高中數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》學(xué)案1新人教A版選修1-1

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1、 3.4 生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例 【成功細(xì)節(jié)】 本節(jié)主要研究導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)時(shí)，我認(rèn)為應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面的細(xì)節(jié)：（ 1）要 細(xì)致分析實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量 y 與自變量 x ，把實(shí)際問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即列出函數(shù)解析式 y f ( x) ，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù) y f (x) 的定義域；（ 2 要熟練 掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟，細(xì)心運(yùn)算，正確合理地做答；（ 3）求實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí)，一定要從 問(wèn)題的實(shí)際意義去考察，不符合實(shí)際意義的理論值應(yīng)予舍去；（ 4）在實(shí)際問(wèn)題中，有

2、f ( x) 0 常常僅解 到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大（?。┲翟?x 的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大 （?。┲?。如， 本題主要考查長(zhǎng)方體體積的計(jì)算以及用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題，可設(shè)長(zhǎng)方體的寬為 x（m），則長(zhǎng)為 2x(m) ， 高 為 18 12x （2007 年重慶市文科 20 題） 用長(zhǎng)為 18 cm 的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架， h 4.5 3x 要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之

3、4 比為 2： 1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？ . 故長(zhǎng) 方體的體積為 V ( x) 2 x2 (4.5 3x) 9 x 2 6 x3 (m 3 )(0＜ x＜ 3). 2 從而 V ( x ) 18 x 18 x 2 (4.5 3 x ) 18 (1 x ). x

4、 令 V′（ x）＝ 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 當(dāng) 0＜x＜ 1 時(shí)， V′（ x）＞ 0；當(dāng) 1＜ x＜ 2 時(shí)， V′（ x）＜ 0， 3 故在 x=1 處 V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是 V（ x）的最大值。 從而最大體積 V＝ V′（ x）＝ 9 12-6 13（ m3），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m，高為 1.5 m. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m 時(shí)，寬為 1 m，高為 1.5 m 時(shí)，體積最大，最大體積為 3 m3。 【高效預(yù)習(xí)】（核心欄目） 【粗讀概括】 【關(guān)注 .思考】 ,

5、從中提 1. 認(rèn)真閱讀教材中的例題 1.了解優(yōu)化問(wèn)題的類型； 煉解答優(yōu)化問(wèn)題的解題步驟 . 2.實(shí)際問(wèn)題中為什么極值點(diǎn) 一般就是最值點(diǎn) . 【學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)】（核心欄目） A．基礎(chǔ)知識(shí) 一、 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題 【情景引入】 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn) 用心 愛心 專心 1 題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題． 【例題 1】 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)

6、學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)， 通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳。 現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所 示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為 128dm2, 上、下兩邊各空 2dm,左、右兩邊各空 1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 【引導(dǎo)】 先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值 . 解：設(shè)版心的高為 xdm，則版心的寬為 128 dm,此時(shí)四周空白面積為 x S(x) (x 4)(128 2) 128 2x 512 8, x 0 。 x x 求導(dǎo)數(shù)，得 S ( x)

7、2 512 。 x2 令 S ( x) 2 512 0 ，解得 x 16(x 16 舍去）。 x2 于是寬為 128 128 8 。 x 16 當(dāng) x (0,16) 時(shí)， S ( x) <0；當(dāng) x (16, ) 時(shí)， S ( x) >0. 因此， x 16 是函數(shù) S( x) 的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為 16dm，寬為 8dm時(shí)，能使四周 空白面積最小。 答：當(dāng)版心高為 16dm，寬為 8dm時(shí)，

8、海報(bào)四周空白面積最小。 【思考】 在課本例 1 中，“ x 16 是函數(shù) S x 的極小值點(diǎn)， 也是最小值點(diǎn)。 ”為什么？是否還有別的解法？ 【探究】 在實(shí)際問(wèn)題中，由于 f x =0 常常只有一個(gè)根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（?。┲翟?x 的變化 區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的極大（小）值就是所求函數(shù)的最大（?。┲?。 由課本例 1 可得， S( x) 4x 256 8 2 4x 256 8 2 32 8 72 。 x x 當(dāng)且僅當(dāng) 4x 256 8( x 0)時(shí) S取最小值 12

