山東省棗莊市嶧城區(qū)吳林街道中學(xué)八年級數(shù)學(xué)下冊 65 三角形內(nèi)角和定理的證明教案 北師大版

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1、 6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明教案 教學(xué)目標(biāo)： 1．三角形的內(nèi)角和定理的證明. 2．掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會(huì)利用輔助線證題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力. 3．通過新穎、有趣的實(shí)際問題，來激發(fā)學(xué)生的求知欲. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明. 難點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理的證明方法. 教法與學(xué)法指導(dǎo)： 通過折紙與剪紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗(yàn)，然后從學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步轉(zhuǎn)到符號化處理，最后達(dá)到推理論證的要求.通過適時(shí)的引導(dǎo)促使學(xué)生積極的開展探究活動(dòng)來激發(fā)學(xué)生的思維，通過適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥使學(xué)生實(shí)現(xiàn)對知識、能力和情感的升華. 課前準(zhǔn)備：多媒體課件． 教學(xué)過

2、程： 一、溫故知新，引入新課 （投影圖片） 師：用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)，放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，請同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其內(nèi)角會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？ （學(xué)生觀察圖片的變化情況，思考后回答.） 生1：當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時(shí),∠A越來越接近180,而其他兩角越來越接近于0. 生2：三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的. 師：很好.在三角形中，最大的內(nèi)角有沒有等于或大于180的？［生丙］三角形的最大內(nèi)角不會(huì)大于或等于180. 師：很好.看實(shí)驗(yàn)：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，∠A越來越趨近

3、于0,而AB與AC逐漸趨向平行，這時(shí)，∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即∠B+∠C→180.請同學(xué)們猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？ 生齊聲：三角形的內(nèi)角和是180. 師：180，這一猜測是否準(zhǔn)確呢？我們曾做過如下實(shí)驗(yàn)：（投影圖片） 實(shí)驗(yàn)1：先將紙片三角形一角折向其對邊，使頂點(diǎn)落在對邊上，折線與對邊平行圖（1）然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合圖（2）、（3），最后得圖（4）所示的結(jié)果. 實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它們拼湊在一起. 生齊聲：三角形的內(nèi)角和是180. 師：由實(shí)驗(yàn)可知：我們猜對了！三角形的內(nèi)角之和正好為一個(gè)平角. 師：但觀察與實(shí)

4、驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢？這節(jié)課我們一起探究一下三角形內(nèi)角和定理的證明. 【教師板書課題-------6.5三角形內(nèi)角和定理的證明.】 設(shè)計(jì)意圖：通過用橡皮筋構(gòu)成△ABC的演示，及對比過去撕紙等探索過程，體會(huì)思維實(shí)驗(yàn)和符號化的理性作用.將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號語言對于學(xué)生來說還存在一定困難，因此需要一個(gè)臺階，使學(xué)生逐步過渡到嚴(yán)格的證明． 二、交流討論，探索新知 師：很好，這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180.接下來同學(xué)們來證明：三角形的內(nèi)角和等于180這個(gè)真命題. 這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要先干什么呢？ 生：需要先畫出圖形

5、，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證. 師：對，下面大家來證明，哪位同學(xué)上黑板給大家板演呢？ 生1：已知，如圖，△ABC. 求證：∠A+∠B+∠C=180. 證明：作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥AB.則 ∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. ∠ECD=∠B（兩直線平行，同位角相等）. ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180（1平角=180）， ∴∠A+∠B+∠ACB=180（等量代換）. 即：∠A+∠B+∠C=180. 生2：老師，我的證明過程是這樣的： 證明：作BC的延長線CD，作∠ECD=∠B. 則：EC∥AB（同位角相等，兩直線平行），

