(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 立體幾何初步 第53課 立體幾何綜合 文-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題
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1、第53課 立體幾何綜合 (本課時(shí)對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第 頁) 自主學(xué)習(xí) 回歸教材 1.(必修2P38練習(xí)5改編)如圖,在△ABC中,M為邊BC的中點(diǎn),沿AM將△ABC 折起,使點(diǎn)B在平面ACM外.則當(dāng) 時(shí),直線AM⊥平面BCM. (第1題) 【答案】AB=AC 【解析】當(dāng)AB=AC時(shí),有AM⊥MB,AM⊥MC. 2.(必修2P50練習(xí)5改編)若在三棱錐S-ABC中,M,N,P分別是棱SA,SB,SC的中點(diǎn),則平面MNP與平面ABC的位置關(guān)系為 . 【答案】平行 3.(必修2P70練習(xí)13改編)若三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3,則最大的球的體積是另外
2、兩個(gè)球的體積之和的 倍. 【答案】3 【解析】根據(jù)球的體積公式V=πr3進(jìn)行求解. 4.如圖(1),已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為2 cm,高為5 cm,一質(zhì)點(diǎn) 自A點(diǎn)出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為 cm. (第4題(1)) 【答案】13 【解析】如圖(2),將三棱柱沿側(cè)棱AA1展開(兩周),AA1=5 cm,AA″=12 cm,易知所求最短路線長為A1A″=13 cm. (第4題(2)) 1.高考中關(guān)于立體幾何的??伎键c(diǎn)有:性質(zhì)的運(yùn)用,證明位置關(guān)系(平行或垂直),求量(體積、面積、長度).
3、 2.解決翻折問題時(shí)要注意量和關(guān)系的變與不變. 3.立體幾何會(huì)與函數(shù)等知識(shí)綜合考查求最值,得出關(guān)系式是解決問題的前提. 【要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)】 要點(diǎn)導(dǎo)學(xué) 各個(gè)擊破 簡單幾何體的折疊問題 例1 (2014·廣東卷)如圖(1),四邊形ABCD為矩形,PD⊥平面ABCD,AB=1,BC=PC=2,如圖(2)所示折疊,折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后點(diǎn)P在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MF⊥CF. (1)求證:CF⊥平面MDF; (2)求三棱錐M-CDE的體積. 圖(1) 圖(2) (
4、例1) 【思維引導(dǎo)】要證CF⊥平面MDF,可通過證明CF⊥DF與CF⊥MD得到.求三棱錐M-CDE的體積的前提是分別求得△CDE的面積與MD的值;借助圖形中的垂直與平行關(guān)系可求得相應(yīng)的值. 【解答】(1)因?yàn)镻D⊥平面ABCD,PD平面PCD, 所以平面PCD⊥平面ABCD, 而平面PCD∩平面ABCD=CD, MD平面ABCD,MD⊥CD, 所以MD⊥平面PCD. 因?yàn)镃F平面PCD,所以CF⊥MD, 又CF⊥MF,MD,MF平面MDF,且MD∩MF=M, 所以CF⊥平面MDF. (2)由(1)知CF⊥平面MDF, DF平面MDF,所以CF⊥DF, 易知∠PCD=60
5、°,所以∠CDF=30°, 從而CF=CD=, 因?yàn)镋F∥DC, 所以=,即=, 所以DE=,所以PE=, 所以S△CDE=CD×DE=, MD====, 所以=S△CDE×MD=××=. 【精要點(diǎn)評(píng)】本題以折疊圖形為考查形式,考查直線與平面垂直的判定以及利用等體積法計(jì)算三棱錐的體積,屬于中檔題.圖形折疊問題主要先弄清量的變與不變的問題,以及兩個(gè)圖形之間的關(guān)系等. 變式 如圖(1),在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD=AE,F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將△ABF沿AF折起,得到如圖(2)所示的三棱錐A-BCF,其中BC=. (1