9、8 16。 ,即 x ， 此時(shí) y= x 8 【例題 2】 飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 （ 1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （ 2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？ 【背景知識(shí)】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 0.8 r 2 分， 其中 r 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售 1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分 , 且制造商能制作的 瓶子的最大半徑為 6cm 問(wèn)題：（１）瓶子的半徑多大時(shí)

10、，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ （２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最小？ 【引導(dǎo)】 先建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值 . 解：由于瓶子的半徑為 r ，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 用心 愛心 專心 2 y f r 0.2 4 r 3 0.8 r 2 0.8 r 3 r 2 , 0 r 6 3 3 令 f r 0.8 ( r 2 2r ) 0 解得 r 2 （ r 0 舍去） 當(dāng) r 0, 2 時(shí)，

11、 f r 0 ；當(dāng) r 2, 6 時(shí)， f r 0 ． 當(dāng)半徑 r 2 時(shí)， f r 0 它表示 f r 單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高； 當(dāng)半徑 r 2 時(shí)， f r 0 它表示 f r 單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低． （ 1）半徑為 2 cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí) f 2 0 ，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí) 利潤(rùn)是負(fù)值． （ 2）半徑為 6 cm時(shí)，利潤(rùn)最大． 【引導(dǎo)】 我們已經(jīng)求出利潤(rùn)和瓶子半徑之間的關(guān)系式： f r 0.8 r 2 r 2 ,0

12、r 6 。圖象如圖， 3 能否根據(jù)它的圖象說(shuō)出其實(shí)際意義？ 【探究】 當(dāng) r 0, 2 時(shí)，， f r 為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半 徑小于 2cm 時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為 2 cm 時(shí)，利潤(rùn)最小；當(dāng) r 2,6 時(shí)， f r 為增函 數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑大于 2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越大。 特別的，當(dāng) r 3 時(shí)， f 3 0 ，即瓶子的半徑為 3cm 時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等，r 3 時(shí)，利潤(rùn)才為正值．當(dāng) r 2 時(shí)， f 2

13、 0 ，即瓶子的半徑為 2cm 時(shí)，飲料的利潤(rùn)最小，飲料利潤(rùn)還不 夠飲料瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。 【例題 2】 磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。 磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為 基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù) 0 或 1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（ bit ）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于 m ，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于 n 。為了數(shù) 據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有

14、磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為 R 的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于 r 與 R 之間的環(huán)形區(qū)域． （ 1） 是不是 r 越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？ （ 2） r 為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量 =磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于 r 與 R 之間，由于磁道之間的寬度必需大于 m ，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá) R r 。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿， m 即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá) 2 r 。所以，磁盤總存儲(chǔ)量 n 用心 愛心

15、 專心 3 f (r ) R r 2 r 2 r (R r ) m n mn （ 1）它是一個(gè)關(guān)于 r 的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是 r 越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大． （ 2）為求 f ( r ) 的最大值，計(jì)算 f ( r ) 0 ． 2 R 2r f ( r ) mn 令 f (r ) R 0 ，解得 r

16、 2 當(dāng) r R 時(shí)， f ( r ) 0 ；當(dāng) r R 時(shí)， f (r ) 0 ． 2 2 因此 r R 2 R2 時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為 mn 4 2 【思考】 根據(jù)以上三個(gè)例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟 . 【總結(jié)】（ 1）認(rèn)真分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量 y 與自變量 x ，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

17、 數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式 y f x ，并確定函數(shù)的定義區(qū)間； （ 2）求 f x ，解方程 f x 0 ，得出所有實(shí)數(shù)根； （ 3）比較函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。  關(guān)鍵細(xì)節(jié) 由問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)， 如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)， 那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較．

18、 用心 愛心 專心 4 思維拓展： 1．導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾種類型： （ 1）與幾何（長(zhǎng)度、面積、體積等）有關(guān)的最值問(wèn)題； （ 2）與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題； （ 3）與利潤(rùn)及其成本（效益最大、費(fèi)用最小等）有關(guān)的最值問(wèn)題； （ 4）效率最值問(wèn)題。 2. 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化問(wèn)題 用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題 解決數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化問(wèn)題的答案 作答 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

