【三維設計】高考數學大一輪復習配套講義備考基礎查清 熱點命題悟通第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 理 蘇教版

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1、 第四章　平面向量、數系的擴充與復數的引入 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算 1．向量的有關概念 (1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 三角形法則 平行四邊形法則 (

2、1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數乘 求實數λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使得b＝λa. 1．作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向

3、被減向量的終點； 2．在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數個； 3．要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯系． [試一試] 1.(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調)如圖，在△OAC中，B為AC的中點，若＝x＋y(x，y∈R)，則x－y＝________. 解析：法一：(直接法)根據圖形有 所以＝＋2(－)， 所以＝－＋2，而＝x＋y， 所以故x－y＝－3. 法二：(間接法)由B為AC的中點得＋＝2， 所以＝－＋2，而＝x＋y， 所以故x－y＝－3. 答案：－3 2．若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋

4、|＝||＝2. 答案：2 1．向量的中線公式 若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則＝(＋)． 2．三點共線等價關系 A，P，B三點共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t)＋t (O為平面內異于A，P，B的任一點，t∈R)?＝x＋y (O為平面內異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． [練一練] 1．D是△ABC的邊AB上的中點，若＝x＋y，則x＋y＝________. 解析：∵＝－＝－，則x＝，y＝－1 ∴x＋y＝－. 答案：－ 2．已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 解析：由題意知a＋λb＝k

5、[－(b－3a)]， 所以解得 答案：－ 考點一 向量的有關概念 1.給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號是________． 解析：①不正確．兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||

6、＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤不正確．考慮b＝0這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號是②③. 答案：②③. 2．設a0為單位向量，①若a為平面內的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數是________． 解析：向量是既有

7、大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數是3. 答案：3 [備課札記]　　

8、 [類題通法] 平面向量中常用的幾個結論 (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時不要把它與函數圖像的平移混為一談． (3)是與a同向的單位向量，－是與a反向的單位向量． 考點二 向量的線性運算 [典例]　(2013江蘇高考)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝

9、AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數)，則λ1＋λ2的值為________． [解析]　由題意＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋， 所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. [答案]　 [備課札記]　　

10、 若條件變?yōu)椋喝簦?，＝＋λ，則λ＝________. 解析：∵＝＋，＝＋， ∴2＝＋＋＋. 又∵＝2， ∴2＝＋＋ ＝＋＋(－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. 答案： [類題通法] 在向量線性運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來

11、求解． [針對訓練] 若A，B，C，D是平面內任意四點，給出下列式子： ①＋＝＋；②＋＝＋； ③－＝＋.其中正確的有________個． 解析：①式的等價式是－＝－，左邊＝＋，右邊＝＋，不一定相等；②式的等價式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等價式是－＝＋，＝成立． 答案：2 考點三 共線向量定理的應用 [典例]　設兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 求證：A，B，D三點共線． (2)試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a

12、＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線， 又∵它們有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)∵ka＋b與a＋kb共線， ∴存在實數λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝1. [備課札記]　　

13、 [類題通法] 1．共線向量定理及其應用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結論結合待定系數法應用非常廣泛． 2．證明三點共線的方

14、法 若＝λ，則A、B、C三點共線． [針對訓練] 已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數t的值，若不存在，請說明理由． 解：由題設知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上的充要條件是存在實數k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因為a，b不共線，所以有，解之得t＝. 故存在實數t＝使C，D，E三點在一條直線上． [課堂練通考點] 1．給出下列命題：

15、 ①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量． ②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小． ③λa＝0(λ為實數)，則λ必為零． ④λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯誤的命題的有________個． 解析：①錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點． ②正確，因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數，故可以比較大?。? ③錯誤，當a＝0時，不論λ為何值，λa＝0. ④錯誤，當λ＝μ＝0時，λa＝μb＝0，此時，a與b可以是任意向量． 答案：3 2.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝________. 解析：∵＝－＝a

