（教師用書）2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 集合教案 蘇教版必修

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1、 第1章　集合 1．1集合的含義及其表示 (教師用書獨具) ●三維目標(biāo) 1．知識與技能 (1)初步理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法． (2)初步了解“屬于”關(guān)系的意義，理解集合相等的含義． (3)初步了解有限集、無限集的意義，并能恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用列舉法或描述法表示集合． 2．過程與方法 (1)通過實例，初步體會元素與集合的“屬于”關(guān)系，從觀察分析集合的元素入手正確地理解集合． (2)觀察關(guān)于集合的幾組實例，并通過自己動手舉出各種集合的例子，初步感受集合語言在描述客觀現(xiàn)實和數(shù)學(xué)對象中的意義． (3)通過實例體會有限集與無限集，理解列舉法和描述法的含義，學(xué)會用

2、恰當(dāng)?shù)男问奖硎窘o定集合，掌握集合的表示方法． 3．情感、態(tài)度與價值觀 (1)了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系． (2)在學(xué)習(xí)運用集合語言的過程中，增強學(xué)生認(rèn)識事物的能力，初步培養(yǎng)學(xué)生實事求是、扎實、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度． ●重點、難點 重點：集合的含義及集合的表示方法． 難點：集合的特征性質(zhì)和概念以及運用特征性質(zhì)用描述法表示一些簡單的集合． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 1．關(guān)于集合含義的教學(xué) 建議教師在教學(xué)過程中通過大量具體實例，引導(dǎo)學(xué)生抽象出集合的含義，這樣可以培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高閱讀與理解、合作與交流的能力． 2．關(guān)于元素、集

3、合及其關(guān)系的表示的教學(xué) 對于元素，集合的字母表示以及元素與集合之間的“屬于”或“不屬于”關(guān)系．建議教師讓學(xué)生在具體運用中逐漸熟悉，對于常用數(shù)集的表示也要求學(xué)生記?。? 3．關(guān)于列舉法和描述法表示集合的教學(xué) 建議教師講清元素不多的有限集常用列舉法表示，無限集常用描述法表示，同時也要說明兩種方法的優(yōu)缺點． ●教學(xué)流程 ??????? 課標(biāo)解讀 1.理解集合的含義，知道常用數(shù)集及其記法(重點)． 2．了解屬于關(guān)系和集合相等的意義(重點)． 3．了解有限集、無限集、空集的意義． 4．掌握集合的表示方法——列舉法、描述法和Venn圖法，并能正確地表示一些簡單的集合(重點、難點).

4、 集合的概念 【問題導(dǎo)思】　 觀察下面的語句 (1)高一(2)班的女生； (2)方程x2－2＝0的所有實根； (3)2012年7月參加倫敦奧運會的代表團； (4)高一(2)班的所有帥哥； (5)高一(2)班的好學(xué)生． 1．上面語句中女生、實根、代表團、帥哥、好學(xué)生哪些能被清晰的確定出來？ 【提示】　女生、實根、代表團． 2．以上語句中為什么有的不能確定？ 【提示】　因帥哥、好學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)無法確定． 1．元素與集合的概念 一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體構(gòu)成一個集合．集合中的每一個對象稱為該集合的元素，簡稱元． 2．元素與集合的符號表示 通

5、常用大寫拉丁字母來表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小寫拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等. 元素與集合的關(guān)系 【問題導(dǎo)思】　 某中學(xué)2013級高一年級的20個班構(gòu)成一個集合，則高一(6)班是這個集合的元素嗎？高二(3)班呢？ 【提示】　高一(6)班是這個集合中的元素，高二(3)班不是． 1．元素與集合的關(guān)系 (1)屬于(符號：∈)，a是集合A中的元素．記作a∈A，讀作 “a屬于A”． (2)不屬于(符號：?或)，a不是集合A中的元素，記作 a?A或aA.讀作“a不屬于A”． 2．常用數(shù)集及符號表示 數(shù)集名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集

6、有理數(shù)集 實數(shù)集 符號表示 N N*或N＋ Z Q R 集合的表示方法 【問題導(dǎo)思】　 觀察下列集合 (1)中國的直轄市． (2)12的所有正因數(shù)． (3)不等式x－2≥3的解集． (4)所有偶數(shù)的集合． 1．上述四個集合中的元素能分別一一列舉出來嗎？ 【提示】　(1)、(2)中元素可以一一列舉出來，(3)、(4)中元素不能一一列舉，因為它們中的元素有無窮多個． 2．設(shè)(3)、(4)中元素為x，請用等式(或不等式)分別將它們表示出來． 【提示】　(3)中元素x≥5，(4)中元素x＝2n，n∈N. 1．列舉法 將集合的元素一一列舉出來，

7、并置于花括號“{　}”內(nèi)．用這種方法表示集合，元素之間要用逗號分隔，但列舉時與元素的次序無關(guān)． 2．描述法 將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來，寫成{x|p(x)}的形式． 3．集合相等 如果兩個集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個集合相等． 集合的分類 【問題導(dǎo)思】　 你班的學(xué)生人數(shù)可數(shù)嗎？你能舉出一個不可數(shù)的集合嗎？ 【提示】　可數(shù)　自然數(shù)集． 有限集：含有有限個元素的集合稱為有限集． 無限集：含有無限個元素的集合稱為無限集． 空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作? .

