（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題

《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系教師用書-人教版高三數(shù)學(xué)試題（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第48課 直線與橢圓的位置關(guān)系 [最新考綱] 內(nèi)容 要求 A B C 直線與橢圓的位置關(guān)系 √ 1．直線與橢圓的位置關(guān)系 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個(gè)變量得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． 考慮一元二次方程的判別式Δ，有 (1)Δ＞0?直線與橢圓相交； (2)Δ＝0?直線與橢圓相切； (3)Δ＜0?直線與橢圓相離． 2．弦長公式 設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 AB＝＝·|x1－x2|＝·＝|y1－y2|. 1．(思考辨析)判斷

2、下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)直線l與橢圓C相切的充要條件是直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)．(　　) (2)過＋＝1(a>b>0)焦點(diǎn)的直線x＝c交曲線于A，B兩點(diǎn)，則AB＝.(　　) (3)直線y＝kx(k≠0)與橢圓＋＝1(a>b>0)交于不同的A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則S△ABF的最大值為bc.(　　) (4)直線y＝k(x－1)＋1與橢圓＋＝1的位置關(guān)系隨k的變化而變化．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的最大值為________． 　[設(shè)直

3、線l的方程為y＝x＋t，代入＋y2＝1得x2＋2tx＋t2－1＝0，由題意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)>0，即t2<5.∴AB＝4×≤.] 3．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為________． 6　[由橢圓定義知，兩式相加得AB＋AF1＋BF1＝16， 即△AF1B周長為16，又因?yàn)樵凇鰽F1B中，有兩邊之和是10，所以第三邊長度為16－10＝6.] 4．已知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且AB＝3，則C的方程為________

4、__． ＋＝1　[依題意，設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)． 過點(diǎn)F2(1,0)且垂直于x軸的直線被曲線C截得弦長AB＝3， ∴點(diǎn)A必在橢圓上， ∴＋＝1.① 又由c＝1，得1＋b2＝a2.② 由①②聯(lián)立，得b2＝3，a2＝4. 故所求橢圓C的方程為＋＝1.] 5．若橢圓＋＝1中過點(diǎn)P(1,1)的弦恰好被P平分，則此弦所在直線的方程是________． x＋2y－3＝0　[設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為(x1，y1)，(x2，y2)則 ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 又x1＋x2＝2，y1＋y2＝2. ∴＝－. 即所求直線的方程為y－

5、1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.] 定點(diǎn)問題 　橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是左、右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)． 求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． [解]　(1)因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)(－c,0)到點(diǎn)P(2,1)的距離為，所以＝，解得c＝1. 又e＝＝，解得a＝2，所以b2＝a2－c2＝3. 所以所求橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋

6、4(m2－3)＝0， Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化為3＋4k2>m2. 所以x1＋x2＝，x1x2＝. y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2 ＝. 因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)D(2,0)，kAD·kBD＝－1， 所以·＝－1， 所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， 所以＋＋＋4＝0. 化為7m2＋16mk＋4k2＝0， 解得m1＝－2k，m2＝－. 且滿足3＋4k2－m2>0. 當(dāng)m＝－2k時(shí)，l：y＝k(x－2)，直線過定點(diǎn)(2,0)與已知矛盾； 當(dāng)m＝－時(shí)，l: y＝k，直線

7、過定點(diǎn). 綜上可知，直線l過定點(diǎn). [規(guī)律方法]　定點(diǎn)問題的求解策略 (1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)； (2)從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意． [變式訓(xùn)練1]　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，右頂點(diǎn)為A，且AF＝1. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若動(dòng)直線l：y＝kx＋m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線x＝4交于點(diǎn)Q，問：是否存在一個(gè)定點(diǎn)M(t,0)，使得·＝0.若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【導(dǎo)

8、學(xué)號(hào)：62172265】 圖48-1 [解]　(1)由c＝1，a－c＝1，得a＝2，∴b＝，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由 消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即m2＝3＋4k2. 設(shè)P(xp，yp)，則xp＝－＝－， yp＝kxp＋m＝－＋m＝，即P. ∵M(jìn)(t,0)，Q(4,4k＋m)，∴＝，＝(4－t,4k＋m)，∴·＝·(4－t)＋·(4k＋m)＝t2－4t＋3＋(t－1)＝0恒成立， 故即t＝1. ∴存在點(diǎn)M(1,0)符合題意. 定值問題 　(2017·南京模擬)已知橢