6、)求證:DE∥平面BCF; (2)求證:CF⊥平面ABF; (3)當(dāng)AD=時(shí),求三棱錐F-DEG的體積. 圖(1) 圖(2) (變式) 【思維引導(dǎo)】要證DE∥平面BCF,即可證DE∥BC;要證CF⊥平面ABF,即可證AF⊥CF與BF⊥CF;求體積前先確定GE是高,△DFG是底. 【解答】(1)在等邊三角形ABC中,AD=AE, 所以=,在折疊后的三棱錐A-BCF中也成立, 所以DE∥BC. 因?yàn)镈E平面BCF,BC平面BCF, 所以DE∥平面BCF. (2)在等邊三角形ABC中,F(xiàn)是BC的中點(diǎn), 所以AF⊥CF
7、?、?,且BF=CF=. 因?yàn)樵谌忮FA-BCF中,BC=, 所以BC2=BF2+CF2, 所以CF⊥BF?、? 因?yàn)锽F∩AF=F,BF,AF平面ABF, 所以CF⊥平面ABF. (3)由(1)可知GE∥CF,結(jié)合(2)可得GE⊥平面DFG, 所以==××DG×FG×GE=×××××=. 立體幾何模型實(shí)際應(yīng)用問題 例2 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片,切去如圖(1)所示的陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)如圖(2)所示的正四棱柱形狀的包裝盒,E,F(xiàn)在AB上是被切去的等
8、腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=x cm. (1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(單位:cm2)最大,試問:x應(yīng)取何值? (2)若廣告商要求包裝盒容積V(單位:cm3)最大,試問:x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值. 圖(1) 圖(2) (例2) 【思維引導(dǎo)】本題求解的前提是找到盒子的底面邊長與高,繼而求得底面面積,再求其體積.而解題的關(guān)鍵是正確地求得“盒子”體積的函數(shù)式.因?yàn)轭}中涉及了三次函數(shù)的最值,所以要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值. 【解答】(1)根據(jù)題意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-
9、8x2=-8(x-15)2+1 800(0 10、模型求解的能力等,屬于中檔題;
(2)合理、正確地構(gòu)建函數(shù)式是解決此類問題的關(guān)鍵,在給出函數(shù)式時(shí)要考慮到其定義域;
(3)涉及求高次函數(shù)的最值時(shí)要考慮結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值.
變式 如圖(1),將邊長為a的正三角形鐵皮的三個(gè)角切去三個(gè)全等的四邊形,再把它的邊沿虛線折起,做成一個(gè)無蓋的底面為正三角形的鐵皮箱,如圖(2)所示,當(dāng)箱底邊長為多少時(shí),箱子容積最大?最大容積是多少?
圖(1) 圖(2)
(變式)
【解答】設(shè)箱底邊長為x,
則箱高為h=×(0 11、a).
由V'(x)=ax-x2=0,解得x1=0(舍去),x2=a,且當(dāng)x∈時(shí),V'(x)>0,函數(shù)V(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈時(shí),V'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)V(x)在x=a處取得極大值,這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值:
V=a×-×=a3.
答:當(dāng)箱子底邊長為a時(shí),箱子容積最大,最大值為a3.
簡單的幾何體鑲嵌問題
例3 在球面上有四個(gè)點(diǎn)P,A,B,C,如果PA,PB,PC兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=a,則這個(gè)球的表面積是 .
【思維引導(dǎo)】要求球的面積,關(guān)鍵在于求球的半徑.
【答案】3πa2
(例3)
【解析】作出球O如圖所示 12、,設(shè)過A,B,C三點(diǎn)的球的截面圓的半徑為r,圓心為O',球心到該圓面的距離為d,在三棱錐P-ABC中,因?yàn)镻A,PB,PC兩兩垂直,PA=PB=PC=a,所以AB=AC=BC=a,且點(diǎn)P在△ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心O',
由正弦定理得 =2r,
所以r=a.
又根據(jù)球的截面圓性質(zhì),有OO'⊥平面ABC.
