（江蘇專用）高考數學一輪復習 第十章 算法、統(tǒng)計與概率 第53課 用樣本估計總體教師用書-人教版高三數學試題

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1、第53課 用樣本估計總體 [最新考綱] 內容 要求 A B C 總體分布的估計 √ 總體特征數的估計 √ 1．作頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差(即一組數據中最大值與最小值的差)． (2)決定組距與組數． (3)將數據分組． (4)列頻率分布表． (5)畫頻率分布直方圖． 2．頻率分布折線圖和總體分布的密度曲線 (1)頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖中各個相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結起來，就得到頻率分布折線圖． (2)總體分布的密度曲線：將樣本容量取得足夠大，分組的組距取得足夠小，那么相應的頻率折線圖趨于一條光滑曲線，稱這條

2、光滑曲線為總體分布的密度曲線． 3．莖葉圖 統(tǒng)計中還有一種被用來表示數據的圖叫作莖葉圖，莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數． 4．樣本的數字特征 (1)眾數、中位數、平均數 數字特征 定義與求法 優(yōu)點與缺點 眾數 一組數據中重復出現(xiàn)次數最多的數 眾數通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數最多的數．但顯然它對其他數據信息的忽視使它無法客觀地反映總體特征 中位數 把一組數據按從小到大的順序排列，處在中間位置的一個數據(或兩個數據的平均數) 中位數等分樣本數據所占頻率，它不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點 平均數 如果

3、有n個數據x1，x2…，xn，那么這n個數的平均數＝ 平均數與每一個樣本數據有關，可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息，但平均數受數據中的極端值的影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低 (2)標準差、方差 ①標準差：樣本數據到平均數的一種平均距離，一般用s表示，s＝. ②方差：標準差的平方s2 s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是樣本數據，n是樣本容量，是樣本平均數． 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平均數、眾數與中位數從不同的角度描述了一組數據的集中趨勢．(　　) (

4、2)一組數據的方差越大，說明這組數據越集中. (　　) (3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數據落在該區(qū)間的頻率越高．(　　) (4)莖葉圖一般左側的葉按從大到小的順序寫，右側的葉按從小到大的順序寫，相同的數據可以只記一次．(　　) [解析]　(1)正確．平均數、眾數與中位數都在一定程度上反映了數據的集中趨勢． (2)錯誤．方差越大，這組數據越離散． (3)正確．小矩形的面積＝組距×＝頻率． (4)錯誤．莖相同的數據，葉可不用按從小到大的順序寫，相同的數據葉要重復記錄，故(4)錯誤． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若某校高一年級

5、8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖53-1所示，則這組數據的中位數和平均數分別是________． 圖53-1 91．5和91.5　[這組數據由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96. ∴中位數是＝91.5， 平均數＝＝91.5.] 3．如圖53-2所示是一樣本的頻率分布直方圖．若樣本容量為100，則樣本數據在[15,20]內的頻數是________． 圖53-2 30　[因為[15,20]對應的小矩形的面積為1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以樣本落在[15,20]的頻數為0.3×100＝30.] 4．(2016·江蘇高考)已知一組數據4.7,

6、4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數據的方差是________． 0．1　[5個數的平均數＝＝5.1， 所以它們的方差s2＝[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.] 5．(2017·南通模擬)某校女子籃球隊7名運動員身高(單位：cm)分布的莖葉圖如圖53-3，已知記錄的平均身高為175 cm，但記錄中有一名運動員身高的末位數字不清晰，如果把其末位數字記為x，那么x的值為________． 圖53-3 2　[170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175， 則×(33＋x)＝5，即33＋

7、x＝35，解得x＝2.] 樣本的數字特征 　(1)(2015·廣東高考)已知樣本數據x1，x2，…，xn的均值＝5，則樣本數據2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值為________． (2)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組．為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機抽取這兩個小組往年研發(fā)新產品的結果如下：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b)．其中a，分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；b，分別表示乙組研發(fā)成功和失?。? 若某組成功研發(fā)一種新產品，則給該組記1分，否則記0分．試計算

