經濟數學基礎形考答案

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1、電大【經濟數學基礎】形成性考核冊參考答案 《經濟數學基礎》形成性考核冊(一) 一、填空題 l.lim^n^.答案：］ x 0 x x2 1 x 0 2.及f(x) ? , c，在x 0處連續(xù)，則k 答案1 k, x 0 3.曲線y 7x +1在(1,1)的切線方程是.答案:y=1/2X+3/2 4 .設函數 f(x 1) x2 2x 5,則 f(x).答案 2x 5 .設 f (x) xsinx,貝U f(-) .答案： 一 2 2 二、單項選擇題 1 .當x 時，下列變量為無窮小量的是( D) D. sin x x 2 1 A. ln(1 x) B.工 C

2、e? x 1 2 .下列極限計算正確的是(B ) A. lim B. lim x 0 C.limxsin」 x 0 x D .. sinx 1 D. lim 1 D. -dx x )是錯誤的. A.函數f (x)在點x0處有定義 C.函數f (x)在點x0處連續(xù) 5.若 f (1) x，則 f (x) ( B ). x A. B. 4 C. 1 x x x 3 .設 y lg 2x ,則 d y ( B ). A 1 17c ln1x A ——dx B dx C dx 2x . xln10 x 4 .若函數f (x)在點x0處可

3、導，則( B B. lim f(x) A,但 a f (x0) x x0 D.函數f (x)在點x0處可微 D. 1 x 三、解答題 1.計算極限 本類題考核的知識點是求簡單極限的常用方法。它包括： ⑴利用極限的四則運算法則； ⑵利用兩個重要極限； ⑶利用無窮小量的性質（有界變量乘以無窮小量還是無窮小量） ⑷利用連續(xù)函數的定義。 (1) lxml 2 - x 3x x2 1 分析：這道題考核的知識點是極限的四則運算法則。 具體方法是：對分子分母進行因式分解，然后消去零因子，再利用四則運 算法則限進行計算 解：原式=時(x 1)(x 2) =iim匕N

4、 =」 工 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 11 2 2 _ - x 5x 6 lim —2 x 2 x 6x 8 分析：這道題考核的知識點主要是利用函數的連續(xù)性求極限。 具體方法是：對分子分母進行因式分解，然后消去零因子，再利用函數的 連續(xù)性進行計算 解：原式二 iim(x 2)(x 3)=iimH Q 1 x 2 (x 2)(x 4) x 2 x 4 2 4 2 (3)lim x 0 分析：這道題考核的知識點是極限的四則運算法則。 具體方法是：對分子進行有理化，然后消去零因子，再利用四則運算法則 進行計算 解：原式=lim x 0 卜.

5、1 x 1)(,1 x( J x 1) x 1)=lim 1 x 1 _ =lim x( .1 x 1) x 0 -1x1 2 分析：這道題考核的知識點主要是函數的連線性。 2 解：原式二lim 一 x 3 _1 3 0 0 3 2 x (5) limsn巡 x 0sin 5x 分析：這道題考核的知識點主要是重要極限的掌握。 具體方法是：對分子分母同時除以 X,并乘相應系數使其前后相等，然后 四則運算法則和重要極限進行計算 sin 3x 解：原式二lim 3x x 0 sin 5x 5x 2 )

6、⑹ lim - x 2sin( x 2) sin 3x lim c - c x 0 3x 313 sin 5x 5 1 5 lim X 0 5x 分析：這道題考核的知識點是極限的四則運算法則和重要極限的掌握。 具體方法是：對分子進行因式分解，然后消去零因子，再利用四則運算法 則和重要極限進行計算 解：原式二 lim (x 2)(x 2) Hm(x 2) lim^-^ 4 1 4 x 2 sin(x 2) x 2 x 2 sin(x 2) 2.設函數f(x) xsin- b, x x a, x sin x x 0 0, 0 問：(1)當a,b

7、為何值時, ”*)在* 0處極限存在? x (2)當a,b為何值時，f(x)在x 0處連續(xù). 分析：本題考核的知識點有兩點，一是函數極限、左右極限的概念。即函 數在某點極限存在的充分必要條件是該點左右極限均存在且相等。二是函 數在某點連續(xù)的概念。 解：(1)因為“*)在* 0處有極限存在，則有 T7 . 1 又 lim f (x) lim (xsin b) b x 0 x 0 x 即 b 1 所以當a為實數、b 1時，f(x)在x 0處極限存在. (2)因為f(x)在x 0處連續(xù)，則有 又 f(0) a ,結合(1)可知a b 1 所以當a b 1時，f(x)在x 0

