高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)7 用樣本估計(jì)總體 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題3 突破點(diǎn)7 用樣本估計(jì)總體 理-人教高三數(shù)學(xué)試題_第1頁
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1、突破點(diǎn)7 用樣本估計(jì)總體 提煉1 頻率分布直方圖 (1)頻率分布直方圖中橫坐標(biāo)表示組距,縱坐標(biāo)表示,頻率=組距×. (2)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1. (3)利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù),在頻率分布直方圖中: ①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù); ②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的; ③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和. 提煉2 莖葉圖的優(yōu)點(diǎn) (1)所有的信息都可以從莖葉圖中得到. (2)可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布情況. 提煉3 樣本的數(shù)

2、字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù). (2)樣本平均數(shù)=(x1+x2+…+xn). (3)樣本方差s2=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]. (4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s=. 回訪 用樣本估計(jì)總體 1.(2015·全國卷Ⅱ節(jié)選)某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度,從A,B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶,得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分如下: A地區(qū):62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地區(qū):73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54

3、 76 65 79 根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖,并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度(不要求計(jì)算出具體值,給出結(jié)論即可); 圖7-1 解] 兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下: 2分 通過莖葉圖可以看出,A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值;A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中,B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散. 4分 2.(2013·全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個(gè)銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元

4、,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元.根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖,如圖7-2所示.經(jīng)銷商為下一個(gè)銷售季度購進(jìn)了130 t該農(nóng)產(chǎn)品.以X(單位:t,100≤X≤150)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量,T(單位:元)表示下一個(gè)銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤. 圖7-2 (1)將T表示為X的函數(shù); (2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤T不少于57 000元的概率; (3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值,需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率(例如:若需求量X∈100,110),則取X=105,且X=105的概率等于需求量落入100

5、,110)的頻率).求T的數(shù)學(xué)期望. 解] (1)當(dāng)X∈100,130)時(shí), T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 當(dāng)X∈130,150]時(shí), T=500×130=65 000. 所以T=4分 (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈120, 150]的頻率為0.7,所以下一個(gè)銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.7分 (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 10分 所

6、以E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.12分 熱點(diǎn)題型1 頻率分布直方圖 題型分析:頻率分布直方圖多以生活中的實(shí)際問題為背景,考查學(xué)生運(yùn)用已知數(shù)據(jù)分析問題的能力,難度中等.  (2016·合肥三模)某高中為了解全校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的情況,隨機(jī)從全校學(xué)生中抽取100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)他們每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間如下: 每周參與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間(單位:小時(shí)) 0,4) 4,8) 8,12) 12,16) 16,20] 頻數(shù) 24 40 28 6 2 (1)作出樣本的頻率分布直方圖; (2)①估計(jì)

7、該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的中位數(shù)及平均數(shù); ②若該校有學(xué)生3 000人,根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),估計(jì)該校學(xué)生每周參與體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不低于8小時(shí)的人數(shù). 解] (1)頻率分布直方圖如圖所示: (2)①由數(shù)據(jù)估計(jì)中位數(shù)為4+×4=6.6,8分 估計(jì)平均數(shù)為2×0.24+6×0.4+10×0.28+14×0.06+18×0.02=6.88.10分 ②將頻率看作概率知P(t≥8)=0.36, ∴3 000×0.36=1 080.12分 解決該類問題的關(guān)鍵是正確理解已知數(shù)據(jù)的含義.掌握?qǐng)D表中各個(gè)量的意義,通過圖表對(duì)已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析. 提醒:(1)小長(zhǎng)方形的面積表示頻率,其縱軸

8、是,而不是頻率. (2)各組數(shù)據(jù)頻率之比等于對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形的高度之比. 變式訓(xùn)練1] 某電子商務(wù)公司隨機(jī)抽取1 000名網(wǎng)絡(luò)購物者進(jìn)行調(diào)查.這1 000名購物者2015年網(wǎng)上購物金額(單位:萬元)均在區(qū)間0.3,0.9]內(nèi),樣本分組為:0.3,0.4),0.4,0.5),0.5,0.6),0.6,0.7),0.7,0.8),0.8,0.9],購物金額的頻率分布直方圖如下: 圖7-3 電子商務(wù)公司決定給購物者發(fā)放優(yōu)惠券,其金額(單位:元)與購物金額關(guān)系如下: 購物金額分組 0.3,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.8) 0.8,0.9] 發(fā)放金額 50 100

