高等數(shù)學(xué)--留數(shù)

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第二節(jié) 留 數(shù),一、留數(shù)的引入,二、利用留數(shù)求積分,三、在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),四、典型例題,五、小結(jié)與思考,1,一、留數(shù)的引入,設(shè),為,的一個孤立奇點,;,內(nèi)的洛朗級數(shù),:,在,.,的某去心鄰域,鄰域內(nèi)包含,的任一條正向簡單閉曲線,2,0,(,高階導(dǎo)數(shù)公式,),0,(,柯西,-,古薩基本定理,),3,定義,記作,的一個孤立奇點,則沿,內(nèi)包含,的,任意一條簡單閉曲線,C,的積分,的值除,后所得的數(shù)稱為,以,如果,4,二、利用留數(shù)求積分,說明,:,2.,留數(shù)定理將沿封閉曲線,C,積分轉(zhuǎn)化為求被積,函數(shù)在,C,內(nèi)各孤

2、立奇點處的留數(shù),.,1.,留數(shù)定理,在區(qū)域,D,內(nèi)除有限個孤,外處處解析,C,是,D,內(nèi)包圍諸奇,點的一條正向簡單閉曲線,那末,立奇點,函數(shù),1.,f(z,),在,C,上及,C,內(nèi)除有限個奇點外處處解析,.,.,.,5,證,證畢,兩邊同時除以 且,.,.,.,如圖,6,2.,留數(shù)的計算方法,(1),如果,為,的可去奇點,如果 為 的一級極點,那末,規(guī)則,1,成洛朗級數(shù)求,(2),如果,為,的本性奇點,(3),如果,為,的極點,則有如下計算規(guī)則,展開,則需將,7,如果 為 的 級極點,規(guī)則,2,證,那末,8,+(,含有 正冪的項,),兩邊求,階導(dǎo)數(shù),證畢,得,9,規(guī)則,3,如果,設(shè),及,在,都解

3、析，,證,的一級零點,為,的一級極點,.,為,那末,為,的一級極點,且有,10,解析且,在,因此,其中 在 解析且,為 的一級極點,11,三、在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),注意積分路線取順時針方向,說明,記作,1.,定義,設(shè)函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)解析，,C,為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，,12,.,.,.,.,.,.,.,證,由留數(shù)定義有,:,(,繞原點的并將,內(nèi)部的正向簡單閉曲線,),包含在,2.,定理二,如果函數(shù),在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個,孤立奇點,那末,在所有各奇點,(,包括,點,),的留數(shù)的總和必等于零,.,證畢,13,說明,:,由定理得,(,留數(shù)定理,),計算積分,計算無窮遠(yuǎn)點的留數(shù),.

4、,優(yōu)點,:,使計算積分進(jìn)一步得到簡化,.,(,避免了計算諸有限點處的留數(shù),),14,3.,在無窮遠(yuǎn)點處留數(shù)的計算,規(guī)則,4,說明,:,定理二和規(guī)則,4,提供了,計算函數(shù)沿閉曲線,積分的又一種方法,:,此法在很多情況下此法更為簡單,.,15,現(xiàn)取正向簡單閉曲線,C,為半徑足夠大的,正向圓周,:,于是有,證,16,內(nèi)除,在,外無其他奇點,.,證畢,17,四、典型例題,例,1,求,在,的留數(shù),.,解,18,例,2,求,在,的留數(shù),.,分析,是,的三級零點,由規(guī)則,3,得,計算較麻煩,.,19,如果利用洛朗展開式求,較方便,:,解,20,說明,:,如 為,m,級極點，當(dāng),m,較大而導(dǎo)數(shù)又難以計算時,可

5、直接展開洛朗級數(shù)求,來計算留數(shù),.,2.,在應(yīng)用規(guī)則,2,時,取得比實際的級數(shù)高,.,級數(shù)高反而使計算方便.,1.,在實際計算中應(yīng)靈活運(yùn)用計算規(guī)則,.,為了計算方便一般不要將,m,但有時把,m,取得比實際的,如上例取,21,例,3,求,在,的留數(shù),.,解,是,的四級極點,.,在,內(nèi)將,展成洛朗級數(shù),:,22,例,4,計算積分,C,為正向圓周,:,解,為一級極點,為二級極點,23,24,例,5,計算積分,C,為正向圓周,:,函數(shù),在,的外部,除,點外沒有,其他奇點,.,解,根據(jù)定理,2,與規(guī)則,4:,25,與以下解法作比較,:,被積函數(shù),有四個一級極點,都,在圓周,的內(nèi)部,所以,由規(guī)則,3,26,可見,利用無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)更簡單,.,例,6,計算積分,C,為正向圓周,:,解,除,被積函數(shù),點外,其他奇點為,27,由于,與,1,在,C,的內(nèi)部,則,所以,28,五、小結(jié)與思考,本節(jié)我們學(xué)習(xí)了留數(shù)的概念、計算以及留數(shù),定理,.,應(yīng)重點掌握計算留數(shù)的一般方法,尤其是極,點處留數(shù)的求法,并會應(yīng)用留數(shù)定理計算閉路復(fù),積分,.,29,思考題,z=0,是可去奇點，,z=1,是一級極點,利用,提示：,30,思考題答案,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,31,