小學(xué)數(shù)學(xué)校本教材《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》

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1、 前 言 親愛的同學(xué)們： 你們好！ 我們學(xué)校正在開始小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練專題的系統(tǒng)學(xué)習(xí)， 高年級(jí)學(xué)生有了一定的計(jì)算能力和理解能力，是進(jìn)行數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的最好階段，這個(gè)階段學(xué)生接受能力很強(qiáng)，正是養(yǎng)成良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)先進(jìn)方法的階段，因此要有針對(duì)性地進(jìn)行一些較復(fù)雜的數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練，使你們能快速的形成數(shù)學(xué)思維方法。 鎮(zhèn)學(xué)校《小學(xué)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》這本書根據(jù)你們的知識(shí)結(jié)構(gòu)、年齡特征、興趣愛好選擇了讀一讀，算一算，想一想，做一做四個(gè)板塊。你們作為數(shù)學(xué)學(xué)科愛好者，做到 “法”而有“向”，“研”而有“力”，這樣才能真正提高學(xué)習(xí)的效益，才能提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng) ，彰顯數(shù)學(xué)文化的美麗和

2、其獨(dú)具的魅力。 同時(shí)編寫《數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》的過程中我們注意了幾點(diǎn)： 1、激發(fā)你們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，遵循你們身心發(fā)展的特征，以及教育教學(xué)規(guī)律，要根據(jù)不你們的實(shí)際情況，努力讓你們體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義和快樂，而不僅僅是解答難題。 2、訓(xùn)練你們良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和思維品質(zhì)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是要發(fā)展學(xué)生的思維水平，在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生會(huì)觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括等能力。通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，讓你們會(huì)用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理，會(huì)合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)。 3、鍛煉你們優(yōu)良的意志品質(zhì)。數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練有一定深度和難度，你們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中可能會(huì)遇到一些困難，要經(jīng)常鼓勵(lì)和幫助

3、你們擁有一個(gè)良好的心態(tài)，要培養(yǎng)自己持之以恒的耐心和克服困難的信心，以及戰(zhàn)勝難題的勇氣，培養(yǎng)你們堅(jiān)韌不拔的毅力。 4、培養(yǎng)你們?cè)鷮?shí)的數(shù)學(xué)基本功，給予你們發(fā)揮創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力的最大空間。數(shù)學(xué)教學(xué)提倡結(jié)合你們?nèi)粘Ｕn內(nèi)教學(xué)的實(shí)際，不提倡超前進(jìn)度，要注重理解，舉一反三和靈活運(yùn)用。 5、使你們獲得心理上的優(yōu)勢(shì)，培養(yǎng)自信，數(shù)學(xué)是理科的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)對(duì)于你們進(jìn)入初中后的學(xué)習(xí)物理化學(xué)都非常有好處。 鎮(zhèn)小學(xué)《小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》對(duì)學(xué)生有著長(zhǎng)遠(yuǎn)的實(shí)用價(jià)值，能夠從根本上培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)能力，一方面緊扣數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，適應(yīng)學(xué)生升學(xué)的需要，針對(duì)提高性的數(shù)學(xué)課外活動(dòng)的需要，著重從解題方法、

4、解題技巧等方面訓(xùn)練學(xué)生的應(yīng)試能力；另一方面，注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握優(yōu)秀的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生受益終生。 鎮(zhèn)小學(xué)《小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練》數(shù)學(xué)思維的無窮魅力在于：總結(jié)出規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)、化難為易，再用規(guī)律去解決問題。 相信通過對(duì)這本書的認(rèn)真學(xué)習(xí)，你會(huì)收獲很多的快樂。 第1講 杰出數(shù)學(xué)家 華羅庚 在中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)洪荒之地，有一位抱定“戰(zhàn)士死在沙場(chǎng)幸甚”的開拓者，他就是華羅庚。華羅庚是中國(guó)解析數(shù)論、典型論、矩陣幾何學(xué)、自守函數(shù)論與多個(gè)復(fù)變函數(shù)論等很多方面研究的創(chuàng)始人與奠基者，也是我國(guó)進(jìn)入世界著名數(shù)學(xué)行列最杰出的代

5、表者。他的研究成果被國(guó)際數(shù)學(xué)界命名為“華氏定理”、“布勞威爾—加當(dāng)—華定理”、“華—王方法”、“華氏算子”、“華氏不等式”等。他一生為我們留下了兩百多篇學(xué)術(shù)論文，10部專著，其中8部被國(guó)外翻譯出版，有些已列入本世紀(jì)經(jīng)典著作之列。他把數(shù)學(xué)方法創(chuàng)造性地應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，篩選出了以改進(jìn)工藝問題的數(shù)學(xué)方法為內(nèi)容的“優(yōu)選法”和處理生產(chǎn)和組織與管理問題為內(nèi)容的“統(tǒng)籌法”。他是美國(guó)科學(xué)院歷史上第一個(gè)當(dāng)選為外籍院士的中國(guó)學(xué)者。他還當(dāng)選為聯(lián)邦德國(guó)巴伐利亞科學(xué)院院士；法國(guó)南錫大學(xué)、美國(guó)伊利諾斯大學(xué)與香港中文大學(xué)授予他榮譽(yù)博士學(xué)位。他的名字進(jìn)入美國(guó)華盛頓斯密司—宋尼博物館，被列為芝加哥科學(xué)技術(shù)博物館中當(dāng)今88個(gè)數(shù)