19、【例 4】 10. 某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到 100 人的團(tuán)體，每人收費(fèi) 1000 元。如果 團(tuán)體的人數(shù)超過(guò) 100 人，那么每超過(guò) 1 人，每人平均收費(fèi)降低 5 元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過(guò) 180 人，如何組 團(tuán)可使旅行社的收費(fèi)最多 ? ( 不到 100 人不組團(tuán) ) 【解析】先列出問(wèn)題的文字模型 ( 標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)數(shù) - 降低的收費(fèi)數(shù) ), 再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 . 【答案】設(shè)參加旅游的人數(shù)為 x，旅游團(tuán)收費(fèi)為 y 則依題意有 f (x)

20、 =1000 x -5 （ x -100 ） x （ 100≤ x ≤ 180），令 f (x) 1500 10 x 0 得 x =150。又 f (100) 100000 ， f (150) 112500 ， f (180) 108000 所以當(dāng)參加人數(shù)為 150 人時(shí)，旅游團(tuán)的收費(fèi)最高，可達(dá) 112500 元。 B．綜合拓展 例 1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 , 已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量 (t) 與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 p ( 元 /t) 之間的關(guān)系式

21、 x 為 : p=24200－ 1 x2 , 且生產(chǎn) x t 的成本為 : R=50000+200x( 元 ). 問(wèn)該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤(rùn)達(dá)到最大 ? 5 最大利潤(rùn)是多少 ? 解析：利潤(rùn) =收入－成本，列出利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題 . 答案 : 每月生產(chǎn) x 噸時(shí)的利潤(rùn)為 f ( x) (24200 1 x2 )x (50000 200 x) 1 x3 24000x 50000(x 0) 5 5 由 f ( x) 3 x2 24000 0 解得

22、： x 200 或 x 200（舍去）．因?yàn)? f (x) 在 [0, ) 內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) x 200 5 使得 f ( x) 0 ，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為： 因 f (x)在[ 0, )內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) x 200使 f (x) 0 ， 故 它 就 是 最 大 值 點(diǎn) ， 且 最 大 值 為 ： f (200) 1 (200)3 24000 200 50000 3150000 （元） 5 答：每月生產(chǎn) 200 噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，

23、最大利潤(rùn)為 315 萬(wàn)元 . 用心 愛心 專心 5 例 2 已知某商品生產(chǎn)成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 C=100+4q，價(jià)格 p 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 1 p 25 q ．求產(chǎn)量 q 為何值時(shí)，利潤(rùn) L 最大？ 8 分析：利潤(rùn) L 等于收入 R減去成本 C，而收入 R等于產(chǎn)量乘價(jià)格．由此可得出利潤(rùn) L 與產(chǎn)量 q 的函數(shù) 關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)． 解：收入 R q p q 25 1 q 2

24、5q 1 q2 ， 8 8 利潤(rùn) L R C 25q 1 q2 (100 4q) 1 q2 21q 100 (0 q 100) 8 8 L 1 21 q 4 1 令 L 0，即 0 ，求得唯一的極值點(diǎn) q 84 q 21 4 答：產(chǎn)量為 84 時(shí)，利潤(rùn) L 最

25、大 例 3 甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊 A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸 40 km 的 B 處，乙廠到河岸的垂足 D與 A 相距 50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站 C，從供水站到甲廠 和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米 3 a 元和 5 a 元，問(wèn)供水站 C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？ 解析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其 他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn) C的位置．

26、 答案 : 解法一 根據(jù)題意知，只有點(diǎn) C 在線段 AD上某一適當(dāng)位置， A C D 才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè) C 點(diǎn)距 D 點(diǎn) x km, 則 ∵ =40,AC=50－ x , ∴ BD BC= BD 2 CD 2 x2 40 2 又設(shè)總的水管費(fèi)用為 y 元，依題意有： B y =3 a (50 － x)+5 a x

27、2 402 (0 x 50) y′ =－3 a + 5ax , 令 y′ =0, 解得 x =30 x2 402 在 (0,50) 上， y 只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義， 函數(shù)在 x =30(km) 處取得最小值，此時(shí) AC=50－ x =20(km) ∴供水站建在 、 之間距甲廠 20 km 處，

