初中數(shù)學(xué) 平行線問題

上傳人:燈火****19 文檔編號:27735341 上傳時間:2021-08-20 格式:DOC 頁數(shù):11 大?。?50.51KB
收藏 版權(quán)申訴 舉報 下載
初中數(shù)學(xué) 平行線問題_第1頁
第1頁 / 共11頁
初中數(shù)學(xué) 平行線問題_第2頁
第2頁 / 共11頁
初中數(shù)學(xué) 平行線問題_第3頁
第3頁 / 共11頁

下載文檔到電腦,查找使用更方便

10 積分

下載資源

還剩頁未讀,繼續(xù)閱讀

資源描述:

《初中數(shù)學(xué) 平行線問題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué) 平行線問題(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、Xupeisen110 初三數(shù)學(xué) 初中數(shù)學(xué) 平行線問題 平行線是我們?nèi)粘I钪蟹浅3R姷膱D形.練習(xí)本每一頁中的橫線、直尺的上下兩邊、人行橫道上的“斑馬線”以及黑板框的對邊、桌面的對邊、教室墻壁的對邊等等均是互相平行的線段.   正因?yàn)槠叫芯€在生活中的廣泛應(yīng)用,因此有關(guān)它的基本知識及性質(zhì)成為中學(xué)幾何的基本知識.   正因?yàn)槠叫芯€在幾何理論中的基礎(chǔ)性,平行線成為古往今來很多數(shù)學(xué)家非常重視的研究對象.歷史上關(guān)于平行公理的三種假設(shè),產(chǎn)生了三種不同的幾何(羅巴切夫斯基幾何、黎曼幾何及歐幾里得幾何),它們在使

2、人們認(rèn)識宇宙空間中起著非常重要的作用.   現(xiàn)行中學(xué)中所學(xué)的幾何是屬于歐幾里得幾何,它是建立在這樣一個公理基礎(chǔ)之上的:“在平面中,經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行”.   在此基礎(chǔ)上,我們學(xué)習(xí)了兩條平行線的判定定理及性質(zhì)定理.下面我們舉例說明這些知識的應(yīng)用.   例1 如圖 1-18,直線a∥b,直線 AB交 a與 b于 A,B,CA平分∠1,CB平分∠ 2,求證:∠C=90   分析 由于a∥b,∠1,∠2是兩個同側(cè)內(nèi)角,因此∠1+∠2= 過C點(diǎn)作直線 l,使 l∥a(或 b)即可通過平行線的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)移.     證 過C點(diǎn)作直線l,使l∥a(圖

3、1-19).因?yàn)閍∥b,所以b∥l,所以 ∠1+∠2=180(同側(cè)內(nèi)角互補(bǔ)).   因?yàn)锳C平分∠1,BC平分∠2,所以     又∠3=∠CAE,∠4=∠CBF(內(nèi)錯角相等),所以 ∠3+∠4=∠CAE+∠CBF     說明 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立, 即“兩條直線a,b被直線AB所截(如圖1-20所示),CA,CB分別是∠BAE與∠ABF的平分線,若∠C=90,問直線a與直線b是否一定平行?”     由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結(jié)論交換位置),因此,不妨模仿原問題的解決方法來試解.   例2 如圖1-21所示,AA1∥B

4、A2求∠A1-∠B1+∠A2.     分析 本題對∠A1,∠A2,∠B1的大小并沒有給出特定的數(shù)值,因此,答案顯然與所給的三個角的大小無關(guān).也就是說,不管∠A1,∠A2,∠B1的大小如何,答案應(yīng)是確定的.我們從圖形直觀,有理由猜想答案大概是零,即 ∠A1+∠A2=∠B1. ①   猜想,常常受到直觀的啟發(fā),但猜想必須經(jīng)過嚴(yán)格的證明.①式給我們一種啟發(fā),能不能將∠B1一分為二使其每一部分分別等于∠A1與∠A2.這就引發(fā)我們過B1點(diǎn)引AA1(從而也是BA2)的平行線,它將∠B1一分為二.   證 過B1引B1E∥AA1,它將∠A1B1A2分成兩個角:∠1,∠2(如圖1-22所示).