6、學(xué)偉人之一。 第2講 1、韓信點(diǎn)兵 韓信是我國(guó)漢代著名的大將，曾經(jīng)統(tǒng)率過千軍萬馬，他對(duì)手下士兵的數(shù)目了如指掌。他統(tǒng)計(jì)士兵數(shù)目有個(gè)獨(dú)特的方法，后人稱為“韓信點(diǎn)兵”。他的 方法是這樣的，部隊(duì)集合齊后，他讓士兵1、2、3－－1、2、3、4、5－－1、2、3、4、5、6、7地報(bào)三次數(shù)，然后把每次的余數(shù)再報(bào)告給他，他便知道部隊(duì)的實(shí)際人數(shù)和缺席人數(shù)。他的這種計(jì)算方法歷史上還稱為“鬼谷算”，“隔墻算”，“剪管術(shù)”， 外國(guó)人則叫“中國(guó)剩余定理”。有人用一首詩(shī)概括了這個(gè)問題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知。這意思就是，第一次余數(shù)乘以70，第二次余數(shù)乘以21

7、，第三次余數(shù)乘以15，把這三次運(yùn)算的結(jié)果加起來，再除以105，所得的除不盡的余數(shù)便是所求之?dāng)?shù)（即總數(shù)）。例如，如果3個(gè)3個(gè)地報(bào)數(shù)余1；5個(gè)5個(gè)地報(bào)數(shù)余2，7個(gè)7個(gè)地報(bào)數(shù)余3，則總數(shù)為52。算式如下： 170＋221＋315＝157 157105＝1……52 下邊給同學(xué)們出一道題，請(qǐng)用“韓信點(diǎn)兵法”算一算。 小紅暑假期間幫著張二嬸放鴨子，她總也數(shù)不清一共有多少只鴨子。她先是3只3只地?cái)?shù)，結(jié)果剩3只；她又5只5只地?cái)?shù)，結(jié)果剩4只；她又7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)了一遍，結(jié)果剩6只。她算來算去還是算不清一共有多少只鴨子。？ 2、愛因斯坦的數(shù)學(xué)游戲 大科學(xué)家愛因斯坦小時(shí)候就特別聰明，有一次同學(xué)們?cè)?/p>

8、一起玩，他說：“我們做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲怎么樣？”同學(xué)們說：“怎么做法呢？愛因斯坦說：“你們隨便想一個(gè)數(shù)，然后做一些運(yùn)算，我就能知道你們一開始想的那個(gè)數(shù)是多少？”湯姆說：“我不信，但是我可以試一試?！睈垡蛩固拐f：“那么好吧，現(xiàn)在開始。你心里隨便想一個(gè)數(shù)吧?！薄拔蚁牒昧恕！睖氛f?！霸谶@個(gè)數(shù)上加上18?！薄霸偌由?36。”“減去27?！薄皽p去你所想的數(shù)?！睖钒凑諓垡蛩固沟囊笞隽诉\(yùn)算。他還沒有說出答案，愛因斯坦就說：“最后得數(shù)是254?！睖敷@呆了，愛因斯坦說的一點(diǎn)也不錯(cuò)，可是他是怎么算出來的呢？ 第3講 速算與巧算（一） 專題簡(jiǎn)析：速算與巧算是計(jì)算中的一個(gè)重要組成部分，掌握一些速算

9、與巧算的方法，有助于提高我們的計(jì)算能力和思維能力。這一周我們學(xué)習(xí)加、減法的巧算方法，這些方法主要根據(jù)加、減法的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，通過對(duì)算式適當(dāng)變形從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。 在巧算方法里，蘊(yùn)含著一種重要的解決問題的策略。轉(zhuǎn)化問題法即把所給的算式，根據(jù)運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，或改變它的運(yùn)算順序，或減整從而變成一個(gè)易于算出結(jié)果的算式。 例1：計(jì)算9+99+999+9999 分析與解答： 這四個(gè)加數(shù)分別接近10、100、1000、10000。在計(jì)算這類題目時(shí)，常使用減整法，例如將99轉(zhuǎn)化為100－1。這是小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算中常用的一種技巧。 9+99+999+9999 =（10－1）+（100－1）+（1

10、000－1）+（10000－1） =10+100+1000+10000－4 =11106 人生應(yīng)該像線段，有始有終；不應(yīng)象射線，有始無終。 名人名言言 練 習(xí) 一 1，計(jì)算99999+9999+999+99+9 2，計(jì)算9+98+996+9997 3，計(jì)算1999+2998+396+497 4，計(jì)算198+297+396+495 5，計(jì)算1998+2997+4995+5994 6，計(jì)算19998+39996+49995+69996 例2：計(jì)算489+487+483+485+484+486+488 分析與解答：認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)4

11、90接近，所以選490為基準(zhǔn)數(shù)。 489+487+483+485+484+486+488 =4907－1－3－7－5－6－4－2 =3430－28 =3402 想一想：如果選480為基準(zhǔn)數(shù)，可以怎樣計(jì)算？ 練 習(xí) 二 1，50+52+53+54+51 2，262+266+270+268+264 3，89+94+92+95+93+94+88+96+87 4，381+378+382+383+379 5，1032+1028+1033+1029+1031+1030 6，2451+2452+2446+2453 例3：計(jì)算下面各題。 （1）632－156－232 （2