8、處連續(xù). 3.計算下列函數的導數或微分： 本題考核的知識點主要是求導數或(全)微分的方法，具體有以下三種: ⑴利用導數(或微分)的基本公式 ⑵利用導數(或微分)的四則運算法則 ⑶利用復合函數微分法 (1) y x2 2x log 2 x 22 ,求 y 分析：直接利用導數的基本公式計算即可。 解：y 2x 2xln 2 xln 2 (2) y 9 ,求 y cx d 分析：利用導數的基本公式和復合函數的求導法則計算即可。 解：y (ax b) (cx d) (ax b)(cx d) a(cx d) (ax b)c _ ad bc .2 (cx d) .2 (c

9、x d) (cx d)2 73x4,求 y 分析：利用導數的基本公式和復合函數的求導法則計算即可。 1 1 1 解：y [(3x 5) 2] 1(3x 5) 2 (3x 5) 2 3 3 2 一(3x 5) 2 2 (4)y 、x xex ,求 y 分析：利用導數的基本公式計算即可。 1 1 解：y (x2) (xex) - x 2 ex xex 2 分析: 利用導數的基本公式和復合函數的求導法則計算即可。 (5) y eax sin bx ,求 dy 解：y (eax)sinbx eax(sin bx) eax(ax) sinbx eaxco

10、sbx(bx) =aeaxsin bx beax c0sbx (6) 分析: 1 y ex xVx ,求 dy 利用微分的基本公式和微分的運算法則計算即可。 解：y 1 3 (ex) (x2) 1 ex(1) x 1 ex 2 x 1 3 2 -x 2 JT cos x e 分析：利用導數的基本公式和復合函數的求導法則計算 解：y x2 (cos x) (e ) x2, 2、 sin、x - x2 e ( x ) 2xe 2 x (8)y sinn x sin nx ,求 y 分析：利用導數的基本公式和復合函數的求導法則

11、計算 1 cosx n cos nx 解：y [(sin x)n] (sin nx) n(sin x)n 1 (sin x) cos nx(nx) n(sin x) (9) y ln(x .1 分析：利用復合函數的求導法則計算 解： y (x . 1 x V1 x2 —(1 2 x ((1 1 x2盧)) 1 1 x—「x2(1 2(1 x2)2 1 2x) x .1 x2 .1 x2 _1_ ,1 x2 (10) 2x ——，求y J.32 c0tx 1 x y 2 -x 分析: 利用

12、導數的基本公式和復合函數的求導法則計算 sin1 1 1 3 x ln 2(sin ) x 2 x 2 一_ 1 1 1 解：y sin — (2 x) (x 2) (x6) ( .2) 2 4.下列各方程中y是x的隱函數，試求y或dy 本題考核的知識點是隱函數求導法則。 (1) x2 y2 xy 3x 1 ,求 dy 解：方程兩邊同時對x求導得: (2) sin(x y) exy 4x，求 y 解：方程兩邊同時對x求導得: 5.求下列函數的二階導數: 本題考核的知識點是高階導數的概念和函數的二階導數 (1) y ln(1 x2),求 y 解: x2)

13、 2x 1 x2 解: 1 (x 2) 1 (x2) 3 1 2 —x 2 1 1 2 -x 2 3 1 2 —x 2 1 2x2) 2( 3 I 2x ) 1 / 1、 -(T)x 2 2 5 3 2 —x 4 3 3=1 (一) 填空題 《經濟數學基礎》形成性考核冊 1.若 f（x）dx 2x 2x c ,則 f (x) x 2 ln 2 2 2. (sinx) dx sin x c. 3.若 f(x)dx F(x) c,貝lj xf(1 2 1 x )dx - F (1 x 2 2) c