5、   因?yàn)锳A1∥BA2,所以B1E∥BA2.從而 ∠1=∠A1,∠2=∠A2(內(nèi)錯角相等),   所以 ∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2,   即 ∠A1-∠B1+∠A2=0.   說明(1)從證題的過程可以發(fā)現(xiàn),問題的實(shí)質(zhì)在于AA1∥BA2,它與連接A1,A2兩點(diǎn)之間的折線段的數(shù)目無關(guān),如圖1-23所示.連接A1,A2之間的折線段增加到4條:A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍然有 ∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2.   (即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即 ∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.   進(jìn)一步可以推廣為 ∠A1-∠B1+

6、∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0.   這時,連結(jié)A1,An之間的折線段共有n段A1B1,B1A2,…,Bn-1An(當(dāng)然,仍要保持 AA1∥BAn).   推廣是一種發(fā)展自己思考能力的方法,有些簡單的問題,如果抓住了問題的本質(zhì),那么,在本質(zhì)不變的情況下,可以將問題推廣到復(fù)雜的情況.   (2)這個問題也可以將條件與結(jié)論對換一下,變成一個新問題.   問題1 如圖1-24所示.∠A1+∠A2=∠B1,問AA1與BA2是否平行?   問題2 如圖1-25所示.若 ∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1,問AA1與BAn是否平行?   這兩個問題

7、請同學(xué)加以思考.   例3 如圖1-26所示.AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25,     求∠C.   分析 利用平行線的性質(zhì),可以將角“轉(zhuǎn)移”到新的位置,如∠1=∠DFC或∠AFB.若能將∠1,∠2,∠C“集中”到一個頂點(diǎn)處,這是最理想不過的了,過F點(diǎn)作BC的平行線恰能實(shí)現(xiàn)這個目標(biāo).   解 過F到 FG∥CB,交 AB于G,則 ∠C=∠AFG(同位角相等), ∠2=∠BFG(內(nèi)錯角相等).   因?yàn)?AE∥BD,所以 ∠1=∠BFA(內(nèi)錯角相等),   所以 ∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG =∠1-∠2=3∠2-∠2 =2∠2=50.   說明(1)

8、運(yùn)用平行線的性質(zhì),將角集中到適當(dāng)位置,是添加輔助線(平行線)的常用技巧.   (2)在學(xué)過“三角形內(nèi)角和”知識后,可有以下較為簡便的解法:∠1=∠DFC=∠C+∠2,即 ∠C=∠1-∠2=2∠2=50.   例4 求證:三角形內(nèi)角之和等于180.   分析 平角為180.若能運(yùn)用平行線的性質(zhì),將三角形三個內(nèi)角集中到同一頂點(diǎn),并得到一個平角,問題即可解決, 下面方法是最簡單的一種.     證 如圖1-27所示,在△ABC中,過A引l∥BC,則 ∠B=∠1,∠C=∠2(內(nèi)錯角相等).   顯然 ∠1+∠BAC+∠2=平角,   所以 ∠A+∠B+∠C=180.   說明

9、事實(shí)上,我們可以運(yùn)用平行線的性質(zhì),通過添加與三角形三條邊平行的直線,將三角形的三個內(nèi)角“轉(zhuǎn)移”到任意一點(diǎn)得到平角的結(jié)論.如將平角的頂點(diǎn)設(shè)在某一邊內(nèi),或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點(diǎn)處,不過,解法將較為麻煩.同學(xué)們不妨試一試這種較為麻煩的證法.   例5 求證:四邊形內(nèi)角和等于360.   分析 應(yīng)用例3類似的方法,添加適當(dāng)?shù)钠叫芯€,將這四個角“聚合”在一起使它們之和恰為一個周角.在添加平行線中,盡可能利用原來的內(nèi)角及邊,應(yīng)能減少推理過程.    證 如圖1-28所示,四邊形ABCD中,過頂點(diǎn)B引BE∥AD,BF∥CD,并延長 AB,CB到 H,G.則有∠A=∠2(同位角相等),∠

