單輝祖材力(彎曲變形)課件

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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),,,*,剪力,彎矩,彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度條件,彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度條件,彎曲剛度分析,靜不定梁分析,,彎曲變形的計(jì)算,,,,,第七章 彎曲變形,彎曲內(nèi)力,彎曲強(qiáng)度,彎曲變形,,,剪力彎矩彎曲正應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力及強(qiáng)度條件彎曲剛度分析,1,1、齒輪傳動(dòng),輪齒不均勻磨損,噪聲增大,產(chǎn)生振動(dòng);,加速軸承磨損,降低使用壽命;若變形過(guò)大,使傳動(dòng)失效。,,,,,§7-1 引言,一、彎曲實(shí)例,弊端:,,,1,2,,,,,1,2,,,1、齒輪傳動(dòng) 輪齒不均勻磨損,噪聲增大,產(chǎn)生振動(dòng); 加速軸承,2,2、繼電器中的簧片,,,電磁力

2、,當(dāng)變形足夠大時(shí),可以有效接通電路;,觸點(diǎn),,當(dāng)變形不夠大時(shí),不能有效接通電路;,簧片,,,,,工程中,一方面要限制變形,另一方面要利用變形。,,,2、繼電器中的簧片電磁力當(dāng)變形足夠大時(shí),可以有效接通電路;觸,3,,,x,w,撓曲軸,m—m,n—n,(1)撓度,,w,,:橫截面形心在垂直于軸線方向的位移,(2)轉(zhuǎn)角,θ,:橫截面繞中性軸的轉(zhuǎn)過(guò)的角度,w,θ,符號(hào)規(guī)定:向上為正,向下為負(fù)。,,符號(hào)規(guī)定:逆時(shí)針為正,順時(shí)針為負(fù)。,,(3)軸向位移,Δx,:,橫截面形心在軸線方向的位移 ,,小變形情況下,略去不計(jì)。,ΔX,x,(連續(xù)、,,光滑,平坦的平面曲線),,w,z,,,,,,,二、梁變形的表示

3、方法,θ,,,xw撓曲軸m—mn—n(1)撓度 w :橫截面形心在垂直于軸,4,,,(通常,θ,<1o=0.0175弧度),撓曲軸曲線性質(zhì):,,撓曲軸,x,w,x,w(x),o,θ(x),θ(x),,,(2)撓曲軸上任一點(diǎn)的切線斜率等于梁上該截面的轉(zhuǎn)角值。,(,1)撓曲軸上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于梁上該截面的撓度值;,,,,,三、撓度和轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系,,,(通常θ<1o=0.0175弧度)撓曲軸曲線性質(zhì):撓曲軸xw,5,1、中性層曲率表示的彎曲變形公式,,(純彎曲變形公式,,EI,為抗彎剛度),,2、數(shù)學(xué)中的曲率公式,一、撓曲軸微分方程,,,M,ρ,o,x,w,,ρ(x),M(x),,,,,§7-2

4、 梁變形基本方程,,,1、中性層曲率表示的彎曲變形公式(純彎曲變形公式,EI為抗彎,6,,,3、撓曲軸微分方程,4、撓曲軸近似微分方程,弧度,,(1)在小變形條件下,,,,,,,o,x,w,,,,,,,M > 0,M < 0,(2)正負(fù)號(hào)確定:,M,與,w″,保持同號(hào),(1)線彈性范圍,(2)小變形條件,(3)平面彎曲,適用條件:,,,3、撓曲軸微分方程4、撓曲軸近似微分方程 弧度(1)在小變形,7,二、積分法計(jì)算梁的變形,,,,C、D為積分常數(shù),,它由位移邊界與連續(xù),條件確定。,,,,,,,二、積分法計(jì)算梁的變形C、D為積分常數(shù),它由位移邊界與連續(xù),8,,,,,,,,邊界條件:,(2)鉸支