而PO'⊥平面ABC,
所以P,O,O'三點(diǎn)共線,球的半徑R=.
又PO'===a,
所以O(shè)O'=R-a=d=,
所以=R2-,解得R=a,
所以S球=4πR2=3πa2.
【精要點(diǎn)評(píng)】解決球與棱柱、棱錐、棱臺(tái)的切、接問題,一般經(jīng)過球心及多面體中特殊的點(diǎn)或線作截面,通 13、過作截面把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,進(jìn)而利用平面幾何的知識(shí)尋找兩幾何體的元素間的關(guān)系.解決鑲嵌問題的關(guān)鍵是要弄清楚兩個(gè)或多個(gè)幾何體之間的數(shù)量及位置關(guān)系.
變式 若一個(gè)四面體的所有棱長都為,四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上,則此球的體積為 .
【答案】
【解析】可考慮正四面體的“外接”立方體,該立方體的棱長為1,其外接球的直徑為,所以球的體積為=.
1.一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖(1)所示的陰影部分裁下,然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形作側(cè)面,以它們的公共頂點(diǎn)P為頂點(diǎn),加工成一個(gè)如圖(2)所示的正四棱錐容器,則當(dāng)x=6cm時(shí),該容器的容積為 cm3.
圖(1 14、) 圖(2)
(第1題)
【答案】48
【解析】由題知AB=6cm,所以底面ABCD的面積為36cm2.結(jié)合圖形可求得正四棱錐的高為4,所以該容器的容積為48cm3.
2.在棱長為a的正方體中,連接相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為 .
【答案】
3.(2015·陜西卷)如圖(1),在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn).將△ABE沿BE折起到△A1BE的位置,如圖(2)所示.求證:CD⊥平面A1OC.
圖(1) 圖(2)
(第3題)
15、
【解答】在圖(1)中,因?yàn)锳B=BC,AD=2BC,E是AD的中點(diǎn),∠BAD=90°,所以四邊形ABCE是正方形,
所以BE⊥AC,
即在圖(2)中,BE⊥OA1,BE⊥OC,
OA1∩OC=O,OA1,OC平面A1OC,
所以BE⊥平面A1OC,
又AD∥BC,AD=2BC,且E為AD的中點(diǎn),
所以EDBC,所以四邊形BCDE是平行四邊形,
所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
4.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的帳篷,它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱,上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐.問:當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心O1的距離為多少時(shí),帳篷的體積最大?
(第4題)
16、
【解答】設(shè)OO1為x m,則1 17、中,AC=6,BC=3,∠ABC=90°,CD為∠ACB的平分線,點(diǎn)E在線段AC上,且CE=4.如圖(2)所示,將△BCD沿CD折起,使得平面BCD⊥平面ACD,連接AB,設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
圖(1) 圖(2)
(1)求證:DE⊥平面BCD;
(2)若EF∥平面BDG,其中G為直線AC與平面BDG的交點(diǎn),求三棱錐B-DEG的體積.
【思維引導(dǎo)】
【規(guī)范解答】(1)在圖(1)中,因?yàn)锳C=6,BC=3,∠ABC=90°,所以∠ACB=60°.
因?yàn)镃D為∠ACB的平分線,所以∠BCD=∠ACD=30°,所 18、以CD=2………………2分
因?yàn)镃E=4,∠DCE=30°,所以DE=2.
因?yàn)镃D2+DE2=EC2,所以∠CDE=90°,即DE⊥DC……………………………………4分
在圖(2)中,因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,DE平面ACD,
所以DE⊥平面BCD……………………………………………………………………………7分
(2)在圖(2)中,因?yàn)镋F∥平面BDG,EF平面ABC,平面ABC∩平面BDG=BG,
所以EF∥BG.……………………9分
因?yàn)辄c(diǎn)E在線段AC上,CE=4,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),所以AE=EG=CG=2.