8、 集合的有關(guān)概念 　下列每組對象能否構(gòu)成一個集合？ (1)所有的好人； (2)平面上到原點的距離等于2的點的全體； (3)正三角形的全體； (4)方程x2＝2的實數(shù)解； (5)不等式x＋1>0的所有實數(shù)解． 【思路探究】　看一組對象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看這組對象是不是確定的． 【自主解答】　“所有的好人”無確定的標(biāo)準(zhǔn)，因此(1)不能構(gòu)成集合．而(2)(3)(4)(5)的對象盡管有點、圖形、實數(shù)等不同之處，但它們是確定的．所以(2)(3)(4)(5)能構(gòu)成集合． 判斷一組對象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是看能否找到一個明確的標(biāo)準(zhǔn)，來判斷整體中的每一個對象是

9、不是確定的， 若元素是確定的，又能看做一個整體，便構(gòu)成一個集合，否則，就不能構(gòu)成集合，同時要兼顧集合中每個對象所代表的元素的無序性和互異性． 下列對象：①不超過π的正整數(shù)；②高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題；③所有的正三角形；④我國近代著名的數(shù)學(xué)家．其中能夠構(gòu)成集合的序號是________． 【解析】　由集合定義知①③中的對象可構(gòu)成集合；②中的“難”與④中的“著名”都無明確的界限，不確定，所以不能構(gòu)成集合． 【答案】?、佗? 用列舉法表示集合 　用列舉法表示下列集合： (1)A＝{x|－2≤x≤2，x∈Z}； (2)B＝{(x，y)|； (3)M＝{x|(x－

10、2)2(x－3)＝0}； (4){自然數(shù)中五個最小數(shù)的完全平方數(shù)}； (5)P＝{y|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}． 【思路探究】　解答本題首先弄清集合中元素的性質(zhì)特點，然后按要求改寫． 【自主解答】　(1)∵－2≤x≤2，x∈Z， ∴x＝－2，－1,0,1,2， ∴A＝{－2，－1,0,1,2}． (2)解方程組得∴B＝{(3,2)}． (3)∵2和3是方程的根，∴M＝{2,3}． (4){0,1,4,9,16}． (5)∵y＝－x2＋6≤6，且x∈N，y∈N， ∴x＝0,1,2，y＝6,5,2， ∴P＝{6,5,2}． 應(yīng)用列舉法應(yīng)注意的問題： (1

11、)用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點集； (2)列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示集合比較方便，且使人一目了然．因此，判定集合是有限集還是無限集，選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ㄊ顷P(guān)鍵． 把本題(5)中集合P改為“{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}”，求相應(yīng)問題． 【解】　點(x，y)滿足條件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， 則或或 ∴Q＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}． 用描述法表示集合 　用描述法表示下列集合． (1)正奇數(shù)集； (2)使y＝有意義的實數(shù)x的集合； (3)坐標(biāo)平面內(nèi)，在第二象限內(nèi)的點所組成的集合； (

12、4)坐標(biāo)平面內(nèi)，不在第一、三象限內(nèi)的點所組成的集合． 【思路探究】　本題主要考查集合的表示方法，可以把自然語言轉(zhuǎn)化為集合語言，用描述法表示出來． 【自主解答】　(1){x|x＝2n＋1，n∈N}， 也可表示為{x|x＝2n－1，n∈N*}． (2){x|x≠2且x≠－3，x∈R}． (3){(x，y)|x<0且y>0，x∈R，y∈R}． (4){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}． 使用描述法時，應(yīng)注意六點： (1)寫清楚集合中的代表元素； (2)說明該集合中元素的性質(zhì)； (3)不能出現(xiàn)未被說明的字母； (4)多層描述時，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”“或”； (5)所

13、有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)； (6)用于描述的語句力求簡明、確切． 用描述法表示下列集合： (1)偶數(shù)集； (2)被3除余2的正整數(shù)的集合； (3)不等式2x－3<0的解集． 【解】　(1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，所以偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈Z}． (2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故x＝3n＋2，n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}． (3)不等式2x－3<0，即x<，所以不等式2x－3<0的解集可表示為{x|x<}. 運用方程的思想解決集合相等問題 　(12分)已知集合

14、A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}．若A＝B，求c的值． 【思路點撥】　要求c的值此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的確定性、互異性、無序性列方程求解． 【規(guī)范解答】?、偃鬭＋b＝ac且a＋2b＝ac2，消去b得：a＋ac2－2ac ＝0， 1分 當(dāng)a＝0時，集合B中的三個元素均為0，和元素的互異性相矛盾，故a≠0. 3分 ∴c2－2c＋1＝0，即c＝1，但c＝1時，B中的三個元素相同，此時無解； 6分 ②若a＋b＝ac2且a＋2b＝ac，消去b得：2ac2－ac－a＝0， ∵a≠0，∴2c2－c－1＝0， 9分 即(c－1)(2c＋1)＝