5、座:,,,,A,B,C,A,B,(1)固定端約束:,連續(xù)條件 :,C,,,邊界條件:(2)鉸支座:ABCAB(1)固定端約束:連續(xù)條件,9,例1:,懸臂梁AB,彎曲剛度,EI,為常數(shù),受力,F,和力偶,M = FL,作用,求,w(,x),,θ(x),;,并計(jì)算B截面的撓度和轉(zhuǎn)角值。,解:1、 建立撓曲軸微分方程并積分,A端約束反力,F,Ay,=F,梁的彎矩方程:,L,B,M,A,F,F,Ay,x,撓曲軸近似微分方程:,,,,,x,w,,,例1:懸臂梁AB,彎曲剛度 EI 為常數(shù),受力F 和力偶M,10,2、確定積分常數(shù),A端為固定端約束,,x=0, w=0,x=0,,θ=0,,C,=0,,

6、 D,=0,3、撓度方程、轉(zhuǎn)角方程及B截面的轉(zhuǎn)角,將,x=L,代入轉(zhuǎn)角方程:,,,,,L,B,M,A,F,F,Ay,x,w,x,,,2、確定積分常數(shù)A端為固定端約束,x=0, w=0C=0 ,,11,,例2:由積分法求圖示梁的,w,A,、,?,A,。,解:1) 坐標(biāo)系如圖;,AC,段:,則近似微分方程為:,積分可得:,,,,,,x,,,,,,w,x,,,,x,,,,,,,,,,,,,,,,,Fa,,,,a,,,,,a,,F,EI,C,A,B,,,,,,,2) 分兩段進(jìn)行分析:,BC,段:,,,例2:由積分法求圖示梁的wA、?A。解:1) 坐標(biāo)系如圖;A,12,,,積分可得:,則近似微分方程為:

7、,利用約束和連續(xù)條件確定,C,1,、,D,1,、,C,2,、,D,2,四個(gè)常數(shù):,,,時(shí),,,約束條件:,,,積分可得:則,13,連續(xù)條件:,處,,,由此可得:,即:,,,,由此可得:,,,連續(xù)條件:處,由此可得:即: 由此可得:,14,最后可得:,(向下),(逆時(shí)針),(2) 由約束和連續(xù)條件求積分常數(shù);,(1) 兩段:四個(gè)常數(shù),每增加一段,就增加 兩個(gè)積分常數(shù);,小結(jié):,(3) 坐標(biāo)原點(diǎn)一律放在左邊,分段寫(xiě)出,M,(,x,);,,,(4) 注意,x,的范圍。,,,最后可得:(向下)(逆時(shí)針)(2) 由約束和連續(xù)條件求積分常,15,§7-3計(jì)算梁位移的疊加法,由于:,1),小變形,軸向位

8、移可忽略;,簡(jiǎn)單載荷下梁的撓度和轉(zhuǎn)角見(jiàn)附錄E。,因此,,梁的撓度和轉(zhuǎn)角與載荷成線性關(guān)系,可用疊加原理求復(fù)雜載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角。,2)線彈性范圍工作。,,,,,§7-3計(jì)算梁位移的疊加法由于:1)小變形,軸向位移可忽略;,16,例:利用疊加原理求圖示彎曲剛度為,EI,的懸臂梁自由端,B,截面的撓度和轉(zhuǎn)角。,解:原荷載可看成為圖a和b兩種荷載的疊加,對(duì)應(yīng) 的變形和相關(guān)量如圖所示。,F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,l,,,,,l,,EI,F,A,B,,,,,,,C,D,q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,?,

9、2,l,,,,,,,,,直線,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直線,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),?,,,,,例:利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自由端B截面的撓,17,對(duì)圖a,可得,C,截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:,由位移關(guān)系可得此時(shí),B,截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:,(向下),(順時(shí)針),q,B,1,F,,,,,,,,q,C,1,w,C,1,w,C,1,q,C,1,?,2,l,,,,,,,,,直線,,,,,,,