作BH⊥CD交CD于點(diǎn)H,如 19、圖(3)所示.因?yàn)槠矫鍮CD⊥平面ACD,
所以BH⊥平面ACD.………………………………………………11分
圖(3)
由已知條件可得BH=…………………………………………………………………….12分
S△DEG=S△ACD=×AC×CD×sin 30°=…………………………………………………..13分
所以三棱錐B-DEG的體積V=S△DEG×BH=××= ……………………………14分
【精要點(diǎn)評(píng)】對(duì)于翻折問題,通常在折痕的同側(cè)的位置關(guān)系和線的長度、角的大小不變,但是在折痕兩側(cè)的線的長度、角的大小以及位置關(guān)系都有變化,這一點(diǎn)是處理翻折問題的關(guān)鍵.
趁熱打鐵 20、,事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評(píng)估》中的練習(xí)第105~106頁.
【檢測與評(píng)估】
第53課 立體幾何綜合
一、 填空題
1.(2015·平頂山統(tǒng)考)已知α,β表示兩個(gè)不同的平面,m為平面α內(nèi)的一條直線,則“α⊥β”是“m⊥β”的 條件.
2.在正六棱柱的表面中,互相平行的平面有 對(duì).
3.下列命題中,是真命題的有 .(填序號(hào))
①平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)不同平面互相平行;
②過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;
③如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi);
④如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共 21、點(diǎn), 那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.
4.已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,下列命題中正確的是 .(填序號(hào))
①若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n;
②若α∥β,mα,nβ,則m∥n;
③若m⊥n,mα,nβ,則α⊥β;
④若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β.
5.(2015·全國卷)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及委米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,米堆的體積 22、和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有 .
(第5題)
6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成角的大小是 .
(第6題)
7.在正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),那么異面直線CE與BD所成角的余弦值為 .
8.(2015·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐的底面半徑和高相等,側(cè)面積為4π,過圓錐的兩條母線作截面,截面為等邊三角形,則圓錐底面中心到截面的距離為 .
二、 解答題
9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD= 23、CD=AB, AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)若M為線段PA的中點(diǎn),且過C,D,M三點(diǎn)的平面與PB交于點(diǎn)N,求PN∶PB的值.
(第9題)
10.(2015·無錫期末)如圖,過四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木塊上底面內(nèi)的一點(diǎn)P和下底面的對(duì)角線BD將木塊鋸開,得到截面BDFE.
(1)請(qǐng)?jiān)谀緣K的上表面作出過點(diǎn)P的鋸線EF,并說明理由;
(2)若該四棱柱的底面為菱形,四邊形BB1D1D是矩形,求證:平面BDFE⊥平面A1C1CA.
(第10題)
11.四面體的六條棱中,有五條棱長都等于a.
(1)求該 24、四面體的體積的最大值;
(2)當(dāng)四面體的體積最大時(shí),求其表面積.
三、 選做題(不要求解題過程,直接給出最終結(jié)果)
12.(2015·福建卷)如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),PO垂直于圓O所在的平面,且PO=OB=1.
(第12題)
(1)若D為線段AC的中點(diǎn),求證:AC⊥平面PDO;
(2)求三棱錐P-ABC體積的最大值;
(3)若BC=,點(diǎn)E在線段PB上,求CE+OE的最小值.
【檢測與評(píng)估答案】
第53課 立體幾何綜合
1. 必要不充分
2. 4 【解析】3對(duì)側(cè)面,1對(duì)底面.
3. ①②③④
4. ④
25、
5.22斛 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,則×2×3r=8,得r=,所以米堆的體積為××3××5=,故堆放的米約為÷1.62≈22(斛).
6.
7. 【解析】如圖,設(shè)AD的中點(diǎn)為F,連接EF,CF,則EF∥BD,所以異面直線CE與BD所成的角就是∠CEF.設(shè)正四面體ABCD的棱長為2a,則EF=a,CE=CF=a,由余弦定理可得cos ∠CEF= =.