12、）128+186+72－86 名人名言言 歷史使人聰明，詩(shī)歌使人機(jī)智，數(shù)學(xué)使人精細(xì)?！喔? 分析與解答： 在一個(gè)沒有括號(hào)的算式中，如果只有第一級(jí)運(yùn)算，計(jì)算時(shí)可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換加數(shù)或減數(shù)的位置。 （1）632－156－232 =632－232－156 =400－156 =244 （2）128+186+72－86 =128+72+186－86 =（128+72）+（186－86） =200+1

13、00 名人名言 最聰明的人是最不愿浪費(fèi)時(shí)間的人。 —但丁 =300 練 習(xí) 三 計(jì)算下面各題 1，1208－569－208 2，283+69－183 3，132－85+68 4，2318+625－1318+375 例4：計(jì)算下面各題。 1. 248+（152－127） 2. 324－（124－97） 3. 283+（358－183） 減法 數(shù)學(xué)課上，數(shù)學(xué)教師對(duì)一位學(xué)生說：“你怎么連減法都不會(huì)？例如，你家里有十個(gè)蘋果，被你吃了四個(gè)，結(jié)果是多少呢？” 這個(gè)學(xué)生

14、沮喪地說道：“結(jié)果是挨了十下屁股！ 分析與解答： 在計(jì)算有括號(hào)的加減混合運(yùn)算時(shí)，有時(shí)為了使計(jì)算簡(jiǎn)便可以去括號(hào)，如果括號(hào)前面是“+”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，去括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的加號(hào)就要變成減號(hào)，減號(hào)就要變成加號(hào)。 我們可以把上面的計(jì)算方法概括為： 括號(hào)前面是加號(hào)，去掉括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào)，去掉括號(hào)要變號(hào)。 1．248+（152－127） 324－（124－97） =248+152－127 =324－124+97 =400－127 =200+97

15、把語(yǔ)言化為行動(dòng)，比把行動(dòng)化為語(yǔ)言困難得多?！郀柣? 名人名言 =273 =297 283+（358－183） =283+358－183 =283－183+358 =100+358 =458 練 習(xí) 四 計(jì)算下面各題 1，348+（252－166） 2，629+（320－129） 3. 462－(262－129) 4. 662－(315－238) 5，5623－(623－289)+452－(352－211) 名人名言

16、6，736+678+2386－(336+278)－186 合理安排時(shí)間，就等于節(jié)約時(shí)間。 ——培根 例5：計(jì)算下面各題。 （1）286+879－679 （2）812－593+193 分析與解答： 在計(jì)算沒有括號(hào)的加減法混合運(yùn)算式題時(shí)，有時(shí)可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，采用添括號(hào)的方法使計(jì)算簡(jiǎn)便，與前面去括號(hào)的方法類似，我們可以把這種方法概括為：括號(hào)前面是加號(hào)，添上括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前面是減號(hào)，添上括號(hào)要變號(hào)。 （1）286+879－679 （2）812－593+193 =286+（879－679） =812－（593－193） =2

17、86+200 =812－400 名人名言 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的惟一方法是做數(shù)學(xué)——哈爾莫斯 =868 =412 練 習(xí) 五 計(jì)算下面各題。 1，368+1859－859 2，582+393－293 3，632－385+285 4，2756－2748+1748+244 5，612－375+275+（388+286） 6，756+1478+346－（256+278）－246 第4講 巧妙求和 知識(shí)要點(diǎn)與基本方法：若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)

18、數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。 從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。 在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。 通項(xiàng)公式： 第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)－1）公差 項(xiàng)數(shù)公式： 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）公差＋1 趣味數(shù)學(xué): 1、一個(gè)農(nóng)夫帶著三只兔到集市上去賣，每只兔大概三四千克，但農(nóng)夫的秤只能稱五斤以上，問他該如何稱量。 答：先稱3只，再拿下一只，稱量后算差。 例題精講 例1：有一個(gè)數(shù)列：4，10，16，22，…，52，這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？ 分析與解答：容易看出這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為6，首項(xiàng)是4，末項(xiàng)是

19、52，要求項(xiàng)數(shù)，可直接帶入項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。 項(xiàng)數(shù)=（52－4）6＋1=9，即這個(gè)數(shù)列共有9項(xiàng)。 練 習(xí) 一 1，等差數(shù)列中，首項(xiàng)=1，末項(xiàng)=39，公差=2，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？ 2，有一個(gè)等差數(shù)列：2，5，8，11，…，101，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？ 3，已知等差數(shù)列11，16，21，26，…，1001，這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？ 例2：有一等差數(shù)列：3，7，11，15，……，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？ 分析與解答：這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是3，公差是4，項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)－1）”進(jìn)行計(jì)算。第100項(xiàng)=3+4（100－1）=399

20、 練 習(xí) 二 1，一等差數(shù)列，首項(xiàng)=3，公差=2，項(xiàng)數(shù)=10，它的末項(xiàng)是多少？ 2，求1，4，7，10……這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)。 3，求等差數(shù)列2，6，10，14……的第100項(xiàng)。 例3：有這樣一個(gè)數(shù)列：1，2，3，4，…，99，100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。 分析與解答：如果我們把1，2，3，4，…，99，100與列100，99，…，3，2，1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)的和都是101，一共有100個(gè)101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2，就是所求數(shù)列的和。 1+2+3

21、+…+99+100=（1+100）1002=5050 上面的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2 這個(gè)公式也叫做等差數(shù)列求和公式。名人名言 練 習(xí) 三 計(jì)算下面各題。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 例4：求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和。 分析與解答：這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計(jì)算。 要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少： 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）公差+1 =（50－2