10、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,1,(a),,,,,對(duì)圖a,可得C截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:由位移關(guān)系可得此時(shí)B截面的,18,對(duì)圖b,可得,D,截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:,同理可得此時(shí),B,截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:,(向下),(順時(shí)針),q,D,1,q,B,2,w,D,1,·,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,q,D,1,BD,,,,,,,直線,w,D,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,2,(b),?,,,,,對(duì)圖b,可得D截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:同理可得此時(shí)B截面的撓度和,19,,,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得:,(向下),(順時(shí)針),,,,,將相,20,例:由疊加原理求圖示

11、彎曲剛度為,EI,的外伸梁,C,截面 的撓度和轉(zhuǎn)角以及,D,截面的撓度。,解:可將外伸梁看成是圖a和b所示的簡(jiǎn)支梁和懸臂 梁的疊加。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,C,(b),F=qa,,,,,,A,EI,,D,B,qa,qa,2,/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(a),,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,,,,,,(1)對(duì)圖a,其又可看成為圖c和d所示荷載的組合。,,,,,例:由疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的外伸梁C截面,21,+,,,,,,A

12、,,,,,,,F=qa,(c),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,qa,2,/2,(d),,圖c中,D,截面的撓度和,B,截面的轉(zhuǎn)角為:,圖d中,D,截面的撓度和,B,截面的轉(zhuǎn)角為:,,,,,+AF=qa(c)qa2/2(d)圖c中D截面的撓度和B截面,22,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得:,(向下),(順時(shí)針),(2)對(duì)圖b,,C,截面的撓度和轉(zhuǎn)角分別為:,,,,,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得:(向下)(順時(shí)針)(2)對(duì)圖b,,23,,,所以:,原外伸梁,C,端的撓度和轉(zhuǎn)角也可按疊加原理求得,即:,(向下),(順時(shí)針),,,,,,,,,,,,A,C,,,,,a,,,,,a,,,,

13、,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F=qa,B,D,EI,q,B,q,Cq,q,B,×,a,w,Cq,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,所以:原外伸梁C端的撓度和,24,例:利用疊加原理求圖示彎曲剛度為,EI,的中間鉸梁鉸 接點(diǎn),B,處的撓度和,B,點(diǎn)右截面的轉(zhuǎn)角以及,D,截面的撓度,其中:,F,=2,qa,。,,,,,,解:可在鉸接點(diǎn)處將梁分成圖a和b所示兩部分,并可求得鉸接點(diǎn)處的一對(duì)作用力與反作用力為:,q,A,,,,,,,,,,EI,EI,F,B,C,,,,a,/2,,D,,,,,,,,,,a,,,,,a,,,,,,,,,,,,,,,

14、,,,,,,,,,,,,,,,,,,例:利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的中間鉸梁鉸,25,F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直線,,,B,w,DF,,,w,/2,+,F/,2,,,,,,,,,,,,,,,,w,B,,,,,,,,q,B,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),B,C,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(b),F/,2,,,,,,B,,,,,,,,C,圖a和b中分別給出了兩部分的變形情況。,(c),并且圖b又可分解為圖c所示兩種載荷的組合。,,,,,F/2wB直線BwDFw/2+F/2wBqBCAF(a

15、)BC,26,,(1)對(duì)圖b,可得其,B,截面的撓度和轉(zhuǎn)角為:,進(jìn)行相應(yīng)的疊加可得:,(向下),(逆時(shí)針),,,,,(1)對(duì)圖b,可得其B,27,(2)圖a可看成為右支座有一定豎直位移(位移量為,w,B,)的簡(jiǎn)支梁,此時(shí),D,截面的撓度為:,(向下),F/,2,,,,,,,,,w,B,,,,直線,,,B,w,DF,,,w,/2,A,,,,,,,,,,F,,,,,,,,,(a),,,,,(2)圖a可看成為右支座有一定豎直位移(位移量為wB)的簡(jiǎn)支,28,§7-4 梁的剛度條件,?,提高梁的剛度的措施,1、,梁的剛度校核,,保證梁的正常工作除要滿足強(qiáng)度條件外,產(chǎn)生的變形也不能太大,應(yīng)滿足剛度條件,