(第7題)
8. 【解析】如圖,設(shè)底面半徑為r,由題意可得母線長為r.又側(cè)面展開圖的面積為×r×2πr=4π,所以r=2.又截面三角形ABD為等邊三角形,故BD=AB=r,又OB=OD=r,故△BOD為等腰直角三 26、角形.設(shè)圓錐底面中心到截面的距離為d,又=,所以d×S△ABD=AO×S△OBD.又S△ABD=AB2=×8=2,S△OBD=2,AO=r=2,故d==.
(第8題)
9. (1) 設(shè)AD=1,因?yàn)锳D=CD=AB,所以CD=1,AB=2.
因?yàn)椤螦DC=90°,所以AC=,∠CAB=45°.
在△ABC中,由余弦定理得BC=,
所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.
因?yàn)镻C⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以BC⊥PC.
因?yàn)镻C平面PAC,AC平面PAC,PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC.
(2) 如圖,因?yàn)锳B∥DC,CD平面CDMN,AB平面CDM 27、N,
(第9題)
所以AB∥平面CDMN.
因?yàn)锳B平面PAB,平面PAB∩平面CDMN=MN,所以AB∥MN.
在△PAB中,因?yàn)镸為線段PA的中點(diǎn),所以N為線段PB的中點(diǎn),即PN∶PB的值為.
10. (1) 如圖,在上底面內(nèi)過點(diǎn)P作B1D1的平行線,分別交A1D1,A1B1于F,E兩點(diǎn),則EF即為所作的鋸線.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱B1B∥D1D且B1B=D1D,
所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,所以B1D1∥BD.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面BDFE∩平面ABCD=BD,
平面BDFE∩平面A1B1C1D1=EF,
所 28、以EF∥BD,從而EF∥B1D1.
(第10題)
(2) 由于四邊形BB1D1D是矩形,
所以BD⊥B1B.
又A1A∥B1B,所以BD⊥A1A.
又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
因?yàn)锳C∩A1A=A,AC平面A1C1CA,A1A平面A1C1CA,
所以BD⊥平面A1C1CA.因?yàn)锽D平面BDFE,所以平面BDFE⊥平面A1C1CA.
11. (1) 如圖,在四面體ABCD中,設(shè)AB=BC=CD=AC=BD=a,AD=x,取AD的中點(diǎn)為P,BC的中點(diǎn)為E,連接BP,EP,CP,所以BP⊥AD,CP⊥AD,BP∩CP=P,BP 29、,CP平面BCP,所以AD⊥平面BPC,
所以=+
=·S△BPC·AP+S△BPC·PD
=·S△BPC·AD
=··a ·x
=≤·=a3(當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)取等號(hào)).
所以該四面體的體積的最大值為a3.
(第11題)
(2) 由(1)知,△ABC和△BCD都是邊長為a的正三角形,△ABD和△ACD是全等的等腰三角形,其腰長為a,底邊長為a,
所以S表=2×a2+2××a×
=a2+a×
=a2+
=a2.
12. (1) 在△AOC中,因?yàn)镺A=OC,D為AC的中點(diǎn),所以AC⊥OD.
又PO垂直于圓O所在的平面,AC圓O所在的平面,所以PO⊥AC.
因 30、為PO∩DO=O,PO,DO平面PDO,所以AC⊥平面PDO.
(2) 因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O上,所以當(dāng)CO⊥AB時(shí),點(diǎn)C到AB的距離最大,且最大值為1.
又AB=2,所以△ABC面積的最大值為 ×2×1=1.
又因?yàn)槿忮FP-ABC的高PO=1,故三棱錐P-ABC體積的最大值為×1×1=.
(3) 在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB==.
同理PC=,所以PB=PC=BC.
在三棱錐P-ABC中,將側(cè)面PCB繞PB旋轉(zhuǎn)至平面PBC',使之與平面ABP共面,當(dāng)O,E,C'共線時(shí),CE+OE取得最小值.
又因?yàn)镺P=OB,C'P=C'B,所以O(shè)C'垂直平分PB,即E為PB的中點(diǎn).
從而OC'=OE+EC'=+=,即CE+OE的最小值為.
(第12題)
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