第七講計算機輔助幾何設計課件

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1、一、參數(shù)曲線曲面概述,第七講 計算機輔助幾何設計,主要內(nèi)容,二、參數(shù)曲線曲面基本知識,三、參數(shù)曲線,四、參數(shù)曲面,五、,CATIA,曲線曲面造型技術(shù),一、參數(shù)曲線曲面概述第七講 計算機輔助幾何設計主要內(nèi)容二,一、參數(shù)曲線曲面概述,如何表示象飛機、汽車、輪船等具有復雜外形產(chǎn)品的表面是工程中必須解決的問題？,1963,年美國波音（,Boeing,）飛機公司的佛格森（,Ferguson,）最早引入?yún)?shù)三次曲線，將曲線曲面表示成參數(shù)矢量函數(shù)形式。,第七講 計算機輔助幾何設計,概述,一、參數(shù)曲線曲面概述如何表示象飛機、汽車、輪船等具有復雜外形,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）,1964,年，美國麻省理工學院（

2、,MIT,）的孔斯（,Coons,）用封閉曲線的四條邊界定義一張曲面。,1964,年，舍恩伯格（,Schoenberg,）提出了參數(shù)樣條曲線、曲面的形式。,1971,年，法國雷諾（,Renault,）汽車公司的貝塞爾（,Bezier,）發(fā)表了一種用控制多邊形定義曲線和曲面的方法。,第七講 計算機輔助幾何設計,概述,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）1964年，美國麻省理工學院（MI,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）,1974,年，美國通用汽車公司的戈登（,Gorden,）和里森費爾德（,Riesenfeld,）提出了,B,樣條曲線和曲面。,1975,年，美國錫拉丘茲（,Syracuse,）大學的佛斯普里爾（

3、,Versprill,）提出了有理,B,樣條方法。,80,年代后期皮格爾（,Piegl,）和蒂勒（,Tiller,）將有理,B,樣條發(fā)展成非均勻有理,B,樣條方法，并已成為當前自由曲線和曲面描述的最廣為流行的技術(shù)。,第七講 計算機輔助幾何設計,概述,一、參數(shù)曲線曲面概述（續(xù)）1974年，美國通用汽車公司的戈登,二、參數(shù)曲線曲面基本知識,曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示。,顯式表示,一般形式是：,y,=,f,(,x,),。,說明：在此方程中，一個,x,值與一個,y,值對應，所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線，例如，不能用顯式方程表示一個圓。,第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,二、參數(shù)曲線

4、曲面基本知識曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,隱式表示,一般形式是：,f,(,x,，,y,)=0,。,說明：隱式表示的優(yōu)點是易于判斷函數(shù),f(x,y),是否大于、小于或等于零，也就易于判斷點是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。,顯式表示和隱式表示為非參數(shù)化表示形式。,第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）隱式表示顯式表示和隱式表示為非,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,非參數(shù)表示形式的缺點,與坐標軸相關；,會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形（如垂線）；,不便于計算機編程。,第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）

5、非參數(shù)表示形式的缺點 與坐標軸,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,參數(shù)表示,曲線上任一點的坐標均表示成給定參數(shù),t,的函數(shù)。,P,(,t,)=,x,(,t,),y,(,t,),z,(,t,),曲面上任一點的坐標均表示成給定參數(shù),u,和,w,的函數(shù)。,P,(,t,)=,x,(u,，,w,),y,(u,，,w,),z,(u,，,w,),第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）參數(shù)表示 曲線上任一點的坐標均,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,參數(shù)表示,端點為,P,0,、,P,1,的直線段參數(shù)方程可表示為：,P,(,t,)=,P,0+(,P,1-,P,0),t,t,0,1;,第

6、七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,P,0,P,1,t,=,t,0,t,=,t,1,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）參數(shù)表示 端點為P0、P1的直,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,參數(shù)表示優(yōu)越性,與坐標系無關；,有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀；,便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計算；,坐標點各分量的表示是分離的；,規(guī)格化的參數(shù)變量,t,0,1,，使得界定曲線、曲面的范圍十分簡單；,易于用矢量和矩陣運算，從而大大簡化了計算。,第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,！這里教材中有錯,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）參數(shù)表示優(yōu)越性 與坐標系無關；,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）,構(gòu)造曲線

7、曲面的方法,插值,給定一組有序的數(shù)據(jù)點,Pi,，,i,=0,1,n,，構(gòu)造一條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。,逼近,構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點，稱為對這些數(shù)據(jù)點進行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。,擬合,插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合。,第七講 計算機輔助幾何設計,基本知識,二、參數(shù)曲線曲面基本知識（續(xù)）構(gòu)造曲線曲面的方法 插值 逼近,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。,代數(shù)形式,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 以三次參數(shù)曲線為例，討,三、

8、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式 第七講,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,對于,則,:,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,令,:,對于,則,:,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲

