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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第一節(jié) 孤立奇點,一、孤立奇點的概念,二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系,三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài),四、小結(jié)與思考,,1,,一、孤立奇點的概念,定義,,如果,函數(shù),在,,不解析,,,但,在,的某一去心鄰域,內(nèi)處處解析,,,則稱,為,的,孤立奇點,.,例,1,是函數(shù),的孤立奇點,.,是函數(shù),的孤立奇點,.,注意,:,,孤立奇點一定是奇點,,,但奇點不一定是孤,立奇點,.,,2,,例,2,,指出函數(shù),在點,的奇點特性,.,解,即在,的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),,,的奇點存在,,,函數(shù)的奇點為,總有,不是
2、孤立奇點,.,所以,,3,,孤立奇點的分類,依據(jù),在其孤立奇點,的去心鄰域,內(nèi)的洛朗級數(shù)的情況分為三類,:,1,．,可去奇點,1,．可去奇點,; 2,．極點,; 3,．本性奇點,.,如果洛朗級數(shù)中不含,,的負冪項,,,那末孤立奇點,,稱為,,的可去奇點,.,1),定義,即：,z0,是,f(z,),而不是其洛朗展式的奇點,,4,,其和函數(shù),為在,解析的函數(shù),.,說明,: (1),(2),無論,在,是否有定義,,,補充定義,則函數(shù),在,解析,.,,5,,,2),可去奇點的判定,(1),由定義判斷,:,的洛朗級數(shù)無負,在,如果,冪項則,為,的可去奇點,.,(2),,判斷極限
3、,若極限存在且為有限值,,,則,為,的可去奇點,.,,6,,如果補充定義,:,時,,,那末,在,解析,.,例,3,中不含負冪項,,,是,的可去奇點,.,,7,,例,4,說明,為,的可去奇點,.,解,,所以,為,的可去奇點,.,無負冪項,另解,,的可去奇點,.,為,,8,,2.,極點,,其中關(guān)于,的最高冪為,即,階極點,.,那末孤立奇點,稱為函數(shù),的,或?qū)懗?1),定義,,如果洛朗級數(shù)中只有有限多個,的,負冪項,,,,9,,說明,:,1.,2.,特點,:,(1),(2),的極點,,,等價于,為函數(shù),如果,例,5,有理分式函數(shù),是二階極點,,,是一階極點,.,,10,,2),極點的判定方法,的負冪
4、項為有,的洛朗展開式中含有,限項,.,在點 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析,,,且,(1),由定義判別,(2),由定義的等價形式判別,(3),利用極限,判斷,,.,,11,,課堂練習(xí),求,的奇點,,,如果是極點,,,指出它的,階數(shù),.,答案,,12,,本性奇點,3.,如果洛朗級數(shù)中,含有無窮多個,那末孤立奇點,稱為,的本性奇點,.,的負冪項,,,例如，,含有無窮多個,z,的負冪項,特點,:,,在本性奇點的鄰域內(nèi),不存在且不,為,同時,不存在,.,,13,,綜上所述,:,孤立奇點,①,可去奇點,②,m,階極點,③,本性奇點,洛朗級數(shù)特點,存在且為,,有限值,不
5、存在,,且不為,無負冪項,含無窮多個負冪項,含有限個負冪項,關(guān)于,的最高冪,為,,14,,二、函數(shù)的零點與極點的關(guān)系,1.,零點的定義,不恒等于零的解析函數(shù),如果,能表示成,其中,在,解析且,m,為某一正整數(shù),,,那末,稱為,的,,m,級零點,.,例,6,注意,:,,不恒等于零的解析函數(shù)的零點是,孤立,的,.,,15,,2.,零點的判定,零點的充要條件是,證,,(,必要性,),由定義,:,設(shè),的泰勒展開式為,:,如果,在,解析,,,那末,為,的,級,如果,為,的,級零點,,16,,其中,展開式的前,m,項系數(shù)都為零,,,由泰勒級數(shù)的系數(shù),公式知,:,并且,充分性證明略,.,,17,,(1),由