9、圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準(zhǔn)線方程為x＝2.過橢圓的上頂點(diǎn)A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點(diǎn)P，P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q. 圖48-2 (1)求橢圓的方程； (2)若直線AP，AQ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172266】 [解]　(1)因?yàn)椋?，?， 所以a＝，c＝1，所以b＝＝1. 故橢圓的方程為＋y2＝1. (2)法一：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，－y1)． 因?yàn)閗AP＝＝，所以直線AP的方程為y＝x＋1. 令y＝0，解得m＝－. 因?yàn)閗AQ＝＝－，所以直線AQ的方程

10、為y＝－x＋1. 令y＝0，解得n＝. 所以mn＝×＝. 又因?yàn)?x1，y1)在橢圓＋y2＝1上，所以＋y＝1，即1－y＝， 所以＝2，即mn＝2. 所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2. 法二：設(shè)直線AP的斜率為k(k≠0)，則AP的方程為y＝kx＋1，令y＝0，得m＝－. 聯(lián)立方程組 消去y，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP＝－， 所以yP＝k×xP＋1＝， 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為. 所以kAQ＝＝，故直線AQ的方程為y＝x＋1. 令y＝0，得n＝－2k， 所以mn＝×(－2k)＝2. 所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2. [規(guī)律方法]　圓錐曲線中的定值問題的常見類型

11、及解題策略 (1)求代數(shù)式為定值．依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值； (2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得； (3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對(duì)解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得． [變式訓(xùn)練2]　(2017·揚(yáng)州期中)如圖48-3，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，離心率為.過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(A，B不是橢圓C的頂點(diǎn))．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB. 圖48-3 (1)若橢圓C的右準(zhǔn)線方程為：x＝4，求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線BD，A

12、B的斜率分別為k1，k2，求的值． [解]　(1)∵解得∴b2＝3，∴橢圓方程為＋＝1. (2)法一：設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則B(－x1，－y1)． ∵A，D在橢圓上， ∴∴(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＋kAD·kBD＝0，∵e＝＝，∴＝，∴k1＝－. ∵AD⊥AB，∴k2＝－，∴＝＝. 法二：設(shè)A(x0，y0)，D(x1，y1)，則B(－x0，－y0)． 則kAD·kBD＝·＝＝＝－，下同法一. 最值(范圍)問題 　已知橢圓＋y2＝1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線y＝mx＋對(duì)稱． 圖48-4 (1)求實(shí)數(shù)m

13、的取值范圍； (2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． [解]　(1)由題意知m≠0，可設(shè)直線AB的方程為y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0. 因?yàn)橹本€y＝－x＋b與橢圓＋y2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以Δ＝－2b2＋2＋>0.① 將線段AB中點(diǎn)M 代入直線方程y＝mx＋解得 b＝－.② 由①②得m<－或m>. 故m的取值范圍是∪. (2)令t＝∈∪， 則AB＝·. 且O到直線AB的距離為d＝. 設(shè)△AOB的面積為S(t)， 所以S(t)＝AB·d ＝≤， 當(dāng)且僅當(dāng)t2＝，即m＝±時(shí)，等號(hào)成立．故△AOB面積的最大值為. [規(guī)律方法]　解決

14、圓錐曲線中的取值范圍問題的5種常用解法 (1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍． (2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系． (3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍． (4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍． (5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍． [變式訓(xùn)練3]　(2017·常州模擬)已知圓x2＋y2＝1過橢圓＋＝1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝1相切，

15、與橢圓＋＝1相交于A，B兩點(diǎn)．記λ＝·，且≤λ≤. (1)求橢圓的方程； (2)求k的取值范圍； (3)求△OAB的面積S的取值范圍． [解]　(1)由題意知2c＝2，所以c＝1. 因?yàn)閳A與橢圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)， 從而b＝1，故a＝， 所以所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)因?yàn)橹本€l：y＝kx＋m與圓x2＋y2＝1相切， 所以原點(diǎn)O到直線l的距離為＝1， 即m2＝k2＋1. 由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝. λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2

16、)＋m2＝， 由≤λ≤，得≤k2≤1， 即k的取值范圍是∪. (3)AB2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2 ＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝2－， 由≤k2≤1，得≤AB≤. 設(shè)△OAB的AB邊上的高為d，則d＝1， 則S＝ABd＝AB， 所以≤S≤. 即△OAB的面積S的取值范圍是. [思想與方法] 1．有關(guān)弦的三個(gè)問題 涉及弦長的問題，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系往往也是利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮利用圓錐曲線的定義求解． 2．圓錐曲線中常見最值問題及解題方法 (1)兩