14、4.設函數—eln(1 x2)dx 0 dx 1 5.若 P(x) 0以‘ x 2 -1 t dt 則 P (x) 1 ,1 （二）單項選擇題 1. F列函數中，（ D )是 xsin x2的原函數. 2. 1 2 A. 1cosx 2 下列等式成立的是 2 B. 2cosx C. -2cos x2 1 2 D. - - cosx 2 D. 3. A. sinxdx d(cosx) 1-dx d.x 、?. x B ln xdx C. 2xdx 1 ln 2 d(2x) F列不定積分中，常用分部積分法計算的是（ cos(2x

15、 1)dx , B. x、.1 x2dx C. xsin 2xdx D. xTdx 1 x 4.下列定積分中積分值為0的是（D ）. A. 12xdx 2 1 16 B. 1 dx 15 C. cosxdx D. sin xdx 0 5. F列無窮積分中收斂的是（ A 1 xdx （三）解答題 B. 1 -2"

16、 dx x ). C. exdx D. 1 sinxdx 1.計算下列不定積分 (1) 1dx e (1 x)2 dx .x 解：原式 (3)xdx e ln 3 1 (3)x e 解：原式 . - 2 1 2x x , dx x 4 -dx (4) 1 dx 2x 解：原式 (x 2)(x x 2 」x2 2 2x 解：原式 1 d(1 -2x) 1 2x (5) x 2 x2dx (6) sin、x Tx-dx 解：原式1 2 x2d(2 2 (7) xsin -dx 2 解：原式 2 xdcosx 2

17、 x x ln(x 1) dx x 1 2.計算下列定積分 x2) 解：原式 2 sin xd x (8) 解: ln( x 1)dx 原式 （1）21 xdx (2) 1 ex -2dx x 解：原式 1 2 i(1 x)dx 〔 (x 1)dx 解：原式 1 2 "/1、 1 e d(-) 1 x :—

18、1—dx x、1 ln x (4) 2 xcos2xdx 0 解：原式2 e3 1 ——1 d(lnx 1) 1 2%1 ln x 解：原式 1 2 xdsin2x 2 0 (5) ‘xln xdx 1 解：原式1 2 1 ⑹ 04(1 x - xe )dx （一）填空題 elnxdx2 解：原式 4 dx 0 4 xde x 0 《經濟數學基礎》形成性考核冊（三） 1 1.設矩陣A 3 2 5 2 ,貝U A的元素a23 1 .答案：3 2.設A,B均為3階矩陣, 3,則 2ABT .答案：72 3.設A,B均為n階

19、矩陣, 則等式(A B)2 A2 2AB B2成立的充分必要條件 .答案：AB BA 4.設A,B均為n階矩陣, （I B）可逆，則矩陣A BX X的解X 答案：(I B) 1A 1 5.設矩陣A 0 0 0 1 0 ,則A 3 .答案: 0 1 2 0 0 0 1 3 （二）單項選擇題 1.以下結論或等式正確的是（ A.若A,B均為零矩陣，則有A B.若 AB AC ,且 A O ,貝U B C.對角矩陣是對稱矩陣

20、 D.若 A O,B O ,貝U AB O 2. 設A為3 4矩陣，B為5 2矩陣，且乘積矩陣 ACBT有意義，則 CT為 A ）矩陣. A. 2 4 B. 4 2 C. 3 5 D. 5 3 3. 設A,B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 (A B. (A B) 1 C. |ab| |bA D. AB BA 4. F列矩陣可逆的是 1 A. 0 0 1 B. 1 1 C. D. 1 1 2 2 5.矩陣A 的

21、秩是（ A. 0 B. C. 2 D. 三、解答題 1.計算 (1) 1 2.計算1 1 2 3 12 4 2 2 14 3 3 2 2 3 1 7 19 7 7 12 0 0 4 7 2 4 5 6 10 = 3 2 7 5 15 2 1 11 0 3 2 14 3.設次!陣a 1 2 3 112,求 |AB|

22、。 0 1 1 解因為|AB| |A|B 所以 |AB| |A|| B| 2 0 0 （注意：因為符號輸入方面的原因，在題4-題7的矩陣初等行變換 中，書寫時應把（1）寫成①；（2）寫成②；（3）寫成③；…） 4.設次!陣A 1 2 4 2 1 ,確定的值，使r（A）最小 1 1 0 解: 4 2達到最小值。 9?時，r(A) 4 5.求矢!陣A 2 5 1 4 5 8 7 1 3 5 4 1 2 4 2 2 1 3的秩。 3 解：A 2 5 1 4 5 8