22、）2+1=25 首項(xiàng)=2，末項(xiàng)=50，項(xiàng)數(shù)=25 等差數(shù)列的和=（2+50）252=650 練 習(xí) 四 計(jì)算下面各題。 （1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270 例5：計(jì)算 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） 分析與解答： 容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。 進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列其實(shí)是把1 ~ 100這100個(gè)數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)等差數(shù)列，每個(gè)數(shù)列都有50個(gè)項(xiàng)。因此，我們也可以

23、把這兩個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)相減，可得到50個(gè)差，再求出所有差的和。 （2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99） =（2－1）+（4－3）+…+（100－99） =1+1+1+…+1 =50 練 習(xí) 五 用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。 （1）（2001+1999+1997）－（2000+1998+1996） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） 名人名言 （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998） 一道好題的價(jià)值之一在于它能產(chǎn)生其他 一些好題。 ——波利亞

24、 第5講 數(shù)數(shù)圖形 知識(shí)要點(diǎn)與基本方法： 我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了線段、角、三角形、長(zhǎng)方形等基本圖形，當(dāng)這些圖形重重疊疊地交錯(cuò)在一起時(shí)就構(gòu)成了復(fù)雜的幾何圖形。要想準(zhǔn)確地計(jì)數(shù)這類圖形中所包含的某一種基本圖形的個(gè)數(shù)，就需要仔細(xì)地觀察，靈活地運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)和思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，才能獲得正確的結(jié)果。 要準(zhǔn)確、迅速地計(jì)數(shù)圖形必須注意以下幾點(diǎn)： 1，弄清被數(shù)圖形的特征和變化規(guī)律。 2，要按一定的順序數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。 例1：數(shù)出下面圖中有多少條線段。 分析與解答：要正確解答這類問題，需要我們按照一定的順序來數(shù)，做到不重復(fù)，不遺漏。 從圖中可以看出，從A點(diǎn)出發(fā)

25、的不同線段有3條：AB、AC、AD；從B點(diǎn)出發(fā)的不同線段有2條：BC、BD；從C點(diǎn)出發(fā)的不同線段有1條：CD。因此，圖中共有3+2+1=6條線段。 練習(xí)一： 數(shù)出下列圖中有多少條線段。 （1） （2） （3） 例2：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)銳角。 分析與解答： 數(shù)角的方法和數(shù)線段的方法類似，圖中的五條射線相當(dāng)于線段上的五個(gè)點(diǎn)，因此，要求圖中有多少個(gè)銳角，可根據(jù)公式1+2+3……（總射線數(shù)－1）求得：1+2+3+4=10（個(gè)） 練習(xí)二：下列各圖中各有多少個(gè)銳角？ 例3：數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)三角形。 分析與解答

26、： 圖中AD邊上的每一條線段與頂點(diǎn)O構(gòu)成一個(gè)三角形，也就是說，AD邊上有幾條線段，就構(gòu)成了幾個(gè)三角形，因?yàn)锳D上有4個(gè)點(diǎn)，共有1+2+3=6條線段，所以圖中有6個(gè)三角形。 練習(xí)三： 數(shù)一數(shù)下面圖中各有多少個(gè)三角形。 例4：數(shù)一數(shù)下圖中共有多少個(gè)三角形。 分析與解答： 與前一個(gè)例子相比，圖中多了一條線段EF，因此三角形的個(gè)數(shù)應(yīng)是AD和EF上面的線段與點(diǎn)O所圍成的三角形個(gè)數(shù)的和。顯然，以AD上的線段為底邊的三角形也是1+2+3=6個(gè)，所以圖中共有62=12個(gè)三角形。 練習(xí)四 數(shù)一數(shù)下面各圖中各有多少個(gè)三角形。

27、 例5：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方形。 分析與解答： 數(shù)長(zhǎng)方形與數(shù)線段的方法類似?？梢赃@樣思考，圖中的長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)取決于AB或CD邊上的線段，AB邊上的線段條數(shù)是1+2+3=6條，所以圖中有6個(gè)長(zhǎng)方形。 練習(xí)五 數(shù)一數(shù)下面各圖中分別有多少個(gè)長(zhǎng)方形。 ( ) ( ) ( ) 邏輯學(xué)的用處： 有個(gè)學(xué)生請(qǐng)教數(shù)學(xué)家邏輯學(xué)有什么用。 數(shù)學(xué)家問他：“兩個(gè)人從煙囪 里爬出去，一個(gè)滿臉煙灰，一個(gè)干干凈凈，你認(rèn)為哪一個(gè)該去洗澡？” “當(dāng)然 是臟的那個(gè)?！睂W(xué)生說。

28、 “不對(duì)。臟的那個(gè)看見對(duì)方干干凈凈，以為自己也不會(huì)臟， 哪里會(huì)去洗澡？” 第6講 找 規(guī) 律（一） 專題簡(jiǎn)介： 觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律： 1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)； 2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)； 3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律； 4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。 趣味數(shù)學(xué): 某人先向正北走32km，再向正南走36k

29、m，問以下哪些可能是正確的 ①他離出發(fā)點(diǎn)4km②他離出發(fā)點(diǎn)大于48km③他離出發(fā)點(diǎn)68km④他離出發(fā)點(diǎn)小于4km⑤他離出發(fā)點(diǎn)大于4km小于68km 答：1，3，5 例1：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 1，4，7，10，（ ），16，19 分析：在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為： 10+3=13或16－3=13 像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。 練習(xí)一： 先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （1）2，6，10，14，（ ），22，

