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1、
2014屆皖南八校高三第二次聯(lián)考
數(shù)學(xué)(理科)參考答案
一、 選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分)
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
A
C
B
A
A
D
B
C
D
C
二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分)
11.
12.
13.
14.
15. ②③⑤
三、解答題(本大題共6小題,共75分)
16.(本題滿分12分)已知中,、、是三個內(nèi)角、、的對邊,關(guān)于的不等式的解集是空集.
(Ⅰ)求角的最大值;
(Ⅱ)若,的面積,求角取最大值
2、時的值.
解:(Ⅰ)顯然 不合題意, 則,
即, 即 解得:
故角的最大值為. -------------------- 6分
(Ⅱ)當(dāng)=時,,∴,
由余弦定理得:,
∴,∴. -------------------- 12分
17.(本題滿分12分)從正方體的各個表面上的12條面對角線中任取兩條,設(shè)為兩條面對角線所成的角(用弧度制表示),如當(dāng)兩條面對角線垂直時,.
(Ⅰ)求概率;
(Ⅱ)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望.
解:(Ⅰ)當(dāng)ξ=0時,即所選的兩條面對角線平行.則P(ξ=0)=.-------- 4分
(
3、Ⅱ)ξ=0,;
P(ξ=0)==, P(ξ= )==, P(ξ= )==;
ξ
0
P
-------------------- 10分
Eξ=. -------------------- 12分
18.(本題滿分12分)已知是正方形,直線⊥平面,且,
(Ⅰ)求二面角的大小;
(Ⅱ)設(shè)為棱的中點(diǎn),在的內(nèi)部或邊上
是否存在一點(diǎn),使,若存在,
求出點(diǎn)的位置,若不存在說明理由.
解:方法一:
(Ⅰ)因?yàn)?,?
設(shè)平面的法向量為,則,
令,得,同理得平面的法向量為,
所以其法向量的夾角為,即二面角為.----------------
4、6分
(Ⅱ)∵,設(shè),(,,),則.
由面,得.
∴存在點(diǎn)(即棱的的中點(diǎn)),使面.------------- 12分
F
M
O
I
H
G
方法二:
(Ⅰ)連結(jié)交于,則面,
作于,連結(jié),則就是
二面角的平面角.
.=,
∴二面角為.
(Ⅱ)存在的中點(diǎn),使⊥平面.
是△中位線,,而面,故⊥平面.
19.(本題滿分13分)數(shù)列:滿足,
(Ⅰ)設(shè),求證是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.
解:(Ⅰ)由得,
,即,
∴是以2為公比的等比數(shù)列; -------------------- 4分
(Ⅱ)
5、 由, 即,
∴ -------------------- 8分
(Ⅲ)
∴. -------------------- 13分
20.(本題滿分13分)
已知命題“若點(diǎn)是圓上一點(diǎn),則過點(diǎn)的圓的切線方程為”.
(Ⅰ)根據(jù)上述命題類比:“若點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),則過點(diǎn)的切線方程為 .”(寫出直線的方程,不必證明).
(Ⅱ)已知橢圓:的左焦點(diǎn)為,且經(jīng)過點(diǎn)(1,).
(ⅰ)求橢圓的方程;
(ⅱ)過的直線交橢圓于、兩點(diǎn),過點(diǎn)、分別作橢圓的兩條切線,求其交點(diǎn)的軌跡方程.
解:(Ⅰ); ------
6、-------------- 3分
(Ⅱ)(?。? -------------------- 7分
(ⅱ)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)為,直線的方程為,
設(shè)A,B,
則橢圓在點(diǎn)處的切線方程為: ①
橢圓在點(diǎn)的切線方程為: ②
聯(lián)解方程① ②得:,
即此時交點(diǎn)的軌跡方程:. -------------------- 11分
當(dāng)直線的斜率不存在時,直線的方程為,
此時,經(jīng)過兩點(diǎn)的切線交點(diǎn)為
綜上所述,切線的交點(diǎn)的軌跡方程為:. -------------------- 13分
21.(本題滿分13分)已知函數(shù)
7、,()
(Ⅰ)若在定義域上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
解:(Ⅰ),
∴,∴,
∴, -------------------- 2分
令,則有根:,
,,函數(shù)單增;
,,函數(shù)單減; -------------------- 5分
∴; -------------------- 6分
(Ⅱ)方法一:
由題,即有唯一正實(shí)數(shù)根;
令,即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn);----------- 9分
;
再令,,且易得,
故,當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)遞減;
草圖
當(dāng)時,,,函數(shù)單調(diào)
8、遞增;
即,
又當(dāng)時,,
而當(dāng)時,且,
故滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為:.
-------------------- 13分
方法二:
有唯一正實(shí)數(shù)根,
,記;
(?。┤簦?,即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增,
又,,即函數(shù)有唯一零點(diǎn);
(ⅱ)若即,則,從而,
又當(dāng)時,,而當(dāng)時,;
故函數(shù)有唯一零點(diǎn);
(ⅲ)若,則,但方程的兩根滿足:
,即兩根均小于0,
故,從而,
由(ⅱ)同理可知,仍滿足題意;
(ⅳ)若,同樣,則方程的兩根為:
,(舍);
當(dāng)時,,故在為增函數(shù),
當(dāng)時,,故在為減函數(shù),
故,當(dāng)時,取得最大值;
則,即,
所以,即;
令,則,即為定義域上增函數(shù),
又,所以方程有唯一解,
故,解得;
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為:.