16、－b， 又＝3， ∴＝＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 答案：a＋b 3．(2013蘇錫常鎮(zhèn)二調)已知點P在△ABC 所在的平面內，若2＋3＋4＝3，則△PAB與△PBC的面積的比值為________． 解析：因為2＋3＋4＝3， 所以2＋3＋4＝3－3， 即5＋4＝0， 所以△PAB與△PBC的面積的比為PA∶PC＝4∶5. 答案： 4.(2014“江南十?！甭摽?如圖，在△ABC中，∠A＝60，∠A的平分線交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長為________． 解析：因為B，D，C三點共線，所以有＋λ＝1，解得λ＝，如圖，過點

17、D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點M，N，則＝，＝， 經計算得AN＝AM＝3，AD＝3. 答案：3 5．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)， ＝a＋b， 所以＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 6．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥， 則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線， 因此，||＝||＝2. 答案：2 [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．設a、b是兩個非零向

18、量，下列結論正確的有________．(填寫序號) ①若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥b ②若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b| ③若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數λ，使得b＝λa ④若存在實數λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b| 解析：對于①，可得cosa，b＝－1，因此a⊥b不成立；對于②，滿足a⊥b時|a＋b|＝|a|－|b|不成立；對于③，可得 cosa，b＝－1，因此成立，而④顯然不一定成立． 答案：③ 2．(2013徐州期中)設O是△ABC內部一點，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為________． 解析：設M為邊AC的

19、中點．因為＋＝－2，所以點O是△ABC的中線BM的中點，從而所求面積之比為1∶2. 答案：1∶2 3．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數m的值為________． 解析：如圖，因為＝， 所以＝，＝m＋＝m＋，因為B、P、N三點共線， 所以m＋＝1，所以m＝. 答案： 4．(2013南通期中)設D，P為△ABC內的兩點，且滿足＝(＋)，＝＋，則＝________. 解析：設E為邊BC的中點．由＝(＋)可知， 點D在△ABC的中線AE上，且AD＝AE， 由＝＋，得＝， 利用平面幾何知識知＝＝. 答案： 5．(2014南通期末)在△AB

20、C中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3a＋4b＋5c＝0，則a∶b∶c＝________. 解析：在△ABC中有＋＋＝0， 又3a＋4b＋5c＝0，消去得 (3a－5c) ＋(4b－5c) ＝0， 從而3a－5c＝0,4b－5c＝0， 故a∶b∶c＝20∶15∶12. 答案：20∶15∶12 6．(2014淮陰模擬)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心， 連接AM并延長交BC于D，則＝， 因為AD為中線，則＋＝2＝3， 所以m＝3. 答案：3 7．(2014蘇北四市質檢

21、)已知a，b是非零向量，且a，b的夾角為，若向量p＝＋，則|p|＝________. 解析：和分別表示與a，b同向的單位向量， 所以長度均為1.又二者的夾角為， 故|p|＝ ＝. 答案： 8．已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正確命題的個數為________． 解析：＝a，＝b，＝＋ ＝－a－b，故①錯； ＝＋＝a＋b，故②錯； ＝(＋)＝(－a＋b) ＝－a＋b，故③正確； ∴＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0. ∴正確命題為②③④. 答案：3 9.(201

22、3蘇北四市三調)如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，E，F分別是邊AB，AC上的點，若＝m，＝n，其中m，n∈(0,1)．設EF的中點為M，BC的中點為N. (1)若A，M，N三點共線，求證：m＝n； (2)若m＋n＝1，求||的最小值． 解：(1)證明：由A，M，N三點共線，得∥. 設＝λ (λ∈R)，即(＋)＝λ(＋)， 所以m＋n＝λ(＋)． 因為與不共線，所以m＝n. (2)因為＝－＝(＋)－(＋)＝(1－m)＋(1－n) ， 又m＋n＝1，所以＝(1－m) ＋m， 所以||2＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m＝(1－m)2＋m2＋(1－m)m ＝2＋， 故當m＝