30、26 （2）3，6，9，12，（ ），18，21 （3）33，28，23，（ ），13，（ ），3 （4）55，49，43，（ ），31，（ ），19 （5）3，6，12，（ ），48，（ ），192 （6）2，6，18，（ ），162，（ ） （7）128，64，32，（ ），8，（ ），2 （8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3 例2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 1，2，4，7，（ ），16，22 分析：在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩

31、個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號(hào)里的數(shù)少4，括號(hào)里應(yīng)填：7+4=11。 經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。 應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11 練習(xí)二： 先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （1）10，11，13，16，20，（ ），31 （2）1，4，9，16，25，（ ），49，64 （3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2 （4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8 （5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0 （6）28，1，26，1，2

32、4，1，（ ），（ ），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14 例3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12 分析： 在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)……依此規(guī)律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10 練習(xí)三 先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （1）

33、1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ） （2）13，2，15，4，17，6，（ ），（ ） （3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ） （5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ） （8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ） 例4：在數(shù)列1，

34、1，2，3，5，8，13，（ ），34，55……中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？ 分析：經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為： 8+13=21或34－13=21 上面這個(gè)數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學(xué)家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。 練習(xí)四 先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ） （3）0，1，3，8，21，（ ），144 （4）3，7，15，31，63，（ ），（ ） （5

35、）33，17，9，5，3，（ ） （6）0，1，4，15，56，（ ） （7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78 （8）0，1，2，4，7，12，20，（ ） 例5：下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （8，4） （5，7） （10，2） （□，9） 分析： 經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，□里所填的數(shù)應(yīng)為：12－9=3 練習(xí)五： 下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 （1）（6，9） （7，8） （10，5） （□，） （2）

36、（1，24） （2，12） （3，8） （4，□） （3）（18，17） （14，10） （10，1） （□，5） （4）（2，3） （5，9） （7，13） （9，□） （5）（2，3） （5，7） （7，10） （10，□） （6）（64，62） （48，46） （29，27） （15，□） （7）（100，50） （86，43） （64，32） （□，21） （8）（8，6） （16，3） （24，2） （12，□） 第7講 和倍問題 專題簡(jiǎn)析： 已知兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問題。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：

37、 和（倍數(shù)＋1）=小數(shù) 小數(shù)倍數(shù)=大數(shù) （和－小數(shù)=大數(shù)） 例1：學(xué)校有科技書和故事書共480本，科技書的本數(shù)是故事書的3倍。兩種書各有多少本？ 趣味數(shù)學(xué): 紅旗小學(xué)四(1)班42名學(xué)生去文化宮看文藝演出，每張票5元錢，文化宮規(guī)定，每買4張票就送l張。請(qǐng)你算一算，四(1）學(xué)生買票一共需要（ ）元錢。 答：170元 分析與解答： 為了便于理解題意，我們畫圖來分析： 由圖可知，如果把故事書的本數(shù)看作一份，那么科技書的本數(shù)就是這樣的3份，兩種書的總本數(shù)就是這樣的1＋3=4份。把480本書平均分成4份，1份是故事書的本數(shù)，3份是科技書的本

38、數(shù)。 480（1＋3）=120（本） 1203=360（本） 練 習(xí) 一 1，用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？ 2，甲、乙兩數(shù)的和是112，甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？ 3，一塊長(zhǎng)方形黑板的周長(zhǎng)是96分米，長(zhǎng)是寬的3倍。這塊長(zhǎng)方形黑板的長(zhǎng)和寬各是多少分米？ 例2：果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數(shù)是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數(shù)是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？ 分析與解答：如果把蘋果樹的棵數(shù)看作1份，三種樹的總棵數(shù)是這樣的1+3+4=8份。所以，蘋果樹有12008=150（棵），梨

39、樹有1503=450（棵），桃樹有1504=600（棵） 練 習(xí) 二 1，李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？ 2，甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。 3，商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的3倍，鉛筆的支數(shù)與圓珠筆的支數(shù)同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？ 查票 數(shù)學(xué)教授搭乘火車旅行，列車長(zhǎng)前來查票時(shí)，他竟找不到票。數(shù)學(xué)教授急得滿頭大汗，列車長(zhǎng)說：找不到就算了，再補(bǔ)張票好了。數(shù)學(xué)教授：這怎么可以，找不到那張票，我就不知道我要去哪里??！ 例3

40、：有三個(gè)書櫥共放了330本書，第二個(gè)書櫥里的書是第一個(gè)的2倍，第三個(gè)書櫥里的書是第二個(gè)的4倍。每個(gè)書櫥里各放了多少本書？ 分析與解答： 把第一個(gè)書櫥里的本數(shù)看作1份，那么第二個(gè)書櫥里的本數(shù)是這樣的2份，第三個(gè)就是這樣的24=8份，三個(gè)書櫥里的總本數(shù)就是這樣的1+2+8=11份。所以，第一個(gè)書櫥里放了 33011=30（本），第二個(gè)書櫥里放了302=60（本），第三個(gè)書櫥里放了604=240（本）。 練 習(xí) 三 1．甲、乙、丙三個(gè)數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。 2．三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊

41、的2倍。三塊鋼板各重多少千克？ 3．甲、乙、丙三個(gè)修路隊(duì)共修路1200米，甲隊(duì)修的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)修的數(shù)數(shù)是丙隊(duì)的3倍。三個(gè)隊(duì)各修了多少米？ 例4：少先隊(duì)員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數(shù)比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？ 分析與解答：如果楊樹少種20棵，那么柳樹和楊樹的總棵數(shù)是216－20=196（棵），這里楊樹的棵數(shù)恰好是柳樹的3倍。所以，柳樹的棵數(shù)是196（1＋3）=49（棵），楊樹的棵數(shù)是216－49=167（棵）。 練 習(xí) 四 1，糧站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍還多300千克，大米和面粉各有多少千克？ 2，小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)