9、150 200 (1)求這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù); (2)以這1 000名購物者購物金額落在相應(yīng)區(qū)間的頻率作為概率,求一個(gè)購物者獲得優(yōu)惠券金額不少于150元的概率. 解] (1)購物者的購物金額x與獲得優(yōu)惠券金額y的頻率分布如下表: x 0.3≤x<0.5 0.5≤x<0.6 0.6≤x<0.8 0.8≤x≤0.9 y 50 100 150 200 頻率 0.4 0.3 0.28 0.02 這1 000名購物者獲得優(yōu)惠券金額的平均數(shù)為: =96.4分 (2)由獲得優(yōu)惠券金額y與 購物金額x的對(duì)應(yīng)關(guān)系,有 P(y=150)=P(0.

10、6≤x<0.8)=(2+0.8)×0.1=0.28, P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.2×0.1=0.02,10分 從而,獲得優(yōu)惠券不少于150元的概率為 P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3.12分 熱點(diǎn)題型2 莖葉圖 題型分析:結(jié)合樣本數(shù)據(jù)和莖葉圖對(duì)總體作出估計(jì)是高考命題的熱點(diǎn),應(yīng)引起足夠的重視,難度中等.  (2016·福州模擬)長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的身體健康,某校為了解A,B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng),分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取5名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查,將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)作為樣本,繪制成莖葉圖如圖7-4所示(

11、圖中的莖表示十位數(shù)字,葉表示個(gè)位數(shù)字). 圖7-4 (1)分別求出圖中所給兩組樣本數(shù)據(jù)的平均值,并據(jù)此估計(jì)哪個(gè)班的學(xué)生平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng); (2)從A班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個(gè)不超過19的數(shù)據(jù)記為a,從B班的樣本數(shù)據(jù)中隨機(jī)提取一個(gè)不超過21的數(shù)據(jù)記為b,求a>b的概率. 解] (1)A班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(9+11+14+20+31)=17.3分 由此估計(jì)A班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間17小時(shí); B班樣本數(shù)據(jù)的平均值為(11+12+21+25+26)=19, 由此估計(jì)B班學(xué)生每周平均上網(wǎng)時(shí)間較長(zhǎng).6分 (2)A班的樣本數(shù)據(jù)中不超過19的數(shù)據(jù)a有3個(gè),分別為9,11,14,B班的樣本

12、數(shù)據(jù)中不超過21的數(shù)據(jù)b也有3個(gè),分別為11,12,21,從A班和B班的樣本數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取一個(gè)共有:9種不同情況,分別為(9,11),(9,12),(9,21),(11,11),(11,21),(11,21),(14,11),(14,12),(14,21), 其中a>b的情況有(14,11),(14,12)兩種, 故a>b的概率P=.12分 作莖葉圖時(shí)先要弄清“莖”和“葉”分別代表什么,根據(jù)莖葉圖,可以得到數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù),也可從圖中直接估計(jì)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小與穩(wěn)定性. 變式訓(xùn)練2] (名師押題)某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表: (1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與極

13、差; (2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖; (3)求這20名工人年齡的方差. 解] (1)由題表中的數(shù)據(jù)易知,這20名工人年齡的眾數(shù)是30,極差為40-19=21.2分 (2)這20名工人年齡的莖葉圖如下: 6分 (3)這20名工人年齡的平均數(shù)=(19×1+28×3+29×3+30×5+31×4+32×3+40×1)=30,8分 故方差s2= 1×(19-30)2+3×(28-30)2+3×(29-30)2+5×(30-30)2+4×(31-30)2+3×(32-30)2+1×(40-30)2]=×(121+12+3+0+4+12+100)=12.6.12分

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