15、0，又c≠1，故c＝－. 11分 綜上所述，c＝－. 12分 　 1．根據(jù)兩集合中的元素完全相同，列出a，b，c滿足的方程求解，這就是方程思想的應(yīng)用． 2．解決集合相等的問題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增根，這需要解題后進(jìn)行檢驗． 1．集合的概念可以從以下幾個方面來理解： (1)集合是一個“整體”； (2)構(gòu)成集合的對象必須具有“確定”且“不同”這兩個特征．這兩個特征不是模棱兩可的． 判定一組對象能否構(gòu)成一個集合，關(guān)鍵要看是否有一個明確的客觀標(biāo)準(zhǔn)來鑒定這些對象，若鑒定對象確定的客觀標(biāo)準(zhǔn)存在，則這些對象就能構(gòu)成集合，否則不能構(gòu)成集合． 2．集合的表示方法

16、： 列舉法簡明、直觀適用于元素個數(shù)較少的集合；描述法應(yīng)用更廣泛，多適用于元素個數(shù)有無窮多的集合． 3．集合的分類： 集合分為有限集和無限集，根據(jù)元素的特性，還可以分為數(shù)集、點集、圖形集等． 1．下列各組對象不能確定一個集合的是________． ①某校高一年級開設(shè)的課程；②某校高一年級任教的教師；③某校高一年級1998年出生的學(xué)生；④某校高一年級比較聰明的學(xué)生． 【解析】　因為①②③中對象都是確定的，它們都能確定一個集合，而④中“比較聰明”沒有明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)，故④不能確定一個集合． 【答案】　④ 2．下列關(guān)系式中，正確的序號是________． ①a∈{a

17、，b}；②0∈?；③{x|x2≤0}＝?；④{x|x2＋2x＋5＝0}＝?. 【解析】　空集不含任何元素，故②錯；0∈{x|x2≤0}，故③錯；①④正確． 【答案】?、佗? 3．下列敘述中，正確的個數(shù)是________． ①1是集合N中最小的數(shù)?、谌簦璦?N，則a∈N　③若a∈N*，b∈N，則a＋b的最小值為2?、芊匠蘹2－4x＝－4的解集為{2,2}． 【解析】　N中的最小數(shù)為0，故①錯誤；②可舉反例：a＝，則－a＝－?N，但a＝?N，故②不正確；③可取a＝1，b＝0，則a＋b＝1，其最小值不為2，故③錯；④方程的解集應(yīng)為{2}，故④錯．所以正確個數(shù)為0. 【答案】　0

18、 4．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)中國古代四大發(fā)明的集合； (2)由大于0小于2的實數(shù)組成的集合； (3)絕對值等于1的實數(shù)的集合； (4)方程x(x2＋2x－3)＝0的解集； (5)不等式x2＋2≤0的解集． 【解】　(1)中國古代四大發(fā)明的集合可用列舉法表示為{指南針，造紙術(shù)，火藥，印刷術(shù)}． (2)由大于0且小于2的實數(shù)組成的集合用描述法可表示為{x|0

19、表示為{－3,0,1}． (5)不等式x2＋2≤0的解集為?. 一、填空題 1．下列條件能形成集合的是________． (1)充分小的負(fù)數(shù)全體　(2)愛好飛機的一些人； (3)某班本學(xué)期視力較差的同學(xué)　(4)某校某班某一天所有課程． 【解析】　綜觀(1)(2)(3)的對象不確定，唯有(4)某校某班某一天所有課程的對象確定，故能形成集合的是(4)． 【答案】　(4) 2．方程組的解集用列舉法表示為________；用描述法表示為________． 【解析】　因的解集為方程組的解． 解該方程組x＝，y＝－. 則用列舉法表示為{(，－)}；用描述法表示為 .

20、 【答案】　{(，－)}　 3．函數(shù)y＝x2－2x－1圖象上的點組成的集合為A，試用“∈”或“?”號填空． ①(0，－1)________A；②(1，－2)________A； ③(－1,0)________A. 【解析】　把各點分別代入函數(shù)式，可知(0，－1)∈A，(1，－2)∈A，(－1,0)?A. 【答案】　∈，∈，? 4．(2013徐州高一檢測)若一個集合中的三個元素a，b，c 是△ABC的三邊長，則此三角形一定不是________三角形．(用“銳角，直角，鈍角，等腰”填空) 【解析】　由集合中元素的互異性可知a≠b≠c，故該三角形一定不是等腰三角形． 【答案】　等腰

21、 5．用描述法表示如圖1－1－1所示中陰影部分的點(包括邊界上的點)的坐標(biāo)的集合是________． 圖1－1－1 【解析】　由圖可知，所表示的集合為{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0}． 【答案】　{(x，y)|－2≤x≤0，且－2≤y≤0} 6．(2013南京高一檢測)若集合A＝{x|3x－a<0，x∈N}表示二元集，則實數(shù)a的取值范圍是________． 【解析】　由3x－a<0得，x<，又x∈N且滿足上述條件的只有兩個元素，故1<≤2，解得3

22、_____. 【解析】　分四種情況討論：x，y，z中三個都為正，代數(shù)式的值為4；x，y，z中兩個為正，一個為負(fù)，代數(shù)式值為0；x，y，z中一個為正、兩個為負(fù)，代數(shù)式值為0；x，y，z都為負(fù)數(shù)時代數(shù)式值為－4. ∴M＝{－4,0,4}． 【答案】　{－4,0,4} 8．設(shè)三元素集A＝{x，，1}，B＝{|x|，x＋y,0}，其中x，y為確定常數(shù)且A＝B，則x2013－y2 013的值等于________． 【解析】　由題意，知{x，，1}＝{|x|，x＋y,0}． ∵x≠0，∴＝0，即y＝0. 又∵x≠1，且|x|＝1， ∴x＝－1， ∴x2 013－y2 013＝(－1)2

