一元二次方程的解法.2一元二次方程的解法

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1、17.2 一元二次方程的解法 1.配方法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 .學(xué)會(huì)用直接開(kāi)平方法解形如 (x+m)2 = n(n>0)的一元二次方程；(重點(diǎn)) 2 .理解配方法的思路，能熟練運(yùn)用配方法解一元二次方程. (難點(diǎn)) 教學(xué)過(guò)程 一、情境導(dǎo)入 一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度 h(m)和下落時(shí)間x(s)大致有如下關(guān) 系：h=5x2,問(wèn)石頭經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間落到地面？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：用直接開(kāi)平方法解一元二次方程 ?用直接開(kāi)平方法解下列方程： (1)x2-16=0; (2)3x2—27=0; (3)(x —2)2=9; (4)(2y—3)2=16. 解析：用直接開(kāi)

2、平方法解方程時(shí)， 要先將方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式， 右邊 是非負(fù)數(shù)的形式，再根據(jù)平方根的定義求解. 注意開(kāi)方后，等式的右邊取 “正、負(fù)”兩種情 況. 解：(1)移項(xiàng)，得x2= 16.根據(jù)平方根的定義，得 x= =!4,即x1 = 4, x2=—4; (2)移項(xiàng)，得3x2= 27.兩邊同時(shí)除以3,得x2= 9.根據(jù)平方根的定義， 得x=不，即x1= 3, x2= - 3； (3)根據(jù)平方根的定義，得 x- 2=去，即x—2=3或x—2 = —3,即x1=5, x?= — 1 ; 7 1 (4)根據(jù)平萬(wàn)根的定義，得 2y— 3=%，即2y—3= 4或2y—3=— 4,即 為

3、=萬(wàn)，、2= 一 3 方法總結(jié)：直接開(kāi)平方法是解一元二次方程的最基本的方法， 它的理論依據(jù)是平方根的 定義，它的可解類(lèi)型有如下幾種： ①x2=a(a>0)；②(x+a)2 = b(b>0)；③(ax+b)2= c(c>0)； ④(ax+ b)2= (cx+d)2(|a|w |c|). 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 8題 探究點(diǎn)二：用配方法解一元二次方程 ［類(lèi)型用配方法解一元二次方程 須用配方法解下列方程： (1)x2 —2x—35=0; (2)3x2+8x—3=0. 解析：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)是1時(shí)，先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后左、 右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系 數(shù)一

4、半的平方，把左邊配方成完全平方式，即為 (x+m)2=n(n>0)的形式，再用直接開(kāi)平方 法求解；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是 1時(shí)，先將二次項(xiàng)系數(shù)化為 1,再用配方法解方程. 解：(1)移項(xiàng)，得 x2- 2x= 35.配方，得 x2-2x+12=35+12,即(x— 1)2 = 36.直接開(kāi)平方, 得x—1 = d6.所以原方程的根是 x1=7, x2=—5; (2)方程兩邊同時(shí)除以3,得x2 + 8x—1 = 0.移項(xiàng)，得x2+fx= 1.配方，得x2 + 1x+ (4)2=1 3 3 3 3 4 2 — 4 2 5 2 4 5 1 + (4)2,即(*+ 3)2=(5)2.直接開(kāi)平方，得

5、x+ 4=專.所以原方程的根是 x1=3, x2=- 3. 方法總結(jié)：運(yùn)用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是先把一元二次方程轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為 1的一元二次方程，然后在方程兩邊同時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)，使其等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 9題 ［類(lèi)型二］利用配方法求代數(shù)式的值 酶 已知 a2-3a+b2-|+316=0,求 a —47b的值. 解析：觀察方程可以知道，原方程可以用配方法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)數(shù)的平方和等于 0的形式, 得到這兩個(gè)數(shù)都為 0,從而可求出a, b的值，再代入代數(shù)式計(jì)算即可. 解：原等式可以寫(xiě)成：(a-|)2+(b-4)2=0.

6、?a-| = 0, b-4= 0,解得 a=2，b = 4. 3-4^=|-4XA^1=-|. 方法總結(jié)：這類(lèi)題目主要是配方法和平方的非負(fù)性的綜合應(yīng)用， 通過(guò)配方把等式轉(zhuǎn)化為 兩個(gè)數(shù)的平方和等于 0的形式是解題的關(guān)鍵. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 11題 ［類(lèi)型三］利用配方法求代數(shù)式的最值或判定代數(shù)式的取值范圍 畫(huà)R請(qǐng)用配方法說(shuō)明：不論x取何值，代數(shù)式x2—5x+7的值恒為正. 解析：本題是要運(yùn)用配方法將代數(shù)式化為一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式. 解：. x2-5x+7 = x2- 5x+ (|)2+7-(|)2= (x-1)2+ 4,而(x-5)2>0,