28、 A D 可使水管費(fèi)用最省 . 解法二：設(shè)∠ = , 則 = 40 , = 40 cot , (0 ) , AC 50 40cot BCD BC sin CD 2 設(shè)總的水管費(fèi)用為 f ( θ ),

29、 依題意，有 f ( θ )=3 a (50 － 40 cot θ )+5 a 40 =150 a +40 a 5 3cos sin sin ∴ f ( θ )=40 a (5 3cos ) sin (5 3cos ) (sin ) 40a 3 5cos sin2 sin2 令 f ( θ )=

30、0, 得 cos θ = 3 5 根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng) cos θ = 3 時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí) sin θ= 4 , ∴ cot θ = 3 , 5 5 4 用心 愛心 專心 6 ∴ AC=50－ 40cot θ =20(km), 即供水站建在 、 D 之間距甲廠 20 km 處，可使水管費(fèi)用最省 . A 例 4 在邊長(zhǎng)為 60 cm 的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起 ( 如圖 ) ，做 成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少 時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少

31、？ 解析：先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求最值 . 答案 解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為 xcm，則箱  x x x 60 x 60 x 高 h cm，得箱子容積 2 V ( x) x2 h 60 x2 x3 2 60 (0 x 60) ． V ( x) 3x

32、2 (0 x 60) 60 x 2 令 V ( x) 60x 3x2 ＝0，解得 x=0 （舍去）， x=40， 2 并求得 V(40)=16 000 由題意可知， 當(dāng) x 過(guò)?。ń咏? 0）或過(guò)大 （接近 60）時(shí)， 60-2x 箱子容積很小，因此， 16 000 是最大值 x 答：當(dāng) x=40cm 時(shí)，箱子

33、容積最大， 最大容積是 16 000cm3 60-2x 解法二：設(shè)箱高為 cm，則箱底長(zhǎng)為 (60-2 x )cm，則得 60-2x x 箱子容積 60 60-2x x V ( x) (60 2x) 2 x (0 x 30) ．（后面同解法一，略） 由題意可知， 當(dāng) x 過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小， 所以最

34、 60 大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處． 事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) V (x) x 2h 60 x2 x3 、V (x) (60 2x) 2 x 在各自的定義域中都只有一個(gè)極值 2 點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值 例 5 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解析：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是，圓柱的體積是一個(gè)定值時(shí)，求表面積最小時(shí)，高與半徑的比值。 答案 : 設(shè)圓柱的高為 h，底半徑為 R，則表面積

35、 S=2π Rh+2π R2 由 V=π R2h，得 h V 2 ，則 R S(R)= 2 π R V 2 + 2 π R2= 2V +2π R2 R R 用心 愛心 專心 7 令 s ( R) 2V +4π R=0 R2 解得， R= 3 V ，從而 h= V 2 = V = 3 4V =2 3 V 2 R ( 3 V ) 2

36、 2 即 h=2R 因?yàn)?S(R) 只有一個(gè)極值，所以它是最小值 答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省 思考： 當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值 S 時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最 ?。? 2 2 S 2 R 提示： S=2 Rh + 2 R h= V( R)= S 2 R 2 R2 = 1 ( S 2 R2 )R 1 SR R 3 2 R 2 2 V ( R) )=0 S 6 R 2 6 R2 2

37、Rh 2 R 2 h 2R ． 例 6．已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于 x 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線 y ＝ 4－ x2 在 x 軸上方的曲線上， 求這 種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)． 解：設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（ x， y），且 x ＞ 0，y ＞ 0， 則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（－ x， y）， 在 x 軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（－ x， 0）、（x， 0），其中 0＜ x ＜ 2．設(shè)矩形的面積為 S，則 S ＝ 2 x（ 4－x2）， 0＜ x ＜ 2． 由 S′（ x）＝ 8－ 6 x2＝ 0，得 x ＝ 2 3