6、∴∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180（1平角=180）， ∴∠ACB+∠A+∠B=180（等量代換）. 師：同學(xué)們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們僅僅添畫了一條射線CE，使處于原三角形中不同位置的三個(gè)角，巧妙地拼湊到一起來了.為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線. 我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的內(nèi)角和等于180是真命題，這時(shí)稱它為定理.即：三角形的內(nèi)角和定理. 小明也在證明三角形的內(nèi)角和定理，他是這樣想的.大家來議一議，他的想法可行嗎？（出示投影片） 在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)

7、，小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處，他過點(diǎn)A作直線PQ∥BC.（如圖）他的想法可行嗎？ 你有沒有其他的證法. 生1：小明的想法可行.因?yàn)椋? ∵PQ∥BC（已作）， ∴∠PAB=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. ∠QAC=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180（1平角=180）， ∴∠B+∠BAC+∠C=180（等量代換）. 生2：也可以這樣作輔助線.即：作CA的延長線AD，過點(diǎn)A作∠DAE=∠C（如圖）. 生3：也可以在三角形的一邊上任取一點(diǎn)，然后過這一點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線，這樣也可證出定理. 即：如圖，在BC上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D分別作

8、DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F. ∴四邊形AFDE是平行四邊形（平行四邊形的定義）. ∠BDF=∠C（兩直線平行，同位角相等）. ∠EDC=∠B（兩直線平行，同位角相等）. ∴∠EDF=∠A（平行四邊形的對角相等）. ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180（1平角=180）， ∴∠A+∠B+∠C=180（等量代換）. 師：同學(xué)們討論得真棒.接下來我們做練習(xí)以鞏固三角形內(nèi)角和定理. 設(shè)計(jì)意圖：用平行線的判定定理及性質(zhì)定理來推導(dǎo)出新的定理，讓學(xué)生再次體會(huì)幾何證明的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.添輔助線不是盲目的，而是為了證明某一結(jié)論，需要引用某個(gè)定義、公理

9、、定理，但原圖形不具備直接使用它們的條件，這時(shí)就需要添輔助線創(chuàng)造條件，以達(dá)到證明的目的. 三、學(xué)以致用，知識反饋 例1 如圖,已知:∠A=∠C.  求證:∠ADB=∠CEB. （選兩名學(xué)生板演，其他學(xué)生在下面做題，教師巡視.） 證明：∵∠A+∠B+∠ADB=180，∠C+∠B+∠CEB=180（三角形內(nèi)角和定理），  又∵∠A=∠C,∠B=∠B，  ∴∠ADB=∠CEB. 例2 如圖,在△ABC中,∠B=30,∠C=65,AE⊥BC于E,AD平分∠BAC,求∠DAE的度數(shù). （選兩名學(xué)生板演，其他學(xué)生在下面做題，教師

10、巡視.） 證明：∵∠B+∠C+∠BAC=180，  ∴∠BAC=180-∠B-∠C=180-30-66=84.  又∵AD平分∠BAC，  ∴∠DAC=∠BAC=84=42.  ∵AE⊥BC，  ∴∠EAC=90-∠C=90-66=24.  ∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=42-24=18. 隨堂練習(xí)： （選兩名學(xué)生板演1、2兩題，其他學(xué)生在下面做題，教師巡視并出示答案.） 1.直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度？請證明你的結(jié)論. 解：如圖，在△ABC中，∠C=90， ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴∠A+∠B=90

11、. 如圖，△ABC是等邊三角形，則：∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180， ∴∠A=∠B=∠C=60. 2.如圖6－46,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60,∠C=70,求證：∠ADE=50. 證明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）. ∵∠C=70（已知）， ∴∠AED=70（等量代換）. ∵∠A+∠AED+∠ADE=180（三角形的內(nèi)角和定理）， ∴∠ADE=180－∠A－∠AED（等式的性質(zhì)）. ∵∠A=60（已知）， ∴∠ADE=180－60－70=50（等量代換）. 設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生的例題和反饋練習(xí)，使教師