23、7 1 3 5 4 1 2 4 2 2 1 3 0 3 1 5 2 4 7 8 5 1 4 5 3 1 2 4 2 2 0 3 1 3 1 0 0 0 7 27 9 27 4 15 5 15 2 6 2 6 0 3 1 3 1 0 0 0 7 9 0 0 4 5 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 ? ?. r(A) 6.求下列矩陣的逆矩陣: (1) A 解: AI 18 7 9 13 4 2 解: AI 13 4

24、 2 3 13 6 3 6 13 0 1 2 4 1 1 2 1 1 3 0 ??A1 = 2 7 1 0 1 2 1 2 1 2 7.故矢!陣A B 求解矩陣萬程XA B . 3 5 2 3 解：AI 12 10 3 5 0 1 12 10 0 13 1 ?二 X BA 12 5 2 2 3 3 1

25、 四、證明題 1.試證：若B1,B2都與A可交換，則B1 B2 , B1B2也與A可交換。 證：: B1A AB1 , B2 A AB2 B1 B2 A B1 A B2A AB1 AB2 A B1 B2 即 B1 B2也與A可交換。 即B1B2也與A可交換. 2 .試證：對于任意方陣A, A AT, AAT,ATA是對稱矩陣。 證：: A AT T AT AT T AT A A AT -A AT是對稱矩陣。 :（AAT）T= AT T AT AAT -aat是對稱矩陣。 「 ATAT AT AT T ATA ATA是對稱矩陣. BA 。

26、 3 .設A,B均為n階對稱矩陣，則AB對稱的充分必要條件是：AB 證： 必要性: 「 AT A , BT B 若AB是對稱矩陣，即ABT AB 而AB BT AT BA 因止匕AB BA 充分性： 若 AB BA,貝 U ABT BTAT BA AB .二AB是對稱矩陣. 4 .設A為n階對稱矩陣，B為n階可逆矩陣，且B1 BT ,證明B1AB是對 稱矩陣。 證：AT A B 1 BT B 1AB是對稱矩陣. 證畢. 《經濟數學基礎》形成性考核冊(四) (一)填空題 1 .函數f(x) 的定義域為 )案：(1,2) 2,4. ln(x 1) 2 .函數y 3

27、(x 1)2的駐點是 ，極值點是，它是極—值點。 答案:x=1； (1, 0)；小。 p 3 .設某商品的需求函數為q(p) 10e" 則需求彈性Ep .答 案：Ep=_p_ P 2 4 . n 1 1 1 .答案：4. D 1 1 1 __ 1 1 1 5.設線性方程組AX b ,且一 A 時, 方程組有 唯一解.答案：t 1. （二）單項選擇題 1. F列函數在指定區(qū)間（ ）上單調增加的是（ B) 2. 3. D. 4. 5. ( A. D. A. sin x B. e C. D. 3 一 1 及 f(x)一,則 f (f (

28、x)) x B.口 x F列積分計算正確的是（ -1(x2 x3)dx 0 設線性方程組 r(A) r( A) m 設線性方程組 Am xi B. xi x2 D. B. x x 1 e e , dx 1 2 C. 1 xsin xdx -1 b有無窮多解的充分必要條件是（ r(A) n x2 x3 2x2 x3 a1 a2 ， ；a3 C. m n D. r(A) r(A) 則方程組有解的充分必要條件是 C ) . a〔 a2 a3 0 a〔 a2 a3 0 B. a1 a2 a3 C. a1 a2 a3 0

29、三、解答題 1.求解下列可分離變量的微分方程: ⑴ y exy 解：dx ex ey e ydy exdx e ydy exdx , ⑵dy dx x xe 3y2 解：3y2dy xexdx 2 x 3y dy xde 3 x x y xe e dx 3 x x y xe e c 2 .求解下列一階

30、線性微分方程: (1)y —2 y (x 1)3 x 1 a 一 dx - -?,dx x 1 _ 3 x 1 2ln x 1 彳 3 21nxi y e x 1 e dx c e x 1 e dx c / 2 ) , x 1 x 1 dx c -2xsin2x x 解：y 2xsin 2x e dx dx 1n x e 2xsin 2x e 1n x . dx 3 .求解下列微分方程的初值問題: ⑴ y e2xy, y(0) 0 解：dy dx 2x e y e 用x 0,y 0代入上式得: 解得c .?.特解