23、時，||min＝. 10.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F三點共線． 解：(1)延長AD到G， 使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝，又因為 ，有公共點B， 所以B，E，F三點共線． 第Ⅱ組：重點選做題 1．A，B，O是平面內不共線的三個定點，且＝a，＝b，點P關于點A的對稱點為Q，點Q關于點B的對稱點為R，用

24、a、b表示，則＝________. 解析：＝－＝(＋)－(＋) ＝2－2＝2(b－a)． 答案：2(b－a) 2．已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量，，，滿足等式＋＝＋，則四邊形ABCD的形狀為________． 解析：由＋＝＋得 －＝－， ∴＝.所以四邊形ABCD為平行四邊形． 答案：平行四邊形 第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．

25、 2．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數乘向量及向量的模： 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法： ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標． ②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 1．若a、b為非零向量，當a∥b時，a，b的夾角為0或180，求解時

26、容易忽視其中一種情形而導致出錯； 2．要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標中既有方向也有大小的信息． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2－x2y1＝0. [試一試] 1．(2014南京、鹽城一模)若向量a＝(2,3)，b＝(x，－6)，且a∥b，則實數x＝________. 解析：由a∥b得2(－6)＝3x，解得x＝－4. 答案：－4 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實數x的值是________．

27、 解析：∵u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v， ∴8－4x＝3＋6x，∴x＝. 答案： 用基向量表示所求向量時，注意方程思想的運用． [練一練] 設e1、e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________a＋________b. 解析：由題意，設e1＋e2＝ma＋nb. 因為a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2) ＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理，得 所以 答案：　－

28、 考點一 平面向量的坐標運算 1.(2014蘇中三市、宿遷調研(一))在平面直角坐標系中，已知向量＝(2,1)，＝(3,5)，則向量的坐標為________． 解析：＝－＝(1,4)． 答案：(1,4) 2．(2013北京高考)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 解析：設i，j分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則a＝－i＋j，b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j)＋μ(6i＋2j)，根據平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－，所以＝4. 答案：4 3．已知A(－2,4)，B(3，－1

29、)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c. (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n. 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 [備課札記]　　

30、 [類題通法] 1．向量的坐標運算實現了向量運算代數化，將數與形結合起來，從而可使幾何問題轉化為數量運算． 2．兩個向量相等當且僅當它們的坐標對應相同．此時注意方程(組)思想的應用． 考點二 平面

31、向量基本定理及其應用 [典例]　如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分別為線段AD與BC的中點．設＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. [解析]　 ＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. [備課札記]　　

32、 [類題通法] 用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示為向量的形式，再通過向量的運算來解決． (2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運用平面幾何的一些性質定理． [針對訓練] (2014濟南調研)如圖，在△ABC中，＝，P是BN上

33、的一點，若＝m＋，則實數m的值為________． 解析：因為＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k ＝(1－k)＋， 且＝m＋， 所以1－k＝m，＝， 解得k＝，m＝. 答案： 考點三 平面向量共線的坐標表示 [典例]　平面內給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k； [解]　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0. ∴k＝－

34、. [備課札記]　　

35、 在本例條件下，若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. 解：設d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 得或 ∴d＝(3，－1)或(5,3)． [類題通法] 1．向量共線的兩種表示形式 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b?a＝λb(b≠0)；②a∥b?x1y2－x2y1＝0，至于使用哪種形式，應視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標的應用②. 2．兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點共線的問題；另外，利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組)，求出未知數的值．

36、 [針對訓練] 已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)． (1)若A，B，C三點共線，求a，b的關系式； (2)若＝2，求點C的坐標． 解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)， ∵A，B，C三點共線，∴∥. ∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2. (2)∵＝2， ∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)． ∴解得 ∴點C的坐標為(5，－3)． [課堂練通考點] 1．(2013南京二模)若平面向量a，b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于y軸，a＝(2，－1)，則b＝________. 解析：設b＝(x，y)，則a＋b＝(2＋x，y－1)