42、競(jìng)賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？ 趣味數(shù)學(xué): 小華參加摩托車比賽，參加的選手與比賽場(chǎng)次一樣多，任何兩個(gè)選手只在一次比賽中相遇，每次比賽出場(chǎng)四人，問共有多少人參加。 答：13 3，學(xué)校購(gòu)買了720本圖書分給高、中、低三個(gè)年級(jí)，高年級(jí)分得的比低年級(jí)的3倍多8本，中年級(jí)分得的比低年級(jí)的2倍多4本。高、中、低年級(jí)各分得圖書多少本？ 例5：三個(gè)筑路隊(duì)共筑路1360米，甲隊(duì)筑的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)多240米。三個(gè)隊(duì)各筑多少米？ 分析與解答： 把乙隊(duì)的米數(shù)看作1份，甲隊(duì)筑的米數(shù)是這樣的2份。假設(shè)丙隊(duì)多筑240米，那么三個(gè)隊(duì)共筑了1360＋2

43、40=1600米，正好是乙隊(duì)的2＋1＋1=4倍。所以，乙隊(duì)筑了16004=400米，甲隊(duì)筑了4002=800米，丙隊(duì)筑了400－240=160米。 練 習(xí) 五 1，三個(gè)植樹隊(duì)共植樹1900棵，甲隊(duì)植樹的棵數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)少植300棵。三個(gè)隊(duì)各植樹多少棵？ 2，三個(gè)數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個(gè)數(shù)各是多少？ 我解決過的每一個(gè)問題都成為日后用以解 決其他問題的法則?！芽? 3，城東小學(xué)共有籃球、足球和排球共95個(gè)，其中足球比排球少5個(gè)，排球的個(gè)數(shù)是籃球個(gè)數(shù)的2倍?；@球、足球、排球各有多少個(gè)？ 名人名言 第8講 最優(yōu)化

44、問題 知識(shí)要點(diǎn)與基本方法：在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會(huì)遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（小）值，這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問題。以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題”。例1：用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？ 分析與解答：先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那

45、個(gè)取出，把第三個(gè)翻過去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會(huì)全部煎好。所以，煎3個(gè)餅至少需要3分鐘。 自然這一巨著是用數(shù)學(xué)符號(hào)寫成的。——伽里略 名人名言 練 習(xí) 一 1，烤面包時(shí)，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？ 2，用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘？ 3，小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時(shí)能放4個(gè)大餅，烙一個(gè)要用4分鐘（每面各需要2分鐘）?？尚∪A烙6個(gè)大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？ 例2：媽媽

46、讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？ 難題 　我的一位數(shù)學(xué)老師，有一次，我的一個(gè)同學(xué)問他一道數(shù)學(xué)題，他一看，挺簡(jiǎn)單，于是大怒，說道："你這個(gè)笨蛋，這道題不就這么這么這么作....." 又換了一次，該同學(xué)找了一道據(jù)難的問題問他，他一看，然后似乎進(jìn)入了思考狀態(tài)，然后開始踱步思考，然后開始向教室外踱去，然后就消失了。 分析： 經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以

47、同時(shí)進(jìn)行。 根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。 練 習(xí) 二 1，小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進(jìn)熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？ 2，小強(qiáng)給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了？ 3，在早晨起床后的1小時(shí)內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收

48、聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？ 例3：五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？ 分析： 校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長(zhǎng)的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘。 練 習(xí) 三 1．甲、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1

49、個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少？ 名人名言 2．甲、乙、丙三人到商場(chǎng)批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？ 純粹數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，是邏輯 思想的詩(shī)篇。 ——愛因斯坦 3．甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？ 例4：用18厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求

50、長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？ 分析與解答：根據(jù)題意，圍成的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是182=9厘米。顯然，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差越小，圍成的長(zhǎng)方形的面積越大。又已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大：54=20平方厘米。 練 習(xí) 四 1，用長(zhǎng)26厘米的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？ 2，一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20分米，它的面積最大是多少？ 3，一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是36平方厘米，并且長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？ 例5：用3 ~ 6這四個(gè)

51、數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。 分析與解答：解決這個(gè)問題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位，4和3放在個(gè)位。根據(jù)“兩個(gè)因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。6354=3402 練 習(xí) 五 1，用1 ~ 4這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。 2，用5 ~ 8這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。 3，用3 ~ 8這六個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)三位數(shù)，使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大。 家的感覺 數(shù)學(xué)家認(rèn)為數(shù)學(xué)的組成是：50%公式，50%

52、證明，50%想象力。 拓?fù)鋵W(xué)家不能區(qū)分咖啡杯與面包圈。 統(tǒng)計(jì)學(xué)家的頭在烤爐腳在寒冰時(shí)，會(huì)說：“平均感覺是良好的?！? 第九講 牛頓（1642～1727） 牛頓英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。曾任英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。 牛頓是舉世公認(rèn)的、有史以來最偉大的科學(xué)家之一。他的幼年充滿了辛酸，在他出生前3個(gè)月父親便去世了，之后母親改嫁，他是由外祖母撫養(yǎng)成人的。23畢業(yè)于著名的劍橋大學(xué)后留校工作。后因逃避倫敦流行的鼠疫來到母親的農(nóng)場(chǎng)里。在這里，他被一個(gè)常人熟視無睹的現(xiàn)象吸引住了。有一次，他看到一個(gè)熟透了的蘋果落在地上，便開始思索為什么蘋果會(huì)垂直落在地上，而不是飛到天上去呢？一定是有一

