是 否 符 合 這 個 概 念是 不 明 確 的 。 如 ： 好 ， 壞 ， 多 ， 少 等 ， 本 身 是 模 糊 的 。 OUTLINE4.5.1 模 糊 集 理 論 與 模 糊 邏 輯4.5.2 模 糊 知 識 表 示4.5.3 模 糊 證 據 表 示4.5.3 模 糊 推 理 模 型 在 現 實 世 界 中 ， 很 多 的 類 似

63、事 物 在 形 態(tài) 和 屬 性 方 面 存在 著 一 系 列 的 過 渡 狀 態(tài) ， 使 彼 此 之 間 沒 有 明 確 的 分 界線 。 如 “ 那 個 房 間 面 積 比 較 大 ， 但 高 度 不 是 很 高 ” ，“ 比 較 大 ” 、 “ 不 是 很 高 ” 是 兩 個 模 糊 概 念 /對 房 子 體征 的 描 述 存 在 著 模 型 性 ， 這 種 模 糊 性 就 是 一 種 不 確 定性 為 了 處 理 模 糊 性 引 起 的 不 確 定 性 ， L. A. Zadeh對 模 糊性 的 度 量 和 處 理 進 行 了 大 量 的 研 究 ， 提 出 了 模 糊 集 、隸 屬 函

64、 數 和 模 糊 推 理 等 概 念 ， 為 模 型 性 的 定 量 描 述 和處 理 提 供 了 一 種 新 的 途 徑 模 糊 集 與 隸 屬 函 數 模 糊 集 和 隸 屬 函 數 是 從 傳 統(tǒng) 的 集 合 及 其 特 征 函 數 發(fā) 展而 來 的 ， 是 專 為 處 理 模 糊 性 而 提 出 的 。 在 傳 統(tǒng) 的 集 合 中 ， 把 論 域 中 具 有 某 種 屬 性 的 事 物 全 體稱 為 集 合 ， 其 中 的 每 一 個 事 物 稱 為 集 合 的 元 素 由 于 集 合 中 的 每 個 元 素 都 具 有 某 種 屬 性 ， 因 此 可 用 集合 表 示 某 種 確 定

65、 性 的 概 念 ， 而 且 可 以 用 一 個 函 數 來 刻畫 它 ， 該 函 數 稱 為 特 征 函 數 。 定 義 如 下 定 義 ： 設 A是 論 域 U上 的 一 個 集 合 ， 對 任 意 的 u U，令 則 稱 CA(u)為 集 合 A的 特 征 函 數 。 特 征 函 數 CA(u) 在 u=u0處 的 取 值 為 u0對 集 合 A的 隸 屬 度 。 特 征 函 數 的 值 域 為 0，1 一 個 確 定 性 的 概 念 可 以 用 一 個 集 合 表 示 ， 并 用 相 應 的特 征 函 數 來 刻 畫 它 10A u Uu u UC 如 對 于 論 域 U= 1， 2，

66、 3， 4， 5， 6， 7， 在 此 論 域 上“ 偶 數 ” 是 一 個 確 定 性 的 概 念 ， 可 以 用 集 合 A=2， 4，6表 示 ， 并 且 可 以 用 特 征 函 數 來 刻 畫 它 ： 1 2,4,60 1,3,5,7A uu uC 對 于 模 糊 概 念 ， 由 于 其 沒 有 明 確 的 邊 界 線 ， 應 用 普 通集 合 及 其 特 征 函 數 很 難 將 模 糊 概 念 之 間 存 在 的 連 續(xù) 過渡 特 征 表 示 出 來 ， 因 此 ， Zadeh把 普 通 集 合 論 中 特 征函 數 的 取 值 范 圍 由 0， 1推 廣 到 閉 區(qū) 間 0， 1上 ， 引 入了 模 糊 集 和 隸 屬 函 數 的 概 念 定 義 ： 在 論 域 U上 定 義 一 個 模 糊 集 A， 其 對 U的 任意 一 元 素 x均 指 定 一 個 值 uA(x) 0, 1， 以 表 示 它對 A的 隸 屬 程 度 uA： 0, 1 （ uAA的 隸 屬 函 數 ） 模 糊 集 的 表 示 方 法（ 1） 論 域 是 離 散 且 元 素 數 目 有 限 :或 ni i