12、能全面了解學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理的概念是否清楚，能否靈活運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，以便教師能及時(shí)地進(jìn)行查缺補(bǔ)漏．學(xué)生對于三角形內(nèi)角和定理的掌握是非常熟練，因此，學(xué)生能較好地解決與三角形內(nèi)角和定理相關(guān)的問題． 四、課堂小結(jié)，反思提高 師：從今天的課堂中，你學(xué)到了哪些知識？掌握了哪些方法？先想一想，再談?wù)勛约旱氖斋@.（投影問題） 1．證明三角形內(nèi)角和定理有哪幾種方法？ 2．輔助線的作法技巧. 3．三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用. 生：…… 設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)我鼓勵(lì)學(xué)生暢談自己學(xué)習(xí)所得的新知識與個(gè)人切身體會(huì)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信心，對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)有很大的幫助． 五、快樂套餐，深化提

13、高 A組： 1．關(guān)于三角形內(nèi)角的敘述錯(cuò)誤的是( )  A.三角形三個(gè)內(nèi)角的和是180； B.三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于60  C.三角形中至少有一個(gè)角不小于60； D.一個(gè)三角形中最大的角所對的邊最長 2．下列敘述正確的是( )  A.鈍角三角形的內(nèi)角和大于銳角三角形的內(nèi)角和；  B.三角形兩個(gè)內(nèi)角的和一定大于第三個(gè)內(nèi)角；  C.三角形中至少有兩個(gè)銳角；  D.三角形中至少有一個(gè)銳角.  3．△ABC中,∠A+∠B=120,∠C=∠A,則△ABC是( )  A.鈍角三角形 B.等腰直角三角形

14、； C.直角三角形 D.等邊三角形 4．在△ABC中,∠A-∠B=35,∠C=55,則∠B等于( )  A.50 B.55 C.45 D.40 5．三角形中最大的內(nèi)角一定是( )  A.鈍角 B.直角； C.大于60的角  D.大于等于60的角 B組： 6．直角三角形的兩個(gè)銳角___________. 7．在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,則△ABC是________三角形. 8．在△ABC中,∠A=∠B=∠C,則∠C=_______. 9．在△ABC中,∠A+

15、∠B=120,∠A-∠B+∠C=120, 則∠A=_______,∠B=______. 10．如圖,在△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于D,則∠B=∠________,∠C=∠________. 設(shè)計(jì)意圖：通過檢測糾錯(cuò)，有針對性的對所學(xué)知識進(jìn)行鞏固、落實(shí)，對學(xué)生存在的問題及時(shí)有效的進(jìn)行反饋，讓老師及時(shí)、準(zhǔn)確的掌握學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備. 六、布置作業(yè)，課堂延伸 必做題：課本第241頁 習(xí)題6.6 第1、2題. 選做題：課本第241頁 習(xí)題6.6 第3、4題. 板書設(shè)計(jì): 6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明 三角形內(nèi)角和定理 例1

16、 例2 學(xué)生板演區(qū) 教學(xué)反思: 三角形的有關(guān)知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具和基礎(chǔ).而三角形內(nèi)角和定理又是三角形中最為基礎(chǔ)的知識，也是學(xué)生最為熟悉且能與小學(xué)、中學(xué)知識相關(guān)聯(lián)的知識，看似簡單，但如果處理不好，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生有厭煩心理，為此，本節(jié)課的設(shè)計(jì)特點(diǎn)： 1．通過圖片演示、折紙與剪紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗(yàn)，然后從學(xué)生的直接經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步轉(zhuǎn)到符號化處理，最后達(dá)到推理論證的要求。 2．充分展示學(xué)生的個(gè)性，體現(xiàn)“學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人”這一主題。 3．添加輔助線是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，如何添加輔助線則應(yīng)允許學(xué)生展開思考并爭論，展示學(xué)生的思維過程，然后在老師的引導(dǎo)下達(dá)成共識。 7