6、于,知,是,的一級零點,.,課堂練習(xí),是五級零點,,,是二級零點,.,知,是,的一級零點,.,解,,(2),由于,答案,例,7,求以下函數(shù)的零點及級數(shù),:,(1),(2),的零點及級數(shù),.,求,,18,,3.,零點與極點的關(guān)系,定理,如果,是,的,m,級極點,,,那末,就是,的,,m,級零點,.,反過來也成立,.,證,如果,是,的,m,級極點,,,則有,當 時,,,函數(shù),在,解析且,,19,,由于,只要令,,那末,的,m,級零點,.,就是,反之如果,,的,m,級零點,,,是,那末,當 時,,,解析且,所以,是,的,m,級極點,.,,20,,說明,此定理為
7、判斷函數(shù)的極點提供了一個較為,簡便的方法,.,例,8,函數(shù),有些什么奇點,,,如果是極點,,,指出,它的級,.,解,,函數(shù)的奇點是使,的點,,,這些奇點是,是孤立奇點,.,的一級極點,.,即,,21,,解,,解析且,所以,不是二級極點,,,而是一級極點,.,是,的幾級極點,?,思考,例,9,問,是,的二級極點嗎,?,注意,:,不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論,.,,22,,三、函數(shù)在無窮遠點的性態(tài),1.,定義,如果函數(shù),在無窮遠點,的去心,鄰域,內(nèi)解析,,,則稱點,為,的孤,立奇點,.,R,x,y,o,,23,,令變換,規(guī)定此變換將,:,映射為,擴充,z,平面,擴充,t,平面,映射為,映射為,映射
8、為,,24,,結(jié)論,:,,在去心鄰域,內(nèi)對函數(shù),的研究,在去心鄰域,內(nèi)對函數(shù),的研究,因為,在去心鄰域,內(nèi)是解析的,,,所以,是,的孤立奇點,.,規(guī)定,:,,m,級奇點或本性奇點,.,的可去奇點、,m,級奇點或,本性奇點,,,如果,t=,0,,是,是,的可去奇點、,那末就稱點,,25,,1),不含正冪項,;,2),含有有限多的正冪項且,為最高正冪,;,3),含有無窮多的正冪項,;,那末,是,的,1),可去奇點,;,2),m,級極點,;,3),本性奇點,.,判別法,1 (,利用洛朗級數(shù)的特點,),2.,判別方法,:,在,內(nèi)的洛朗級數(shù)中,:,如果,,26,,例,10 (1),函數(shù),在圓環(huán)域,內(nèi)的
9、洛朗展開式為,:,不含正冪項,所以,是,的可去奇點,.,(2),函數(shù),含有正冪項且,z,為最高正,冪項,,,所以,是,的,m,級極點,(,m,=1).,,27,,(3),函數(shù),的展開式,:,含有無窮多的正冪項,所以,是,的本性奇點,.,課堂練習(xí),的奇點及其,類型,.,說出函數(shù),答案,,28,,判別法,2 : (,利用極限特點,),如果極限,1),存在且為有限值,;,2),無窮大,;,3),不存在且不為無窮大,;,那末,是,的,1),可去奇點,;,2),m,級極點,;,3),本性奇點,.,1),沒有正冪次項,2),正冪次項最高次數(shù)為,m,次,3),正冪次項有無窮項,對應(yīng),f(z,),的洛朗級數(shù)：,,29,,例,11,函數(shù),在擴充復(fù)平面內(nèi),有些什么類型的奇點,?,如果是極點,,,指出它的級,.,解,,函數(shù),除點,外,,,所以這些點都是,的一級零點,,,故這些點中除,1, -1, 2,外,,,都是,的三級極點,.,內(nèi)解析,.,在,,30,,所以,那末,是,的可去奇點,.,,,因為,,31,,不是,的孤立奇點,.,所以,,32,,四、小結(jié)與思考,理解孤立奇點的概念及其分類,;,掌握可去奇點、極點與本性奇點的特征,;,熟悉零點與極點的關(guān)系,.,,33,,思考題,,34,,思考題答案,放映結(jié)束，按,Esc,退出,.,,35,,
高等數(shù)學(xué)--孤立奇點