38、，易知 3 x ＝ 4 是 S 在（ 0， 2）上的極值點(diǎn)， 3 即是最大值點(diǎn)， 所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為 2 3 和 8 ． 3 3 例 7 要建一個(gè)圓柱形無(wú)蓋的糧倉(cāng)，要求它的容積為 500m3 ，問(wèn)如何選擇它的直徑和高，才能使所用 材料最省？ 解析：欲使材料最省，實(shí)際上是使表面積最小。 d 2 2000 答案： 設(shè)直徑為 d ，高為 h ，表面積為 S ，由 h ，得

39、 2 500h d 2π ． π d 2 πd 2 2000 π 2000 又 S π dπh ，而 S d 2 ． 2 4 d 2 d 令 S 0 ，即 πd 2000 0 ，

40、得 d 3 500 3 500 ． 2 ，此時(shí) h 2 d 2 π π ∵ 0 d 2 3 500 時(shí)， S 0 ； d 2 3 500 時(shí)， S 0 ， π π 用心 愛心 專心 8 所以，當(dāng) d 2 3 500 ， d 3 500

41、 ，用料最?。? π π 點(diǎn)評(píng)：用料最省、造價(jià)最低一般都是與表面積有關(guān)，此類問(wèn)題的求解思路是找到變量之間的關(guān)系，再 借助關(guān)系列出函數(shù)式，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)予以求解． 例 8用寬為 a、長(zhǎng)為 b 的三塊木板，做成一個(gè)斷面為梯形的水槽（如 圖 2），問(wèn)斜角 多大時(shí)，槽的流量最大？最大流量是多少？ 解析：槽的流量與槽的橫截面面積有關(guān)，橫截面面積越大，槽的流量就 越大，因此，求槽的流量最大，其實(shí)就是求橫截面面積的最大值．設(shè)橫截面 面積為 ，則 1 ( AB ED )CD ． S S

42、 2 答案：由于 AB a 2a cos ， CD asin ， 因此 S 1 [ a ( a 2a cos )]a sin a2 sin (1 cos ) 0 π ． 2 2 又 S a2 (2cos2 cos 1) ， 令 S 0 ，即 a2 (2cos 2 cos 1) 0 ， 得 cos 1 或 cos 1 ． 2

43、 由于 0 π，得 cos 1 ， 2 那么 cos 1 ，此時(shí) π． 2 3 ∵ 當(dāng) 0 π時(shí)， S 0；當(dāng) π π時(shí)， S 0 ， 3 3 2 所以，當(dāng) π時(shí)，橫截面的面積最大；此時(shí)，槽的流量最大． 3 點(diǎn)評(píng)：流量最大、橫梁的強(qiáng)度最大等都與橫截面的面積有關(guān)，而面積又往往與三角聯(lián)系在一起，根據(jù) 題目條件找出各量之間的關(guān)系是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵． 例 9 一

44、書店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書 15 萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi) 30 元，每千冊(cè)書存放一年要耗庫(kù)費(fèi) 40 元，并假設(shè)該書均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？ 解：設(shè)每次進(jìn)書 x 千冊(cè) (0 x 150) ，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為 y 元， 由于該書均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即 x ，故有 2 x (0,15) 15 (15,150) y y

45、 極小值 150 30＋ x 40， y 4500 20( x 15)( x 15) y 2 2 20 2 ，令 y′＝ 0，得 x ＝ 15，列表如右： x x x 所以當(dāng) x ＝ 15 時(shí)， y 取得極小值，且極小值唯一， 故當(dāng) x ＝ 15 時(shí)， y 取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為 150 （次）． 10 15 用心 愛心 專心 9 即該書店分

46、10 次進(jìn)貨，每次進(jìn) 15000 冊(cè)書，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少． 【作業(yè)】 □ 課堂作業(yè) 1． ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 一質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng) , 由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò) ts 后的距離為 s= 1 t 4 5 t3 3t 2 , 則速度為零的時(shí)刻是 4 3 （ ） A. 0s 與 2s 末 B.3s 末 C.0s 與 3s 末 D.0s,2s,3s 末 2．（知識(shí)點(diǎn) 1）用邊長(zhǎng)為 48cm 的正方形鐵

47、皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小 正方形，然后把四邊折起， 就能焊接成鐵盒， 所做鐵盒容積最大時(shí)， 在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為 （ ） A． 6cm B ． 8cm C ． 10cm D ． 12cm 3． ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為 20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為（ ） A 20 3 cm B 100cm C 20cm D 20 cm 3 3