8、甲、乙兩組研發(fā)新產品的成績的平均數和方差．并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平. 【導學號：62172293】 (1)11　[由條件知＝＝5，則所求均值0＝＝ ＝2＋1＝2×5＋1＝11.] (2)甲組研發(fā)新產品的成績?yōu)? 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1， 其平均數為甲＝＝. 方差s＝＝. 乙組研發(fā)新產品的成績?yōu)? 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均數為乙＝＝. 方差s＝＝. 因為甲＞乙，s＜s， 所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組． [規(guī)律方法]　1.平均數反映了數據的中心，是平均水平，而方差和標準差反映的是數據圍繞平均數

9、的波動大?。M行均值與方差的計算，關鍵是正確運用公式. 2．可以通過比較甲、乙兩組樣本數據的平均數和方差的差異，對甲、乙兩品種做出評價或選擇． [變式訓練1]　(2017·南京三模)甲、乙兩位選手參加射擊選拔賽，其中連續(xù)5輪比賽的成績(單位：環(huán))如下表： 選手 第1輪 第2輪 第3輪 第4輪 第5輪 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 則甲、乙兩位選手中成績最穩(wěn)定的選手的方差是________． 0．02　[甲＝＝10. 乙＝＝10. s＝[(9.8

10、－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2] ＝(0.04＋0.01＋0.01＋0.04) ＝0.02. s＝[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2] ＝(0.36＋0.09＋0.64＋0.09＋0.04) ＝0.244， ∴s

11、市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數； (2)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率； (3)根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價． [解]　(1)由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故樣本中位數為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數的估計值是75. 50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故樣本中位數為＝67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數的估計值是67. (2)由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為＝0.1，＝0.16，故該市的市民對甲、乙部門

12、的評分高于90的概率的估計值分別為0.1,0.16. (3)由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數高于對乙部門的評分的中位數，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大． [規(guī)律方法]　1.莖葉圖的優(yōu)點是保留了原始數據，便于記錄及表示，能反映數據在各段上的分布情況． 2．(1)作樣本的莖葉圖時，先要根據數據特點確定莖、葉，再作莖葉圖；作“葉”時，要做到不重不漏，一般由內向外，從小到大排列，便于數據的處理． (2)根據莖葉圖中數據的數字特征進行分析判斷，考查識圖能力、判斷推

13、理能力和創(chuàng)新應用意識；解題的關鍵是抓住“葉”的分布特征，準確提煉信息． [變式訓練2]　已知甲、乙兩組數據如莖葉圖53-5所示，若兩組數據的中位數相同，平均數也相同，那么m＋n＝________. 【導學號：62172294】 圖53-5 11　[∵兩組數據的中位數相同， ∴m＝＝3. 又∵兩組數據的平均數也相同， ∴＝，∴n＝8， 因此m＋n＝11.] 頻率分布直方圖 角度1　利用分布直方圖求頻率、頻數 　(2016·山東高考改編)某高校調查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，制成了如圖53-6所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30]，

14、樣本數據分組為[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根據直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數是________． 圖53-6 140　[由頻率分布直方圖可知每周自習時間不少于22.5小時的頻率為(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，則每周自習時間不少于22.5小時的人數為0.7×200＝140.] 角度2　用頻率分布直方圖估計總體 　(2016·四川高考)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量

15、(單位：噸)．將數據按照[0，0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖53-7所示的頻率分布直方圖． 圖53-7 (1)求直方圖中a的值； (2)設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，說明理由； (3)估計居民月均用水量的中位數． [解]　(1)由頻率分布直方圖可知，月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]組的頻率分別為0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02. 由1－(0.04＋0.0

16、8＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a， 解得a＝0.30. (2)由(1)知，該市100位居民中月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數為300 000×0.12＝36 000. (3)設中位數為x噸． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5， 而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5， 所以2≤x<2.5. 由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得