37、，由條件知2＋x＝0，|y－1|＝1，解得x＝－2，y＝0或x＝－2，y＝2，故b＝(－2,0)或(－2,2)． 答案：(－2,2)或(－2,0) 2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則等于________． 解析：由題意得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n) a－2b＝(4，－1)， 由于(ma＋nb)∥(a－2b)， 可得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得＝－. 答案：－ 3．(2014蘇北四市質檢)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，－4)，若a∥b，則tan 2θ＝________. 解析：由題意，得－

38、4sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝－，所以tan 2θ＝＝－. 答案：－ 4．已知點A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下面的結論： ①直線OC與直線BA平行；②＋＝； ③＋＝；④＝－2. 其中正確結論的個數是________． 解析：∵由題意得kOC＝＝－，kBA＝＝－， ∴OC∥BA，①正確；∵＋＝，∴②錯誤； ∵＋＝(0,2)＝，∴③正確； ∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正確． 答案：3 5．已知兩點A(1,0)，B(1,1)，O為坐標原點，點C在第二象限，且∠AOC＝135，設＝－＋λ(λ∈R)，則λ的值為___

39、_____． 解析：由∠AOC＝135知，點C在射線y＝－x(x<0)上，設點C的坐標為(a，－a)，a<0，則有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝. 答案： 6．在△ABC中，M為邊BC上任意一點，N為AM中點，＝λ＋μ，則λ＋μ的值為________． 解析：∵M為邊BC上任意一點， ∴可設＝x＋y(x＋y＝1)． ∵N為AM中點， ∴＝＝x＋y＝λ＋μ. ∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 答案： [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．(2013遼寧高考改編)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為_______

40、_． 解析：＝(3，－4)，則與其同方向的單位向量e＝＝(3，－4)＝. 答案： 2．已知△ABC中，點D在BC邊上，且＝2，＝r＋s，則r＋s的值是________． 解析：∵＝2， ∴＝＝(－)， ∴＝－AC， 又＝r＋s，∴r＝，s＝－， ∴r＋s＝0. 答案：0 3．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，則x的值為________． 解析：a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)， 由已知(a－2b)∥(2a＋b)，顯然2a＋b≠0， 故有＝λ(16＋x，x＋1)，λ∈R， ∴?x＝4(x>0)． 答案：4 4.若α，

41、β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為________． 解析：∵a在基底p，q下的坐標為(－2,2)， 即a＝－2p＋2q＝(2,4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， ∴即 ∴a在基底m，n下的坐標為(0,2)． 答案：(0,2) 5.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，N是線段OD的中點，AN的延長線與CD交于點E，則下列說法錯誤的是________．(填寫

42、序號) ①＝＋ ②＝－ ③＝＋ ④＝＋ 解析：由向量減法的三角形法則知，＝－，排除②；由向量加法的平行四邊形法則知，＝＋，＝＝＋，排除①、③. 答案：④ 6．在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 7．P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個向量集合，則P∩Q等于________． 解析：P中，a＝(－1＋m,1

43、＋2m)， Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)． 則 得 此時a＝b＝(－13，－23)． 答案： 8．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構成三角形，則實數k應滿足的條件是________． 解析：若點A，B，C能構成三角形， 則向量，不共線． ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠1 9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求： (1)|a＋3b|； (2)當k為何實數時，ka－b與a＋3b平行，平

44、行時它們是同向還是反向？ 解：(1)因為a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)， 故|a＋3b|＝＝. (2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)， 因為ka－b與a＋3b平行， 所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－. 此時ka－b＝(k－2，－1)＝， a＋3b＝(7,3)，則a＋3b＝－3(ka－b)， 即此時向量a＋3b與ka－b方向相反． 10．已知點O為坐標原點，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當t1＝1時，不論t2為何實數，A，B，M三點都共線． 解：(1) ＝t1