48、 4. 若一球的半徑為 r , 作內(nèi)接于球的圓柱 , 則其側(cè)面積最大為 A.2 π r 2 B. π r 2 C.4 π r 2 D. 1 π r 2 2 5. 以長(zhǎng)為 10 的線段 AB為直徑作半圓 , 則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為 A.10 B.15 C.25 D.50 6. ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 如圖 , 將邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形 , 再沿虛線折起 , 做成一 個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器．當(dāng)這個(gè)正六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為 _______ 時(shí),

49、其容積最大． 7. ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 一面靠墻三面用欄桿，圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，如果欄桿長(zhǎng) 40cm，要使圍成的場(chǎng)地面積最大， 靠墻的邊應(yīng)該為 cm 8． ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件 20 元購(gòu)進(jìn)一批商品 , 若該商品的零售價(jià)定為 p 元，則銷售量 Q（單 位：件）與零售價(jià) （單位：元）有如下關(guān)系 2 p Q 8300 170 p p ．問(wèn)該商品零售價(jià)定為多少元時(shí)，毛利 潤(rùn) L 最大，并求出最大毛利潤(rùn)． □ 課后作業(yè) 9. 當(dāng)室內(nèi)的有毒細(xì)菌開始增加時(shí) , 就要使用殺菌劑 . 剛開始使用的

50、時(shí)候 , 細(xì)菌數(shù)量還會(huì)繼續(xù)增加 , 隨著時(shí)間的增加 , 它增加幅度逐漸變小 , 到一定時(shí)間 , 細(xì)菌數(shù)量開始減少 . 如果使用殺菌劑 t 小時(shí)后的細(xì)菌數(shù)量為 b(t)=105+104t-103t2. (1) 求細(xì)菌在 t=5 與 t=10 時(shí)的瞬時(shí)速度； (2) 細(xì)菌在哪段時(shí)間增加 , 在哪段時(shí)間減少 ?為什么 ? 10. 一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在 A E D 斷面 ABCD的面積為定值 S 時(shí)，使得濕周 l =AB+BC+CD最小，這樣可使水流 h 阻力小，滲透少，求此時(shí)的

51、高 h 和下底邊長(zhǎng) b. 60 0 B C 11. 有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸 40 千米，乙城到岸 b 的垂足與甲城相距 50 千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲 用心 愛心 專心 10 城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米 500 元和 700 元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最省？ □ 家庭作業(yè) 12. 請(qǐng)你的父母與你一起圍建一個(gè)面積為512 平方米的矩形堆料場(chǎng) , 為充分利用已有資源，可以利用 原有的墻壁作為一邊，其他三邊需要砌新的墻壁. 如何設(shè)

52、才能使砌壁所用的材料最??？ 【作業(yè)參考答案】 □ 課堂作業(yè) 1.D s t3 5t2 6t t (t 2)( t 3) ，令 s 0，得 t 0,2,3 . 2.A 設(shè)箱底邊長(zhǎng)為 xcm，則箱高 h 48 x cm，得箱子容積 V ( x) x2h 48 x2 x3 (0 x 48) ．則 2 2 V ( x) 48x 3x2 (0 x 48) ，令 V ( x) 0 ，解得

53、 x 32 ， x 0 （刪掉） ，所以當(dāng) x 32 ，即 2 h 48 32 時(shí)，體積取得最大值 . 2 6 cm 3.A 設(shè)母線和底面所成的角等于 (0, ) ， 1 2 1 8000

54、 則 r 20cos ， h 20sin ， v r 2 h (20cos )2 20sin = (sin sin3 ) 3 3 3 v 8000 cos (1 3sin 2 ) ，令 v 0 ，得 sin 3 ，所以當(dāng) h 20 3 時(shí)，取得最大值 . 3 3 3 4. A 如圖 , 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為 R, 母線長(zhǎng)為 l , 則 R=r cosθ , l =2