53、種力在拉它，那么這種將蘋果往下拉的力會(huì)不會(huì)控制月球？他就是通過這個(gè)看起來十分簡(jiǎn)單的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了著名的萬有引力定律。這個(gè)定律的巨大作用，很快就顯示了出來。它解釋了當(dāng)時(shí)所知道的天體的一切運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，牛頓又完成了一項(xiàng)重要的光學(xué)實(shí)驗(yàn)，從而證明了白光是由以赤、橙、黃、綠、青、藍(lán)、紫的順序排列的合成光。1687年，牛頓出版了有史以來最偉大的科學(xué)著作《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》。在這里，他鉆研了伽利略的理論，并歸納出著名的運(yùn)動(dòng)三大定律。除此之外，他發(fā)現(xiàn)的二項(xiàng)式定理，在數(shù)學(xué)界也有一席之地。1704年，出版《光學(xué)》一書，總結(jié)了他對(duì)光學(xué)研究的成果。 牛頓61歲那年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，此后年年連任直至逝世。作為舉

54、世公認(rèn)的、最卓越的科學(xué)巨匠，他仍謙遜地說：“如果說我比別人看得遠(yuǎn)些，那是因?yàn)槲艺驹诹司奕说募缟?。?727年3月20日，84歲的牛頓逝世了。作為有功于國(guó)家的偉人，他被葬在了英國(guó)國(guó)家公墓，受到世人的瞻仰。 第十講1、巧測(cè)金字塔高度 金字塔是埃及的著名建筑，尤其胡夫金字塔最為著名，整個(gè)金字塔共用了230萬塊石頭，10萬奴隸花了30年的時(shí)間才建成這個(gè)建筑。金字塔建成后，國(guó)王又提出一個(gè)問題，金字塔倒底有多高，對(duì)這個(gè)問題誰也回答不上來。國(guó)王大怒，把回答不上來的學(xué)者們都扔進(jìn)了尼羅河。當(dāng)國(guó)王又要?dú)⒑σ粋€(gè)學(xué)者崐的時(shí)候，著名學(xué)者塔利斯出現(xiàn)了，他喝令劊子手們住手。國(guó)王說：“難道你能知道金字塔的高度

55、嗎？”塔利斯說：“是的，陛下?！眹?guó)王說：“那么它高多少？ ”塔利斯沉著地回答說：“147米?！眹?guó)王問：“你不要信口胡說，你是怎么測(cè)出來的？”塔利斯說：“我可以明天表演給你看?！钡诙?，天氣晴朗，塔利斯只帶了一根棍子來到金字塔下，國(guó)王冷笑著說：“你就想用這根破棍子騙我嗎？你今天要是測(cè)不出來，那么你也將要被扔進(jìn)尼羅河！”塔利斯不慌不忙地回答：“如果我測(cè)不出來，陛下再把我扔進(jìn)尼羅河也為時(shí)不晚。 ”接著，塔利斯便開始測(cè)量起來，最后，國(guó)王也不得不服他的測(cè)量是有道理的。 小朋友，你知道塔利斯是如何進(jìn)行測(cè)量的嗎？ 2、數(shù)學(xué)趣味小故事 高斯念小學(xué)的時(shí)候，有一次在老師教完加法后，因?yàn)槔?/p>

56、師想要休息，所以便出了一道題目要同學(xué)們算算看，： 1+2+3+ ..... +97+98+99+100 =？ 老師心里正想，這下子小朋友一定要算到下課了吧！正要借口出去時(shí)，卻被 高斯叫住了??！ 原來呀，高斯已經(jīng)算出來了，小朋友你可知道他是如何算的嗎？高斯告訴大家他是如何算出的：把 1加 至 100 與 100 加至 1 排成兩排相加，也就是說： 1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100 100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1 =101+101+101+ ..... +101+101+101+101 共有一百個(gè)101相加，但算式重復(fù)了兩次

57、，所以把10100 除以 2 便得到答案等于 <5050>從此以后高斯小學(xué)的學(xué)習(xí)過程早已經(jīng)超越了其它的同學(xué)，也因此奠定了他以后的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，更讓他成為——數(shù)學(xué)天才！ 第11周 速算與巧算（二） 專題簡(jiǎn)析： 乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)以及積、商的變化規(guī)律，通過對(duì)算式適當(dāng)變形，將其中的數(shù)轉(zhuǎn)化成整十、整百、整千…的數(shù)，或者使這道題計(jì)算中的一些數(shù)變得易于口算，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。 例1：計(jì)算32525 分析與解答： 在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，商不變。利用這一性質(zhì)，可以使這道計(jì)算題簡(jiǎn)便。 32525 =（32

58、54）（254） =1300100 =13 練 習(xí) 一 計(jì)算下面各題。 1，45025 2，52525 3，3500125 4，10000625 5，49500900 6，9000225 例2：計(jì)算2512548 分析與解答： 經(jīng)過仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：在這道連乘算式中，如果先把25與4相乘，可以得到100；同時(shí)把125與8相乘，可以得到1000；再把100與1000相乘就簡(jiǎn)便了。這就啟發(fā)我們運(yùn)用乘法交換律和結(jié)合律使計(jì)算簡(jiǎn)便。 2512548 =（254）（1258） =1001000 =100000 練