10、D=∠1(內(nèi)錯角相等),∠1=∠3(同位角相等). ∠C=∠4(同位角相等),   又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(對頂角相等).   由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360,所以 ∠A+∠B+∠C+∠D=360.     說明(1)同例3,周角的頂點(diǎn)可以取在平面內(nèi)的任意位置,證明的本質(zhì)不變.   (2)總結(jié)例3、例4,并將結(jié)論的敘述形式變化,可將結(jié)論加以推廣: 三角形內(nèi)角和=180=(3-2)180, 四邊形內(nèi)角和=360=2180=(4-2)180.   人們不禁會猜想: 五邊形內(nèi)角和=(5-2)180=540, ………………………… n邊形內(nèi)角和=(n-2)1

11、80.   這個猜想是正確的,它們的證明在學(xué)過三角形內(nèi)角和之后,證明將非常簡單.   (3)在解題過程中,將一些表面并不相同的問題,從形式上加以適當(dāng)變形,找到它們本質(zhì)上的共同之處,將問題加以推廣或一般化,這是發(fā)展人的思維能力的一種重要方法.   例6 如圖1-29所示.直線l的同側(cè)有三點(diǎn)A,B,C,且AB∥l,BC∥l.求證: A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上.   分析A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上可以理解為∠ABC為平角,即只要證明射線BA與BC所夾的角為180即可,考慮到以直線l上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),該點(diǎn)分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角,結(jié)合所給平行條件,過B作與l相交的直線,

12、就可將l上的平角轉(zhuǎn)換到頂點(diǎn)B處.     證 過B作直線 BD,交l于D.因?yàn)锳B∥l,CB∥l,所以 ∠1=∠ABD,∠2=∠CBD(內(nèi)錯角相等).   又∠1+∠2=180,所以 ∠ABD+∠CBD=180,   即∠ABC=180=平角.   A,B,C三點(diǎn)共線.   思考 若將問題加以推廣:在l的同側(cè)有n個點(diǎn)A1,A2,…,An-1,An,且有AiAi+1∥l(i=1,2,…,n-1).是否還有同樣的結(jié)論?   例7 如圖1-30所示.∠1=∠2,∠D=90,EF⊥CD.     求證:∠3=∠B.   分析 如果∠3=∠B,則應(yīng)需EF∥BC.又知∠1=∠2,

13、則有BC∥AD.從而,應(yīng)有EF∥AD.這一點(diǎn)從條件EF⊥CD及∠D=90不難獲得.     證 因?yàn)椤?=∠2,所以 AD∥BC(內(nèi)錯角相等,兩直線平行).   因?yàn)椤螪=90及EF⊥CD,所以 AD∥EF(同位角相等,兩直線平行).   所以 BC∥EF(平行公理),   所以 ∠3=∠B(兩直線平行,同位角相等). 練習(xí)十二   1.如圖1-31所示.已知AB∥CD,∠B=100,EF平分∠BEC,EG⊥EF.求∠BEG和∠DEG.   2.如圖1-32所示.CD是∠ACB的平分線,∠ACB=40,∠B=70,DE∥BC.求∠EDC和∠BDC的度數(shù).     3.如圖1-33所示.AB∥CD,∠BAE=30,∠DCE=60,EF,EG三等分∠AEC.問:EF與EG中有沒有與AB平行的直線,為什么? 4.證明:五邊形內(nèi)角和等于540.    5.如圖1-34所示.已知CD平分∠ACB,且DE∥ACCD∥EF.求證:EF平分∠DEB.    11

展開閱讀全文
溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

相關(guān)資源

更多
正為您匹配相似的精品文檔
關(guān)于我們 - 網(wǎng)站聲明 - 網(wǎng)站地圖 - 資源地圖 - 友情鏈接 - 網(wǎng)站客服 - 聯(lián)系我們

copyright@ 2023-2025  zhuangpeitu.com 裝配圖網(wǎng)版權(quán)所有   聯(lián)系電話:18123376007

備案號:ICP2024067431-1 川公網(wǎng)安備51140202000466號


本站為文檔C2C交易模式,即用戶上傳的文檔直接被用戶下載,本站只是中間服務(wù)平臺,本站所有文檔下載所得的收益歸上傳人(含作者)所有。裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。若文檔所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請立即通知裝配圖網(wǎng),我們立即給予刪除!