17、類最值問題：①涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；②求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)與之相關(guān)的一些問題． (2)兩種常見解法：①幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解． [易錯(cuò)與防范] 1．求范圍問題要注意變量自身的范圍． 2．中點(diǎn)弦問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證Δ>0或說明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部． 3．解決定值、定點(diǎn)問題，不要忘記特值法． 課時(shí)分層訓(xùn)練(四十八) A組　基礎(chǔ)

18、達(dá)標(biāo) (建議用時(shí)：30分鐘) 1．如圖48-5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)A(2,1)，離心率為. 圖48-5 (1)求橢圓的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于B，C兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A)，線段BC被y軸平分，且AB⊥AC，求直線l的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172267】 [解]　(1)由條件知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝＝， 所以b2＝a2－c2＝a2. 又點(diǎn)A(2,1)在橢圓＋＝1(a>b>0)上， 所以＋＝1， 解得 所以，所求橢圓的方程為＋＝1. (2)將y＝kx＋m(k≠0)代入橢圓方程，得x2＋4

19、(kx＋m)2－8＝0， 整理得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－8＝0.　① 由線段BC被y軸平分，得xB＋xC＝－＝0， 因?yàn)閗≠0，所以m＝0. 因?yàn)楫?dāng)m＝0時(shí)，B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)B(x，kx)，C(－x，－kx)， 由方程①，得x2＝， 又因?yàn)锳B⊥AC，A(2,1)， 所以·＝(x－2)(－x－2)＋(kx－1)(－kx－1)＝5－(1＋k2)x2＝5－＝0， 所以k＝±. 由于k＝時(shí)，直線y＝x過點(diǎn)A(2,1)，故k＝不符合題設(shè)． 所以，此時(shí)直線l的方程為y＝－x. 2．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為

20、4，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線y＝kx＋1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求△OAB面積的取值范圍． [解]　(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由條件可得a＝2，c＝，b＝1，故橢圓C的方程＋x2＝1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－. 設(shè)△OAB的面積為S，由x1x2＝－<0， 知S＝(|x1|＋|x2|)＝|x1－x2| ＝＝2， 令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2， 對(duì)函數(shù)y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝>0， ∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上單調(diào)遞

21、增， ∴t＋≥，∴0<≤，∴S∈. B組　能力提升 (建議用時(shí)：15分鐘) 1．(2017·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研一)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)P，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)． ①若直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)，記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t，求t的最大值； ②若直線l的斜率為，試探究OA2＋OB2是否為定值？若是定值，則求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172268】 [解]　(1)＋＝1，＝，得a2＝4，b2＝3. 所以橢圓C：＋＝1. (2)①設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，

22、直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由化簡得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易知Δ>0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以kAP·kBP＝·＝·＝· ＝－－， 所以t＝kAB·kAP·kBP＝－－＝－2＋， 所以當(dāng)m＝－時(shí)，t有最大值. ②設(shè)直線l的方程為y＝x＋n，直線l與橢圓C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得3x2＋2nx＋2n2－6＝0， Δ＝(2n)2－4×3(2n2－6)>0，即－

23、＋x2)＋2n2 ＝(x1＋x2)2－x1x2＋n(x1＋x2)＋2n2 ＝2－＋n＋2n2＝7. 所以當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，OA2＋OB2為定值7. 2．(2017·泰州期末)如圖48-6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝4，橢圓C：＋y2＝1，A為橢圓右頂點(diǎn)．過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中D.設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2. 圖48-6 (1)求k1k2的值； (2)記直線PQ，BC的斜率分別為kPQ，kBC，是否存在常數(shù)λ，使得kPQ＝λkBC？若存在，求λ值；若不

24、存在，說明理由； (3)求證：直線AC必過點(diǎn)Q. [解]　(1)設(shè)B(x0，y0)，則C(－x0，－y0)，＋y＝1，A(2,0)， 所以k1k2＝·＝＝＝－. (2)聯(lián)立得(1＋k)x2－4kx＋4(k－1)＝0， 解得xp＝，yp＝k1(xp－2)＝， 聯(lián)立得(1＋4k)x2－16kx＋4(4k－1)＝0， 解得xB＝，yB＝k1(xB－2)＝， 所以kBC＝＝，kPQ＝＝＝， 所以kPQ＝kBC，故存在常數(shù)λ＝，使得kPQ＝kBC. (3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，Q， 則kAQ＝＝＝k2，所以直線AC必過點(diǎn)Q. 當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為：y＝， 聯(lián)立，解得xQ＝，yQ＝，所以kAQ＝＝－＝k2，故直線AC必過點(diǎn)Q.