59、 習(xí) 二 計(jì)算下面各題。 1251584 2524 25564125 1252532 7516 12516 例3：計(jì)算（1）（360+108）36 （2）（450－75）15 分析與解答： 兩個(gè)數(shù)的和（或差）除以一個(gè)數(shù)，可以用這個(gè)數(shù)分別去除這兩個(gè)數(shù)，再求出兩個(gè)商的和（或差）。利用這一性質(zhì)，可以使這道題計(jì)算簡(jiǎn)便。 （1）（360+108）36 （2）（450－75）15 =36036+10836 =45015－7515 =10+3 =30－5 =1

60、3 =25 練 習(xí) 三 計(jì)算下面各題。 1． （720+96）24 2．（4500－90）45 3．634221 4．881189 5．7336+10536+14636 6．（10000－1000－100－10）10 例4：計(jì)算15861793 分析與解答：在乘除法混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，計(jì)算時(shí)可以根據(jù)運(yùn)算定律和性質(zhì)調(diào)換因數(shù)或除數(shù)的位置。 15861793 =15879613 =2613 =366 趣味數(shù)學(xué): 有1~9

61、九個(gè)數(shù)字組成兩個(gè)數(shù)（每個(gè)數(shù)只用一次），試問組成什么數(shù)乘積最大？ 答：9642 87531 練 習(xí) 四 計(jì)算下面各題。 1，238361195 2，624483128 3，138276950 4，406312104203 例5：計(jì)算下面各題。 （1）1239616 （2）200（254） 分析與解答：這兩道題都是乘除混合運(yùn)算式題，我們可以根據(jù)這兩道題的特點(diǎn)，采用加括號(hào)或去括號(hào)的方法，使計(jì)算簡(jiǎn)便。其方法與加減混合運(yùn)算添、去括號(hào)的方法類似，可以概括為：括號(hào)前是乘號(hào)，添、去括號(hào)不變號(hào)；括號(hào)前是除號(hào)，添

62、、去括號(hào)要變號(hào)。 （1）1239616 （2）200（254） =123（9616） =200254 =1236 =84 趣味數(shù)學(xué)： 小明的日記本每頁(yè)都標(biāo)上號(hào)碼，他用0~9的數(shù)字共981個(gè)。日記本有多少頁(yè)？ 答：357 =738 =32 練 習(xí) 五 計(jì)算下面各題。 1，612366183 2，1000（1254） 3，（13856）（456） 4，241345678345（678241） 第12講 定義新運(yùn)算 專題簡(jiǎn)析： 我

63、們學(xué)過常用的運(yùn)算加、減、乘、除等，如6＋2=8，62=12等。都是2和6，為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢？主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)質(zhì)上是對(duì)應(yīng)法則不同。由此可見，一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法。對(duì)應(yīng)法則不同就是不同的運(yùn)算。當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)應(yīng)任意兩個(gè)數(shù)。通過這個(gè)法則都有一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng)。 數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由?！? ——康托爾 名人名言 這一周，我們將定義一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的加、減、乘、除運(yùn)算是不相同的。 例1：設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a△b表示a的3倍減去b的2倍，即：a△b = a3－b2。試計(jì)算：（1）5△6；（2）6△5。 分析與解答：

64、 解這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)。這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍。 （1） 5△6=53－62=3 （2） 6△5=63－52=8 顯然，本例定義的運(yùn)算不滿足交換律，計(jì)算中不能將△前后的數(shù)交換。 練 習(xí) 一 1，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a○b=6a－2b。 試計(jì)算3○4。 2，設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定：a*b=3a＋2b。試計(jì)算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有兩個(gè)整數(shù)是A、B，A▽B表示A與B的平均數(shù)。已知A▽6=17，求A。 例2：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a⊕b=ab＋a＋b， 試計(jì)算6⊕2。

65、分析與解答： 這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前后兩個(gè)數(shù)的積加上這兩個(gè)數(shù)。 6⊕2=62＋6＋2=20 練 習(xí) 二 1，對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b=ab－（a＋b）。計(jì)算3⊕5。 2，對(duì)于兩個(gè)數(shù)A與B，規(guī)定：A☆B=AB2。 試算6☆4。 3，對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定：a⊕b= ab＋a＋b。 如果5⊕x=29，求x。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此規(guī)律計(jì)算3△5。 分析與解答： 這道題規(guī)定的運(yùn)算本質(zhì)是：從運(yùn)算符號(hào)前的數(shù)加起，每次加的數(shù)都比前面的一個(gè)數(shù)多1，加數(shù)的個(gè)數(shù)為運(yùn)算符號(hào)后面的數(shù)。所以，3△5=3＋4＋5＋6＋7=25 練 習(xí)

66、 三 1，如果5▽2=26，2▽3=234，計(jì)算：3。 2，如果2▽4=24（2＋4），3▽6=36（3＋6），計(jì)算8▽4。 3，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 例4：對(duì)于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 分析與解答：經(jīng)仔細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)這道題規(guī)定運(yùn)算的本質(zhì)仍然是：從運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)加起，每次加的數(shù)都比它相鄰的前一個(gè)數(shù)多1，加數(shù)的個(gè)數(shù)為運(yùn)算符號(hào)后面的數(shù)，原式即x+(x+1)+(x+2)+…+(x+5)=27，解這個(gè)方程，即可求出x=2。 練 習(xí) 四 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3