31、為：ey 1e2x 1 2 2 ⑵ xy y ex 0, y(1) 0 解: 1 1 x y —y —e x x 用x 1,y 0代入上式得: 0 e c 解得：c ???特解為：y 1ex c x （注意：因為符號輸入方面的原因，在題4一題7的矩陣初等行變換 中，書寫時應把（1）寫成①；（2）寫成②; (3) 寫成③；…） 4 .求解下列線性方程組的一般解: (1) X1 X1 2X1 X2 X2 2x3 x4 0 3X3 5X3 2x4 3X4 1 解：A= 1 所以一般解為 解: X1 2X3 X4 X2

32、X3 X4 2X1 X1 X1 X2 2X2 7X2 X3 X3 4X3 X4 4X4 因為秩 其中X3,X4是自由未知量。 11X4 1 4 11 4 1 11 秩A =2,所以方程組有解, 般解為 X1 X2 4 5 3 5 1 一 X3 5 3 一 X3 5 6 一X4 5 7 一X4 5 其中X3,X4是自由未知量。 5 .當為何值時，線性方程組 有解，并求一般解。 解：A 1 2 3 7 1 5 4 2 1 3 11 2 2 3 3 5 9 10 115 4 0 1 13

33、9 0 1 13 9 0 2 26 18 2 3 3 14 可見當 8時, 方程組有解, 其一般解為 “ 1 8X3 5X4 X2 3 13X3 9x4 6. a,b為何值時，方程組 有唯一解、無窮多解或無解 其中X3,X4是自由未知量 解: 1111 A 1 1 2 2 1 3 a b 1111 3 2 2 0 2 1 1 0 4 a 1 b 1 1111 0 2 1 1 0 0 a 3 b 3 根據方程組解的判定定理可知: 當a 3,且b 3時，秩A赧A ,方程組無解； 當a 3,且b 3時，秩 A =秩A =2<3方程組有無窮

34、多解; 當a 3時，秩 A =秩A =3,方程組有唯一解。 7.求解下列經濟應用問題： (1)設生產某種產品q個單位時的成本函數為：C(q) 100 0.25q2 6q (萬 元)， 求：①當q 10時的總成本、平均成本和邊際成本； ②當產量q為多少時，平均成本最??？ 解: ① Cq 100 0.25q 6 q c q 0.5q 6 當 q 10 時 總成本：c 10 100 0.25 102 6 10 185 （萬元） 平均成本：C10 100 0.25 10 6 18.5 （萬元） 10 邊際成本：c 10 0.5 10 6 11 （萬元） ②Cq 100 0

35、.25 q 令C q 0得 q2 20 （舍去） 由實際問題可知，當q=20時平均成本最小。 （2）.某廠生產某種產品q件時的總成本函數為C（q） 20 4q 0.01q2 （元）， 單位銷售價格為P 14 0.01q （元/件），問產量為多少時可使利潤達到最 大？最大利潤是多少. 解： R q pq 14q 0.01q2 令L q 0 , 解得：q 250 （件） L 250 10 250 0.02 2502 20 1230 （元） 因為只有一個駐點，由實際問題可知，這也是最大值點。所以當產量 為250件時利潤達到最大值1230元。 （3）投產某產品白^固定成本為 36（

36、萬元），且邊際成本為C（x） 2x 40（萬 元/百臺）.試求產量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產量為多少 時，可使平均成本達到最低. 6 6 6 角牛： c 彳 2x 40 dx x 40x 4 100 （萬元） ??.固定成本為36萬元 ?二 c x x2 40x 36 令cx 0 解得：x1 6,x2 6 （舍去） 因為只有一個駐點，由實際問題可知Cx有最小值，故知當產量為6百 臺時平均成本最低。 （4）已知某產品的邊際成本C（q）=2（元/件），固定成本為0,邊際收入 R（q） 12 0.02q ,求： ①產量為多少時利潤最大？ ②在最大利潤產量的基礎上再生產 50件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 解： L x R x C x 12 0.02x 2 10 0.02x 令L x 0 解得：x 500 （件） =2470-2500=-25 （元） 當產量為500件時禾I」?jié)欁畲螅谧畲罄麧櫘a量的基礎上再生產 50件, 利潤將會減少25元。