23、013－0＝－1. 【答案】?。? 二、解答題 9．用列舉法表示下列集合： (1){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}； (2)方程x2＋6x＋9＝0的解集； (3){20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}； (4){(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}； (5){(x，y)}|x∈N，且1≤x<4，y－2x＝0}； (6){a|∈N，且a∈N}． 【解】　(1)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N， ∴y＝0,1,2,3,4. 故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}＝{0,1,2,3,4}． (2)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，

24、 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集為{－3}． (3){20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)}＝{2,3,5,7,11,13,17,19}． (4)因x∈Z，y∈Z，則x＝－1,0,1時，y＝0,1，－1. 那么{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}＝{(－1,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)}． (5)當(dāng)x∈N且1≤x<4時，x＝1,2,3，此時y＝2x，即y＝2,4,6， 那么{(x，y)|x∈N且1≤x<4，y－2x＝0}＝{(1,2)，(2,4)，(3,6)}． (6)當(dāng)a＝－1,2,3,4時，分別為1,2,3,6，故{a|∈N，且a∈N}＝{－1,2,3,4}． 10

25、．用描述法表示下列集合： (1)被5除余1的正整數(shù)集合； (2)大于4的全體奇數(shù)構(gòu)成的集合； (3)坐標(biāo)平面內(nèi)，兩坐標(biāo)軸上點的集合； (4)三角形的全體構(gòu)成的集合； (5){2,4,6,8}． 【解】　(1){x|x＝5k＋1，k∈N}； (2){x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}； (3){(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}； (4){x|x是三角形}或{三角形}； (5){x|x＝2n,1≤n≤4，n∈N}． 11．已知p∈R，且集合A＝{x|x2－px－＝0}，集合B＝{x|x2－x－p＝0}，∈A，求集合B中的所有元素． 【解】　∵∈A，∴－－＝0，∴p＝－

26、. ∴B＝{x|x2－x＋＝0}． 又方程x2－x＋＝0的兩根為x＝或x＝3. ∴B＝{，3}. (教師用書獨具) 若集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，問是否有a∈A，b∈B，使m＝a＋b? (2)對于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b＝m且m∈M？證明你的結(jié)論． 【思路探究】　(1)由m∈M，可寫出m的表達(dá)式，再根據(jù)A、B中元素特征，尋找a、b；(2)可先表示a、b，然后找a＋b，最后觀察a＋b的形式． 【自主解答】　(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3

27、k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1，b＝3k＋2，則m＝a＋b.故若m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)設(shè)a＝3k＋1，b＝3l＋2，k、l∈Z，則a＋b＝3(k＋l)＋3. ∴當(dāng)k＋l＝2p(p∈Z)時，a＋b＝6p＋3∈M，此時有m∈M，使a＋b＝m成立；當(dāng)k＋l＝2p＋1(p∈Z)時，a＋b＝6p＋6?M，此時不存在m使a＋b＝m成立． 在探索過程中，要緊抓各集合元素的特征，利用構(gòu)造法去尋找，同時注意分類討論． 設(shè)P，Q為兩個非空實數(shù)集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是

28、________個． 【解析】　∵P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴當(dāng)a＝0且b＝1,2,6時，a＋b＝1,2,6；當(dāng)a＝2且b＝1,2,6時，a＋b＝3,4,8；當(dāng)a＝5且b＝1,2,6時，a＋b＝6,7,11.由上可知，只有一個相同的元素6，其他均不相同，故P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}． 其所含元素個數(shù)為8. 【答案】　8 1.2子集、全集、補集 (教師用書獨具) ●三維目標(biāo) 1．知識與技能 (1)了解集合之間包含的含義，能識別給定集合的子集． (2)理解子集、真子集的概念． (3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系，體會直

29、觀圖示對理解抽象概念的作用． 2．過程與方法 讓學(xué)生通過觀察身邊的實例，發(fā)現(xiàn)集合間的基本關(guān)系，體驗其現(xiàn)實意義． 3．情感、態(tài)度與價值觀 (1)樹立數(shù)形結(jié)合的思想． (2)體會類比對發(fā)現(xiàn)新結(jié)論的作用． ●重點、難點 重點：集合間的包含與相等關(guān)系，子集與其子集的概念． 難點：難點是屬于關(guān)系與包含關(guān)系的區(qū)別． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 1．關(guān)于子集、真子集的概念，建議教師讓學(xué)生從三個方面去理解它們．自然語言、符號語言、圖形語言(Venn圖)，特別是圖形語言即Venn圖表示可以形象直觀地表示集合間的關(guān)系，故學(xué)時要讓學(xué)生知道表示集合的Venn圖的邊