55、r sin θ . ∴ S 側(cè) =2πr cos θ 2r sin θ =4π r 2sin θ cosθ . ∴ S′ =4π r 2(cos 2 θ－ sin 2θ )=0. ∴ θ = . 當(dāng) θ = , 即 = 2 時(shí) , S 側(cè)最大且 S 側(cè) max=2π r 2. R r 2 5.C 如圖 , 設(shè)∠ NOB=θ , 則矩形面積 S=5sin θ 2 5cosθ =50sin

56、 θ cos θ =25sin2 θ , 故 Smax=25. 用心 愛心 專心 11 6. 解：設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長(zhǎng)為 x , 則正六棱柱的體積 V=6 3 (1-2 x ) 2 3 (0< x < 1 ), 利用導(dǎo)數(shù) 4 x 2 1 2

57、 知識(shí)可求得 : 當(dāng) x=6時(shí) ,V 有最大值 , 此時(shí)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為 3. 7.20cm 8．答案： 由題意知 L ( p ) pQ 20Q Q( p 20) (8300 170 p p2 )( p 20) p3 150 p2 11700 p 166000 ，

58、 所以 L ( p) 3p 2 300 p 11700 ． 令 L ( p) 0 ，解得 p 30 或 p 130 （舍去）． 此時(shí)， L(30) 23000 ． 因?yàn)樵? p 30 附近的左側(cè) L ( p) 0 右側(cè) L ( p ) 0 ． 所以 L (30) 是極

59、大值，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知， L (30) 是最大值，即零售定為每件 30 元時(shí)，最大毛利 潤(rùn)為 23000 元． □ 課后作業(yè) 9. 解： (1)b ′ (t)=-2 000t+10 000, b′ (t)|t=5=-2 000 5+10 000=0, b

60、′ (t)|t=10=-2 000 10+10 000=-10 000, 即細(xì)菌在 t=5 與 t=10 時(shí)的瞬時(shí)速度分別為 0 和-10 000. (2) 由 -2 000t+10 000>0, 得 t<5, 由 -2 000t+10 000<0, 得 t>5, 即細(xì)菌在 t ∈ (0,5) 時(shí)間段數(shù)量增加 , 在 t ∈ (5,+ ∞ ) 時(shí)間段數(shù)量減少 10. 解：由梯形面積公式，得

61、 S= 1 ( AD+BC) h, 其中 AD=2DE+BC， DE= 3 h, BC=b 2 3 ∴ AD= 2 3 h+b, ∴ S= 1 2 3 h b h 3 h b)h ① 3 ( 3 2 ) ( 2 3

62、 ∵ CD= h 2 h , AB=CD. ∴l(xiāng) = 2 h 2+b ② cos30 3 3 由①得 b= S 3 h, 代入② , ∴ l = 4 3 h S 3 h 3h S h 3 3 h 3 h

63、 l ′ = 3 S =0, ∴ h S , 當(dāng) h< S 時(shí)， l ′ <0, h> S 時(shí)， l ′>0. 2 h = 4 3 4 3 4 3 用心 愛心 專心 12 ∴ h=

64、 S 時(shí)， l 取最小值，此時(shí) b= 24 3 S 4 3 3 11 設(shè)水廠 D點(diǎn)與乙城到岸的垂足 B 點(diǎn)之間的距離為 x 千米，總費(fèi)用為 y 元， 則 CD ＝ x2 402 ． y ＝ 500（ 50－ x）＋ 700 x2 1600 ＝ 25000－ 500 x ＋ 700 x2 1600 ， 1 1 y′＝－ 500＋700 ( x 2＋ 1600) 2 2 x 2 700x ＝－ 500＋ ， 2 x 1600 5

65、0 6 令 y′＝ 0，解得 x ＝ ． 答：水廠距甲距離為 50－ 50 6 千米時(shí)，總費(fèi)用最?。? 3 □ 家庭作業(yè) 12 答案 :32 米 ,16 米 要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短 , 如右圖所示 , 設(shè)場(chǎng)地寬為 x 米 , 則長(zhǎng)為 512 米 , x 因此新墻總長(zhǎng)度 L=2x+ 512 ( x>0), 則 L′ =2－ 512 . x x2 令 L′=0, 得 x= 16. ∵ x>0, ∴ x=16. 當(dāng) x=16 時(shí) , L 極小值 =Lmin =64, ∴堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為 512 =32 米 . 16 用心 愛心 專心 13