9、線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）令:,三、參數(shù)曲線,參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式,幾何形式（續(xù)）,得,:,由,記為,:,所以,:,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式 幾何形式（續(xù)）得:,三、參數(shù)曲線,四點式曲線,已知四點,:,求,:,過四點曲線的幾何和代數(shù)形式,令,因為,所以,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,解,:,三、參數(shù)曲線四點式曲線已知四點:求:過四點曲線的幾何,三、參數(shù)曲線,四點式曲線,幾何表達式,代數(shù)表達式,作業(yè)：,u,等距分布式，求幾何和代數(shù)表達式,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線四點式曲線幾何表達式 代數(shù)表達式

10、 作業(yè)：u等距分,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線,由于幾何外形設計的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面表示方法,已不能滿足用戶的需求。,1962,年，法國雷諾汽車公司的,P.E.Bezier,構(gòu)造了一種以逼近為基礎的參數(shù)曲線和曲面的設計方法。,背景,定義,用一組折線集定義，第一個點和最后一個點在曲線上，且第一條折線和最后一條折線是曲線在起點和終點的切線，曲線形狀趨于折線集得形狀。,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線 由于幾何外形設計,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,表達式,其中,稱為伯恩斯坦,(Bernstain),基函數(shù)。,第七講 計

11、算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,！此公式教材中有錯,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）表達式 其中稱為伯,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,那么,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 那么第七講,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,于是：,于是：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 于是：于是：,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,討論,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）討論 第七講,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,

12、Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,1,時：,表示連接,P,0,和,P,1,得直線段,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,2,時：,寫成矩陣的形式為：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,低階,Bezier,曲線,n,3,時：,寫成矩陣的形式為：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）

13、低階Bezier曲線,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,Bezier,曲線特點,過特征多邊形得起點和終點；,第一條折線和最后一條折線是曲線在起點和終點得切線；,起點的二階導數(shù)由前三點確定，某一點的底,r,階導數(shù)由該點相鄰的,r,點確定；,調(diào)和函數(shù)具有對稱性；,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）Bezier曲線特點,三、參數(shù)曲線,貝賽爾,Bezier,曲線（續(xù)）,Bezier,曲線的局限性,不能作局部修改，改變某一控制點對整個曲線都有影響；,特征多邊形邊數(shù)較多時，多邊形對曲線的控制減弱；,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線

14、貝賽爾Bezier曲線（續(xù)）Bezier曲線的局,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線,B,樣條曲線的一般表達式,已知控制頂點和一組基函數(shù)，定義,B,樣條曲線為：,式中：,稱為,n,次,B,樣條基函數(shù)。,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線B樣條曲線的一般表達式 已知控制,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,二次,B,樣條曲線,式中：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）二次B樣條曲線式中：第七講,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,二次,B,樣條曲線矩陣形式,二次,B,樣條可以寫成如下形式：,可以得到：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,！這里教材

15、中有錯,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）二次B樣條曲線矩陣形式 二次B,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,三次,B,樣條曲線,可以得到：,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）三次B樣條曲線可以得到：第七講,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,設已知型值點列,Q,i,(i=1,2,n-1),要求一條三次,B,樣條曲線經(jīng)過這些點,求出這條曲線的控制頂點,P,i,(i=0,1,n).,由曲線的端點性質(zhì)可得下列線性方程組,:,P,i-1,+4P,i,+P,i+1,=6Q,i,(i=1,2,n-1),再補充兩個邊界條件可得唯一解。如,已知,Q,1,和,Q,i-1,處的切矢,三次,

16、B,樣條曲線的反算,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）設已知型值點列Qi(i=1,2,三、參數(shù)曲線,B,樣條曲線（續(xù)）,把它們寫成矩陣形式為,三次,B,樣條曲線的反算,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,三、參數(shù)曲線B樣條曲線（續(xù)）把它們寫成矩陣形式為三次B樣條曲,三、參數(shù)曲線,非均勻有理,B,樣條（,NURBS,）曲線,NURBS,曲線的定義:,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲線,！這里教材中有錯,三、參數(shù)曲線非均勻有理B樣條（NURBS）曲線NURBS曲線,0,1,1,u,w,(,u,w,),四、參數(shù)曲面,參數(shù)曲面的概念,P(u,w)=,x,(,u,w,),y,(,u,w,),z,(,u,w,),0=,u,w,=1,第七講 計算機輔助幾何設計,參數(shù)曲面,011uw(u,w)四、參數(shù)曲面參數(shù)曲面的概念P(u,w)=,四、參數(shù)曲面,參數(shù)曲面的概念,u,和,w,向切矢：,四個角點的,u,向和,w,向切矢為：,P,u,(0,0),、,P,u,(1,0),、,P,u,(0,1),、,P,u,(1,1),、,P,w,(0,0),、,P,w,(1,0),、,P