30、界是封閉曲線，它可以是圓、矩形，也可以是其他封閉曲線． 2．關(guān)于包含符號“?”的理解，建議教師提醒學(xué)生符號的方向不要搞錯，如A?B與B?A是相同的，而A?B與A?B是不同的，同時強調(diào)“A?B”包含兩層含義；即“AB”或“A＝B”． 3．關(guān)于補集的教學(xué) 建議教師講解時：①充分利用Venn圖的直觀性引進(jìn)概念，講清概念的含義．②語言表述要確切無誤．“?UA是A在全集U中的補集”，不能把它簡單地說成?UA是A的補集，因為補集是在全集的前提下建立的概念，即補集是一個相對概念． 4．關(guān)于全集的教學(xué) 建議教師講解時突出強調(diào)全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題則z為全

31、集，而當(dāng)問題擴展到實數(shù)集時，則R為全集． ●教學(xué)流程 ???????? 課標(biāo)解讀 1.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合間是否具有包含關(guān)系(重點)． 2．了解全集與空集的含義，能在給定全集的基礎(chǔ)上求已知集合的補集(重點)． 3．能通過分析元素的特點判斷集合間的關(guān)系，并能根據(jù)集合間的關(guān)系確定一些參數(shù)的取值(難點). 子集的概念及其性質(zhì) 【問題導(dǎo)思】　 給出兩個集合A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}． 1．集合A中的元素都是集合B中的元素嗎？ 【提示】　是． 2．集合B中的元素都是集合A中的元素嗎？ 【提示】　不全是．

32、 1．子集 如果集合A的任意一個元素都是集合B的元素(若a∈A，則a∈B)，那么集合A稱為集合B的子集，記為A?B或B?A，讀作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”． 可用Venn圖表示為： 子集的性質(zhì)： (1)A?A，即任何一個集合是它本身的子集． (2)??A，即空集是任何集合的子集． 2．真子集的概念 真子集：如果A?B，并且A≠B，那么集合A稱為集合B的真子集，記為AB或BA，讀作“A真包含于B”或“B真包含A”． 補集、全集的概念 【問題導(dǎo)思】　 A＝{高一(1)班參加足球隊的同學(xué)}，B＝{高一(1)班沒有參加足球隊的同學(xué)}，U＝

33、{高一(1)班的同學(xué)}． 1．集合A，B，U有何關(guān)系？ 【提示】　U＝A∪B. 2．B中元素與U和A有何關(guān)系？ 【提示】　B中元素在U中不在A中． 1．補集 (1)定義：設(shè)A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集．記為?SA(讀作“A在S中的補集”)． (2)符號表示 ?SA＝{x|x∈S，且x?A}． (3)圖形表示： 2．全集 如果集合S包含我們所要研究的各個集合，這時S可以看做一個全集，全集通常記作U. 子集、真子集的概念 　已知集合M滿足{1,2}M?{1,2,3,4}，寫出集合M. 【思路探究】　可按集合M中含有

34、元素的個數(shù)分類討論求解． 【自主解答】?、偃鬗中含有3個元素時，M為{1,2,3}和{1,2,4}． ②若M中含有4個元素時，M為{1,2,3,4}因此滿足條件的集合M有3個即{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 1．本類問題實質(zhì)是考查包含于“?”和真包含于“”的運用，解答本題首先分清兩符號的含義，確定集合中元素的個數(shù)然后進(jìn)行分類討論.2.求集合的子集問題時，一般可以按照子集元素個數(shù)分類，再依次寫出符合要求的子集．集合子集、真子集個數(shù)的規(guī)律為：含n個元素的集合有2n個子集，有2n－1個真子集，有2n－2個非空真子集，其中空集和集合本身易漏掉． 將本題中條件

35、改為{1,2}?M?{1,2,3,4,5}如何求解？ 【解】?、佼?dāng)M中含有2個元素時，M為{1,2}； ②當(dāng)M中含有3個元素時，M為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； ③當(dāng)M中含有4個元素時，M為{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； ④當(dāng)M中含有5個元素時，M為{1,2,3,4,5}． ∴滿足條件的集合M為{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}． 集合的補集 　已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，

36、?UB＝{1,4,6}，求集合B. 【思路探究】　先由集合A與?UA求出全集，再由補集定義求出集合B，或利用Venn圖求出集合B. 【自主解答】　法一　A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}， 又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 法二　借助Venn圖，如圖所示， 由圖可知B＝{2,3,5,7}． 根據(jù)補集定義，借助Venn圖，可直觀地求出全集，此類問題，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，可借助Venn圖；當(dāng)集合中元素?zé)o限時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解． (1)若U＝{1,2,3,4,5}，S

37、＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，則?UA＝________，?SA＝________. (2)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|x>1}，則?UA＝________. 【解析】　(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，結(jié)合補集的定義可知?UA＝{3,4,5}． 同理可求，當(dāng)S＝{1,2,3,4}時，?SA＝{3,4}． (2)∵U＝{x|x≥－3}，A＝{x|x>1}， 如圖所示： ∴?UA＝{x|－3≤x≤1}． 【答案】　(1){3,4,5}　{3,4}　(2){x|－3≤x≤1} 由集合間的關(guān)系確定參數(shù)的范圍 　已知集

38、合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1

39、； (2)是否存在實數(shù)a使B?A? 【解】　(1)借助數(shù)軸可得，a應(yīng)滿足的條件為 或 解得0≤a≤1. (2)同理可得a應(yīng)滿足的條件為 得a無解，所以不存在實數(shù)a使B?A. 子集、全集、補集的綜合應(yīng)用 　已知集合A＝{x|x≥m}，集合B＝{x|－2