16、即有:,與,為許可值,可查設(shè)計(jì)手冊(cè)。,其中,,,,,,§7-4 梁的剛度條件?提高梁的剛度的措施1、梁的剛度校核,29,例:圖示空心圓截面外伸梁,已知,D,=80mm,,d,=40mm,,E,=200GPa,,C,點(diǎn)撓度不得大于,AB,跨長(zhǎng)的10,-4,,,B,截面轉(zhuǎn)角不得大于10,-3,rad,,校核剛度。,解:首先,可利用圖a,由疊加原理求,w,C,和,?,B,。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,200,,,,,200,,,,,100,,A,D,B,C,F,2,=1kN,F,1,=2kN,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

17、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,,,,,,,,,,d,,,,(a),,,,,,,,A,,F,2,,,,,,,,,,C,F,1,B,,,,,,,,,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,F,1,,×,BD,,,,,,例:圖示空心圓截面外伸梁,已知D=80mm,d=40mm,E,30,圖a可看成由圖b和c的疊加而得,圖b和c分別有:,,,,,,,,,,w,C,1,q,B,1,,,,,,,,,,,,w,C,2,q,B,2,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,B,F,2

18、,,,,(b),,,,,,,,,A,,C,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,M,,(c),,,,,圖a可看成由圖b和c的疊加而得,圖b和c分別有:wC1qB1,31,疊加可得:,因?yàn)椋?,,,,疊加可得:因?yàn)椋?32,所以:,剛度滿足。,則:,,,,,所以:剛度滿足。則:,33,2)減少梁的跨度或增加支承。,2、,提高剛度措施,除外加載荷外,梁的位移,w,、,?,還與梁的彎曲剛度,EI,成反比,與跨長(zhǎng),l,的,n,次方成正比,因此,提高剛度的措施有:,1)升高,EI,。,各種鋼材,E,相差不大,主要提高,I,,在截面面積,A,不變時(shí),盡可能使面積分布遠(yuǎn)離中性軸。,如工字形、箱形等截面。,如

19、下圖所示結(jié)構(gòu):,,,,,2)減少梁的跨度或增加支承。2、提高剛度措施,34,超靜定梁:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,C,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,,超靜定梁:BABACB,35,§6-5 簡(jiǎn)單超靜定梁,,,超靜定問(wèn)題:平衡方程不能完全求解,有多余約

20、束,需列補(bǔ)充方程。,,解除多余約束,得到相當(dāng)系統(tǒng),根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件,列補(bǔ)充方程,列補(bǔ)充方程:,F,,,,,,,,,B,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,F,A,A,M,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,,,,,,,l,,,,,A,q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

21、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,Bq,,,,w,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,,,,,,,,,,,F,,,,,,,,B,B,,w,,,,,BF,,,§6-5 簡(jiǎn)單超靜定梁 超靜定問(wèn)題:平衡方程不,36,,可分別求出(也可查表)梁在均布載荷和集中力作用下的撓度為,,補(bǔ)充方程變?yōu)?,解得,,,可分別求出(也可查表)梁在均布載荷和集中力作用下,37,,也可以取支座,A,處阻止梁端面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束作為“多余”約束,解除后可得相當(dāng)系統(tǒng),,根據(jù)原超靜定梁端面,A,的轉(zhuǎn)

22、角應(yīng)等于零的變形相容條件,可由變形協(xié)調(diào)條件建立補(bǔ)充方程來(lái)求解。,,可從右向左作出剪力圖和彎矩圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,F,s,圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M圖,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,M,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,q,,,,,,l,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,,,也可以取支座 A 處阻止梁端面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束作為“,38,謝謝!再見(jiàn)!,,,,,謝謝!再見(jiàn)!,39,

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