17、x＝2.04. 故可估計居民月均用水量的中位數為2.04噸． [規(guī)律方法]　1.準確理解頻率分布直方圖的數據特點，頻率分布直方圖中縱軸上的數據是各組的頻率除以組距的結果，易誤認為縱軸上的數據是各組的頻率． 2．(1)例3－2中抓住頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，這是解題的關鍵．(2)利用樣本的頻率分布估計總體分布． [思想與方法] 1．用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想． 用樣本頻率分布來估計總體分布的重點是頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計總體分布；難點是頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應用． 2．(1)眾數、中位數及平均數都是描述一組數據集中趨勢

18、的量，平均數是最重要的量，與每個樣本數據有關，這是中位數、眾數所不具有的性質． (2)標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度就越大． (3)莖葉圖、頻率分布表和頻率分布直方圖都是用圖表直觀描述樣本數據的分布規(guī)律的． [易錯與防范] 1．使用莖葉圖時，要弄清莖葉圖的數字特點，切莫混淆莖與葉的含義． 2．利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，應注意這三者的區(qū)分：(1)最高的矩形的中點即眾數；(2)中位數左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和

19、． 3．直方圖與條形圖不要搞混． 頻率分布直方圖的縱坐標為，每一個小長方形的面積表示樣本個體落在該區(qū)間內的頻率；條形圖的縱坐標為頻數或頻率，把直方圖視為條形圖是常見的錯誤． 課時分層訓練(五十三) A組　基礎達標 (建議用時：30分鐘) 一、填空題 1．(2016·蘇錫常鎮(zhèn)調研一)一個容量為n的樣本，分成若干組，已知某組的頻數和頻率分別為40,0.125，則n的值為________. 【導學號：62172295】 320　[因為樣本容量＝，所以n＝＝320.] 2．(2017·蘇州模擬)樣本數據8,6,6,5,10的方差s2＝________. 　[∵＝＝7， ∴s2＝[

20、(8－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(10－7)2] ＝(1＋1＋1＋4＋9) ＝.] 3．若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________． 16　[已知樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為s＝8，則s2＝64，數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為＝2×8＝16.] 4．(2017·蘇北四市期末)交通部門對某路段公路上行駛的汽車速度實施監(jiān)控，從速度在50～90 km/h的汽車中抽取150輛進行分析，得到數據的頻率分布直方圖(如圖53-8所

21、示)，則速度在70 km/h以下的汽車有________輛． 圖53-8 75　[由題圖可知，速度在70 km/h以下的汽車有(0.02＋0.03)×10×150＝75輛．] 5．(2015·重慶高考改編)重慶市2013年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如圖53-9，則這組數據的中位數是________． 圖53-9 20　[由莖葉圖可知這組數據由小到大依次為8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，所以中位數為＝20.] 6．某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖53-10，數據的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,8

22、0)，[80,100]．若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是________. 【導學號：62172296】 圖53-10 50　[由頻率分布直方圖，知低于60分的頻率為(0.010＋0.005)×20＝0.3. ∴該班學生人數n＝＝50.] 7．如圖53-11所示的莖葉圖是甲、乙兩位同學在期末考試中的六科成績，已知甲同學的平均成績?yōu)?5，乙同學的六科成績的眾數為84，則x＋y＝________. 圖53-11 10　[甲＝＝85，x＝6. 又∵乙同學的成績眾數為84，∴y＝4. ∴x＋y＝10.] 8．為了了解一片經濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的

23、底部周長(單位：cm)，所得數據均在區(qū)間[80,130]上，其頻率分布直方圖如圖53-12所示，則在抽測的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100 cm. 圖53-12 24　[底部周長在[80,90)的頻率為0.015×10＝0.15， 底部周長在[90,100)的頻率為0.025×10＝0.25， 樣本容量為60，所以樹木的底部周長小于100 cm的株數為(0.15＋0.25)×60＝24.] 9．(2017·南通二調)為了解一批燈泡(共5 000只)的使用壽命，從中隨機抽取了100只進行測試，其使用壽命(單位：h)如下表： 使用 壽命 [500,70