40、UB＝{x|x≤－2或x≥3}， ∵A??UB，如圖： ∴m≥3， ∴m的取值范圍為[3，＋∞)． (2)由題意知B?A，∴m≤－2， ∴?AB＝{x|m≤x≤－2或x≥3}， ①若C＝?，即m＋1≥2m， 即m≤1時，m≤－2. ②若C≠?，即m＋1<2m， 即m>1，與m≤－2矛盾， 故此種情況不存在． 綜上，m的取值范圍為(－∞，－2]． 針對此類問題，已知補集之間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時，常根據(jù)補集的定義及集合之間的關(guān)系，并借助數(shù)軸．列出參數(shù)a應(yīng)滿足的關(guān)系式，具體操作時要注意端點值的“取”與“不取”． 設(shè)全集U＝R，A＝

41、{x|x>1}，B＝{x|x＋a<0}，且B?UA，求實數(shù)a的取值范圍． 【解】　∵U＝R，A＝{x|x>1}， ∴?UA＝{x|x≤1}． ∵x＋a<0，x<－a， ∴B＝{x|x<－a}． 又∵B?UA， ∴－a≤1，∴a≥－1. 忽略空集的情形導(dǎo)致錯誤 　已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B?A，求實數(shù)a的值． 【錯解】　A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}． 由于B?A，因此B＝{－1}或B＝{3}． 當(dāng)B＝{－1}時，由a(－1)－2＝0，可得a＝－2； 當(dāng)B＝{3}時，由a3－2＝0，可得a＝. 綜上所

42、述，實數(shù)a的值為－2或. 【錯因分析】　B為空集時，顯然也滿足已知條件．解題時，需注意空集是任何一個集合的子集(這個“任何一個集合”當(dāng)然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集． 【防范措施】　根據(jù)“A?B”條件，在求相關(guān)參數(shù)值時，不可忽視集合A可以為空集這個特殊情況，同時還要進(jìn)行檢驗，看是否滿足元素的互異性． 【正解】　A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}． 當(dāng)B≠?時，由于B?A， 因此B＝{－1}或B＝{3}． ①當(dāng)B＝{－1}時，由a(－1)－2＝0，可得a＝－2； ②當(dāng)B＝{3}時，由a3－2＝0，可得a＝. 當(dāng)B＝?時，ax－2＝0無解，可得a＝0.

43、 綜上所述，實數(shù)a的值為－2或或0. 1．正確地理解子集、真子集的概念： 如果A是B的子集(即A?B)，那么有A是B的真子集(AB)或A與B相等(A＝B)兩種情況．“AB”和“A＝B”二者必居其一．反過來，A是B的真子集(AB)也可以說A是B的子集(A?B)；A＝B也可以說成A是B的子集(A?B)． 2．用Venn圖表達(dá)集合與集合之間的關(guān)系，直觀、方便，尤其是抽象集合之間關(guān)系的問題，常用Venn圖求解． 3．全集為研究一個問題的所有元素的全體，即該問題所涉及的元素的范圍，是一個相對的概念，全集因問題的不同而異． 4．補集與全集密不可分．同一集合在不同全

44、集下的補集是不同的，因而說集合的補集的前提是必須先明確全集，一個集合與它的補集是互為補集的關(guān)系，補集也是一種思想，是一種思考和處理問題的思維方式． 1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，則?UA＝________. 【解析】　根據(jù)補集的定義，可知?UA＝{1,3,6,7}． 【答案】　{1,3,6 ,7} 2．集合A＝{0,1,2}的真子集個數(shù)是________． 【解析】　集合A＝{0,1,2}的真子集有?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{1,2}，{0,2}共7個． 【答案】　7 3．設(shè)x、y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}

45、，B＝{(x，y)|＝1}，則A、B的關(guān)系是________． 【解析】　∵B＝{(x，y)|＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA. 【答案】　BA 4．已知集合A＝{x|－4≤x≤－2}，集合B＝{x|x－a≥0}． (1)若A?B，求a的取值范圍； (2)若全集U＝R，且A??UB，求a的取值范圍． 【解】　∵A＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x≥a}． (1)由A?B，結(jié)合數(shù)軸(如圖所示)． 可知a的范圍為a≤－4. (2)∵U＝R，∴?UB＝{x|x－2.

46、 一、填空題 1．下列命題中正確的個數(shù)為________． (1)空集沒有子集； (2)任何集合至少有兩個子集； (3)空集是任何集合的真子集； (4)若?A，則A≠?. 【解析】　(1)不正確，???；(2)不正確，?只有一個子集；(3)不正確，?沒有真子集；(4)正確，理由同(3)． 【答案】　1 2．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，則?UA＝________. 【解析】　如圖所示： ?UA＝{x|x<1}． 【答案】　{x|x<1} 3．設(shè)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x－a≥0}，若AB，實數(shù)a的取值范圍為________． 【解析】　B＝