7、 .?.(x-5)2+^3 2) 4 4. .??代數(shù)式x2- 5x+ 7的值恒為正. 方法總結(jié)：對(duì)于代數(shù)式是一個(gè)關(guān)于 x的二次式且含有一次項(xiàng)， 在求它的最值時(shí)，常常采 用配方法，將原代數(shù)式變形為一個(gè)完全平方式加一個(gè)常數(shù)的形式， 根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方是一個(gè) 非負(fù)數(shù)，就可以求出原代數(shù)式的最值. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 10題 2.公式法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 .理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程； (難點(diǎn)) 2 .會(huì)用公式法解一元二次方程； (重點(diǎn)) 教學(xué)過(guò)程 一、情境導(dǎo)入 如果一元二次方程是一般形式 ax2+ bx + c= 0(a w 0),你

8、能否用配方法求出它們的兩根， 請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題. 問(wèn)題：已知ax2+bx+ c= 0(aw 0)且b2 — 4ac> 0,試推導(dǎo)它白兩個(gè)根 xi = 1b+b一**, 2a _ b _ [b _ 4ac x2= 2a . 二、合作探究 探究點(diǎn)一：一元二次方程的求根公式 Ml方程3x2-8=7x化為一般形式是 ,其中a=, b=, c=,方程的根為. 7\/T45 解析：將方程移項(xiàng)化為 3x2—7x—8=0.其中a=3, b=- 7, c= — 8.因?yàn)閎2—4ac=49 — 4X 3X (—8) = 145>0,代入求根公式可得 x= 6 .故答案為3x2— 7

9、x— 8= 0, 3, — 7,— 7 士 145 8, x=F 方法總結(jié)：一元二次方程ax2 + bx+c=0(aw0)的根是由方程的系數(shù) a, b, c確定的，只 要確定了系數(shù)a, b, c的值，代入公式就可求得方程的根. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 4題 探究點(diǎn)二：用公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1)-3x2-5x+2 = 0; (2)2x2+3x+3=0; ⑶3x2—12x+ 3 = 0. 解：(1)將一3x2—5x+ 2=0 兩邊同乘以一1 得 3x2+5x—2= 0「「a=3, b= 5, c=-2, 2X 3

10、b2—4ac=52—4X 3X(—2) = 49>0, ?. x= (2)「a=2, b = 3, c= 3, .. b2—4ac= 32—4 x 2 x 3= 9—24= — 15v 0, ?.原方程沒(méi)有實(shí) 數(shù)根； ⑶.2 = 3, b=- 12, c=3, b2 —4ac=(—12)2—4X 3X3=108,x= 12 打 108 = 2X3 傳土產(chǎn),郃,??./=2+/，x2=2-73. 方法總結(jié)：用公式法解一元二次方程時(shí)， 首先應(yīng)將其變形為一般形式， 然后確定公式中 a, b, c的值，再求出b2—4ac的值與0”比較，最后利用求根公式求出方程的根 (或說(shuō)明其 沒(méi)有實(shí)數(shù)根

11、). 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 6題 3.因式分解法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1 .理解并掌握用因式分解法解方程的依據(jù)； (難點(diǎn)) 2 .會(huì)用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. (重點(diǎn)) 教學(xué)過(guò)程 一、情境導(dǎo)入 我們知道ab=0,那么a=0或b = 0,類(lèi)似的解方程(x+ 1)(x—1)= 0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè) 一元一次方程 x+1=0或x—1 = 0來(lái)解，你能求(x+ 3)(x- 5)=0的解嗎？ 二、合作探究 探究點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程 ［類(lèi)型—］利用提公因式法分解因式解一元二次方程 n用因式分解法解下列方程： 2 . (1)x +5x= 0;

12、 (2)(x-5)(x-6) = x-5. 解析：變形后方程右邊是零，左邊是能分解的多項(xiàng)式，可用因式分解法. 解：(1)原方程轉(zhuǎn)化為x(x+5)=0, 所以x=0或x+5= 0, 所以原方程的解為 xi=0, X2=—5; (2)原方程轉(zhuǎn)化為(x-5)(x-6)-(x-5)=0, 所以(x-5)[(x-6)-1]=0, 所以(x-5)(x-7)=0, 所以 x—5=0 或 x— 7=0, 所以原方程的解為 xi=5, x2=7. 方法總結(jié)：利用提公因式法時(shí)先將方程右邊化為 0,觀察是否有公因式，若有公因式， 就能快速分解因式求解. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課

13、堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 2題 [類(lèi)型二]利用公式法分解因式解一元二次方程 畫(huà)?用公式法分解因式解下列方程： 2 (1)x — 6x= — 9; (2)4(x—3)2—25(x— 2)2 = 0. 解：(1)原方程可變形為x2- 6x+ 9=0, 則(x—3)2=0, ?,.x-3=0, 「?原方程的解為xi=x2 = 3； (2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2 = 0, [2(x— 3) + 5(x- 2)][2( x-3)-5(x- 2)] = 0, (7x- 16)(-3x+ 4)=0, ? .7x—16=0 或—3x+ 4=0, 「?原方程的解為x1 = , x2=g. 7 3 方法總結(jié)：用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是： ①將方程的右邊化為 0;②將 方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積； ③令每一個(gè)因式分別為零，就得到兩個(gè)一元一次方 程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解. 變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 7題⑶(4)小題 第5頁(yè)共5頁(yè)