24、0) [700,900) [900,1 100) [1 100,1 300) [1 300,1 500] 只數 5 23 44 25 3 根據該樣本的頻數分布，估計該燈泡使用壽命不低于1 100 h的燈泡只數是________． 1 400　[抽樣中不低于1 100h的燈泡共有25＋3＝28只， 故這批燈泡中使用壽命不低于1 100h的燈泡 有×5 000＝1 400(只)．] 10．為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如圖53-13所示的莖葉圖．考慮以下結論： 圖53-13 ①甲地該月

25、14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫； ②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫； ③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差； ④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差． 其中根據莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的序號為________． ①④　[甲地5天的氣溫為：26,28,29,31,31， 其平均數為甲＝＝29； 方差為s＝[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6； 標準差為s甲＝. 乙地5天的氣溫為：28,29,30,31,32， 其平均數為乙＝

26、＝30； 方差為s＝[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2； 標準差為s乙＝.∴甲＜乙，s甲＞s乙．] 二、解答題 11．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數的統(tǒng)計數據的莖葉圖如圖53-14所示，已知兩組技工在單位時間內加工的合格零件的平均數都為10. 圖53-14 (1)求出m，n的值； (2)求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件的方差s和s，并由此分析兩組技工的加工水平. 【導學號：62172297】 [解]　(1)根據題意可知：甲＝(7＋8＋10＋12＋

27、10＋m)＝10，乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10， ∴m＝3，n＝8. (2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵甲＝乙，s＞s， ∴甲、乙兩組的整體水平相當，乙組更穩(wěn)定一些． 12．(2016·北京高考)某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費．從該市隨機調查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分

28、布直方圖： 圖53-15 (1)如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？ (2)假設同組中的每個數據用該組區(qū)間的右端點值代替．當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費． [解]　(1)由用水量的頻率分布直方圖，知該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內的頻率依次為0.1,0.15,0.2,0.25,0.15. 所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%. 依題意，w至少定為3. (2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民

29、該月用水費用的數據分組與頻率分布表如下： 組號 1 2 3 4 5 6 7 8 分組 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 頻率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根據題意，該市居民該月的人均水費估計為 4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)． B組　能力提升 (建議用時：15分鐘) 1．(2017·揚州模擬)將某選手的9

30、個得分去掉1個最高分，去掉1個最低分，7個剩余分數的平均分為91.現(xiàn)場作的9個分數的莖葉圖后來有1個數據模糊，無法辨認，在圖中以x表示： 圖53-16 則7個剩余分數的方差為________． 　[由題意知＝91， 解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2] ＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.] 2．某電子商務公司對10 000名網絡購物者2016年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內，其頻率分布直方圖如圖53-17所示． (

31、1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為________． 圖53-17 (1)3　(2)6 000　[(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3. (2)區(qū)間[0.3,0.5)內的頻率為0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]內的頻率為1－0.4＝0.6. 因此，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為0.6×10 000＝6 000.] 3．某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180)

32、，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖53-18. 圖53-18 (1)求直方圖中x的值； (2)求月平均用電量的眾數和中位數； (3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶？ [解]　(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，得x＝0.007 5， ∴

33、直方圖中x的值為0.007 5. (2)月平均用電量的眾數是＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， ∴月平均用電量的中位數在[220,240)內，設中位數為a，則(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位數為224. (3)月平均用電量在[220,240)的用戶有0.012 5×20×100＝25(戶)，同理可求月平均用電量為[240,260)，[260,280)，[280,300]的用戶分別有15戶、10戶、5戶， 故抽樣比為＝， ∴從月平均用電量在[220,240)

34、的用戶中應抽取25×＝5(戶)． 4．某校高一某班的某次數學測試成績(滿分為100分)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受了不同程度的破壞，但可見部分如圖53-19，據此解答下列問題： 圖53-19 (1)求分數在[50,60]的頻率及全班人數； (2)求分數在[80,90]之間的頻數，并計算頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高． [解]　(1)分數在[50,60]的頻率為0.008×10＝0.08. 由莖葉圖知，分數在[50,60]之間的頻數為2，所以全班人數為＝25. (2)分數在[80,90]之間的頻數為25－2－7－10－2＝4，頻率分布直方圖中[80,90]間的矩形的高為÷10＝0.016.