47、{x|x≥a}， ∵AB，∴結(jié)合數(shù)軸可得a≤1. 【答案】　a≤1 4．設(shè)A＝{x|1

48、＝{1,2,2}與互異性矛盾，不成立，所以x≠2. 從而只能有x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)． 當(dāng)x＝－1時，U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}， 所以?UA＝{2}． 【答案】　{2} 7．集合A{0,1,2,3}，且A中的元素至少有一個奇數(shù)，這樣的集合有________個． 【解析】　含有一個元素時：{1}，{3}； 含有兩個元素時：{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}； 含有三個元素時：{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}； 含有四個元素時：{0,1,2,3}． 【答案】　12 8．(2013徐州

49、高一檢測)若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x<3或x>22}，則能使A??RB成立的所有a的集合是________． 【解析】　∵B＝{x|x<3或x>22}， ∴?RB＝{x|3≤x≤22}． 又∵A≠?且A??RB， ∴∴6≤a≤9. 【答案】　{a|6≤a≤9} 二、解答題 9．已知{a}?A?{a，b，c}，求所有滿足條件的集合A. 【解】　A中含有一個元素時，A為{a}， A中含有兩個元素時，A為{a，b}，{a，c}， A中含有三個元素時，A為{a，b，c}． 所以滿足條件的集合A為{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}． 1

50、0．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}， 若?UA＝{1,2}，求實數(shù)m的值． 【解】　∵?UA＝{1,2}，U＝{0,1,2,3}，∴A＝{0,3}， ∴0,3是方程x2＋mx＝0的兩根，∴m＝－3. 11．設(shè)全集U＝R，A＝{x|3m－1

51、m≤－或m≥1. (教師用書獨具) 若方程x2＋x＋a＝0至少有一個根為非負(fù)實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍． 【思路探究】　該題中“至少有一個根為非負(fù)實數(shù)”種類多，較復(fù)雜，但其反面為“無非負(fù)實根”的情況較簡單．這正是運用補集的思想解題． 【自主解答】　若方程x2＋x＋a＝0無非負(fù)實根， 即方程無實根或有兩個負(fù)根，則有： ①方程無實根， Δ＝1－4a<0，解得a>. ②方程有兩個負(fù)根， 即解得0

52、　當(dāng)集合為?時，方程x2＋x＋m＝0無解， 即Δ＝1－4m<0，解得m>. 所以，當(dāng)集合{x|x2＋x＋m＝0，x∈R}至少含有一個元素時，實數(shù)m的取值范圍為{m|m≤}． 當(dāng)題設(shè)條件中含有“至少”“至多”等詞語且包含的情況較多時，在解答過程中往往進(jìn)行分類討論，為了避免分類討論，我們可以利用補集思想來求解，即采用“正難則反”的原則從問題的對立面出發(fā)，進(jìn)行求解，最后取相應(yīng)的集合的補集． 1．3交集、并集 (教師用書獨具) ●三維目標(biāo) 1．知識與技能 (1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集． (2)能使用Venn圖表達(dá)集合的

53、運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用． 2．過程與方法 學(xué)生通過觀察和類比，借助Venn圖理解集合的基本運算． 3．情感、態(tài)度與價值觀 (1)進(jìn)一步樹立數(shù)形結(jié)合的思想． (2)進(jìn)一步體會類比的作用． (3)感受集合作為一種語言，在表示數(shù)學(xué)內(nèi)容時的簡潔和準(zhǔn)確． ●重點、難點 重點：交集與并集的概念． 難點：理解交集與并集的概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系． (教師用書獨具) ●教學(xué)建議 1．關(guān)于交集與并集概念的教學(xué) 建議教師一方面可通過Venn圖畫兩集合所表示的兩條封閉曲線“相離”、“相交”、“內(nèi)含”、“相重合”等情形，全面揭示兩集合的交集或并集的

54、所有情形；另一方面，在交集、并集概念的教學(xué)中，對“且”和“或”這兩個聯(lián)結(jié)詞必須使學(xué)生明確其涵義，學(xué)會正確使用，使學(xué)生對交集、并集的定義有一個準(zhǔn)確的認(rèn)識． 2．關(guān)于集合運算時的常用技巧的教學(xué) 建議教師通過教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行集合運算時一般先化簡再運算．當(dāng)給出的集合形式較為復(fù)雜時，注意先化簡，化簡時注意保證化簡前后集合的等價性．另外須注意對于含有參數(shù)的方程問題，一般需對參數(shù)進(jìn)行討論．要特別注意檢驗集合的元素是否滿足“三性”，還要提防“空集”這一隱形陷阱． ●教學(xué)流程 ??????? 課標(biāo)解讀 1.理解交集與并集的概念，以及符號之間的區(qū)別與聯(lián)系(重點)． 2．掌握求兩個簡單集合

55、的交集與并集的方法(重點)． 3．會借助Venn圖理解集合的交并運算，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想(難點). 交集與交集的性質(zhì) 【問題導(dǎo)思】　 已知集合A＝{－1,1,2,3}，B＝{0，－1,1}，C＝{－1,1}． 1．集合A與集合B有公共元素嗎？它們組成的集合是什么？ 【提示】　有　{－1,1}． 2．集合C中的元素與集合A、B有何關(guān)系？ 【提示】　集合C中的元素屬于A且屬于B. 1．交集 (1)文字語言：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B(讀作“A交B”)． (2)符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈

56、B}． (3)Venn圖 　　　　?、佟　　　　　、凇　　　　、? 2．交集的性質(zhì) (1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B?A；(3)A∩B?B；(4)A∩A＝A；(5)A∩?＝?. 并集與并集的性質(zhì) 【問題導(dǎo)思】　 已知集合A＝{－1,2,6}，B＝{－2，－1,4,6}，C＝{－1，－2,2,4,6}． 1．集合A與B中的公共元素是什么？ 【提示】?。?,6. 2．集合C中的元素與集合A、B有什么關(guān)系？ 【提示】　C中的元素屬于集合A或?qū)儆诩螧. 1．并集 (1)文字語言：一般地，由所有屬于集合A或者屬于集合B 的元素構(gòu)成的集合，稱為A與

57、B的并集，記作A∪B(讀作“A并B”)． (2)符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． (3)Venn圖 　　　　?、佟　　　　??、凇　　??、? 2．并集的性質(zhì) (1)A∪B＝B∪A；(2)A?A∪B；(3)B?A∪B；(4)A∪A＝A；(5)A∪?＝A. 區(qū)間 設(shè)a，b∈R，且aa}，(－∞，b)＝{x|x

58、間； [a，b)，(a，b]叫做半開半閉區(qū)間； a，b叫做相應(yīng)區(qū)間的端點. 集合的交集運算 　(1)已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－11}∩{x|－1

59、　如圖所示： ∴A∩B＝{－1,2}． 【答案】　(1){x|14}，則集合A∩B等于________． 【解析】　直接在數(shù)軸上標(biāo)出A，B的區(qū)間，如圖所示，取其公共部分即得A∩B＝{x|－2≤x<－1}． 【答案】　{x|－2≤x<－1} 集合的并集運算 　設(shè)A＝{x|2x

60、2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝{}，求A∪B. 【思路探究】　利用交集的定義，可以得到兩個含有p，q的方程，并解出它們，可以進(jìn)一步求出集合A，B，在求并集時，必須注意并集中元素應(yīng)該滿足互異性． 【自主解答】　∵A∩B＝{}，∴∈A，∈B. 將分別代入方程2x2－px＋q＝0及6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0中， 聯(lián)立得方程組 解得 ∴A＝{x|2x2＋7x－4＝0}＝{－4，}， B＝{x|6x2－5x＋1＝0}＝{，}， ∴A∪B＝{－4，，}． 1．解答本題關(guān)鍵是

61、確定出集合A，B中的元素． 2．求集合的并集時，若集合是用列舉法給出的，可直接利用并集的定義求解，需特別注意相同元素只能按一個書寫；若集合是用描述法表示的無限集，求解時可借助數(shù)軸完成，需特別注意界點的虛實． 設(shè)集合A＝{|a＋1|,3,5}，集合B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}，當(dāng)A∩B＝{2,3}時，求A∪B. 【解】　∵|a＋1|＝2，∴a＝1或a＝－3. 當(dāng)a＝1時，集合B的元素a2＋2a＝3,2a＋1＝3，由集合中元素的互異性知a≠1. 當(dāng)a＝－3時，集合B＝{－5,3,2}，符合題意． ∴A∪B＝{－5,2,3,5}． 交集、并集的性質(zhì)及應(yīng)用

62、 　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|2x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍． 【思路探究】　→→→ 【自主解答】　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}， ∵A∪B＝A，∴B?A. (1)當(dāng)B＝?時，Δ＝(－4)2－42a＝16－8a<0， ∴a>2； (2)當(dāng)B中只有一個元素時， 即B＝{1}或{2}時， Δ＝16－8a＝0，∴a＝2， 此時，B＝{x|2x2－4x＋2＝0}＝{1}，符合題意； (3)當(dāng)B＝{1,2}時， 1,2是方程2x2－4x＋a＝0的兩根， ∴應(yīng)有1＋2＝－，顯然不成立， ∴此種情況不

63、存在． 綜上，實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥2}． 在集合與集合的關(guān)系中，若集合B為雙元素集合，且A?B，則可對集合A按元素的個數(shù)分類，即A為空集，A為單元素集合，A為雙元素集合；若集合B為三元素集合，則可依此類推．這樣才能標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏． 設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A∩B＝B，求a的取值范圍； (2)若A∪B＝B，求a的值． 【解】　A＝{0，－4}． (1)∵A∩B＝B，∴B?A. ①若0∈B，則a2－1＝0，解得a＝1. 當(dāng)a＝1時，B＝{x|x2＋4x＝0}＝A； 當(dāng)

64、a＝－1時，B＝{0}A. ②若－4∈B，則a2－8a＋7＝0，解得a＝7或a＝1. 當(dāng)a＝7時，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}A. ③若B＝?，則Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 綜上所述，a≤－1或a＝1. (2)∵A∪B＝B，∴A?B. ∵A＝{0，－4}，而B中最多有兩個元素， ∴A＝B，即a＝1. 已知集合的交集、并集求參數(shù)范圍 　已知集合A＝{x|2

65、a的取值范圍． 【自主解答】　有兩類情況， 一類是B≠??a>0. 此時，又分兩種情況：①B在A的左邊，如圖中B所示； ②B在A的右邊，如圖中B′所示． 集合B在圖中B或B′位置均能使A∩B＝?成立， 即0<3a≤2或a≥4，解得0

66、方法． 將本題條件“A∩B＝?”改為“A∩B＝{x|3