45、＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當點M在第二或第三象限時， 有 故所求的充要條件為t2<0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當t1＝1時， 由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4,4)， ＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4,4)＝t2， ∴A，B，M三點共線． 第Ⅱ組：重點選做題 1.(2013南通二模)如圖，正六邊形ABCDEF中，P是△CDE內(包括邊界)的動點．設＝α＋β(α，β∈R)，則α＋β的取值范圍是________． 解析：法一：分別延長DC，AB交于點G，則 CG∥AF，且CG＝AF， 從而＝＋＝2＋，

46、 同理可得＝＋2， ＝2＋2，因為點P在△CDE內部(包括邊界)， 所以α＋β∈[3,4]． 法二：建立如圖所示的直角坐標系， 不妨設正六邊形ABCDEF的邊長為2， 則點A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，D(2,2)， E(0,2)，F(－1，)，從而點P位于區(qū)域中． 又＝α＋β＝(2α－β，β)， 代入可行域得于是α＋β∈[3,4]． 答案：[3,4] 2.(2014蘇錫常鎮(zhèn)一模)如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋ μ，則λ＋μ的最小值為________． 解析：以A為原點，如圖建立直角坐標系，

47、不妨設正方形ABCD的邊長為1，則＝(1,1)，＝.設＝(cos α， sin α)，α∈.由＝λ＋μ得所以μ＝， 故λ＋μ＝μsin α－1＋μ＝3－1. 設f(α)＝，α∈， 則f′(α)＝. 因為f′(α)＞0恒成立，故f(α)在上單調增． 所以當α＝0時，f(α)min＝f(0)＝， 所以(λ＋μ)min＝. 答案： 第三節(jié)平面向量的數量積與平面向量應用舉例 1．平面向量的數量積 平面向量數量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數量|a||b|cos θ叫做a和b的數量積(或內積)，記作ab.即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)

48、定0a＝0. 2．向量數量積的運算律 (1)ab＝ba； (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 3．平面向量數量積的有關結論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 結論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的關系 |ab|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 1．若a，b，c是實數，則ab＝ac?b＝c(a≠0)；但對于向量就沒有這樣的性質，即若向量a，b，c，若滿足ab＝a

49、c(a≠0)，則不一定有b＝c，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量． 2．數量積運算不適合結合律，即(ab)c≠a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，a(bc)表示一個與a共線的向量，而a與c不一定共線，因此(ab)c與a(bc)不一定相等． [試一試] 1．(2014蘇錫常鎮(zhèn)一調)已知兩個單位向量e1，e2的夾角為120，若向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，則ab＝________. 解析：ab＝(e1＋2e2)4e1＝4e＋8e1e2 ＝4＋811＝0. 答案：0 2．(2013鎮(zhèn)江期末)在菱形ABCD中，AB＝2，B＝，＝3，＝3，則＝_

50、_______. 解析：如圖，依題意向量，所成角為，||＝||＝2，＝－，EF―→＝＋，＝(－)＝||2＋－||2＝－12. 答案：－12 1．明確兩個結論： (1)兩個向量a與b的夾角為銳角，則有ab>0，反之不成立(因為夾角為0時不成立)； (2)兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有ab<0，反之不成立(因為夾角為π時不成立)． 2．利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法與技巧． [練一練] 1．已知向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為________． 解析：(a－2b)a＝|a|2－2ab＝0，(b－

51、2a)b＝|b|2－2ab＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，故|a|2－2ab＝ |a|2－2|a|2cosa，b＝0，可得cosa，b＝，又因為0≤a，b≤π，所以a，b＝. 答案： 2．(2013南通三模)已知向量a與b的夾角為60，且|a|＝1，|b|＝2，那么(a＋b)2的值為________． 解析：(a＋b)2＝1＋4＋212cos 60＝7. 答案：7 考點一 平面向量的數量積的運算 1.(2014南通、泰州、揚州一調)在平面直角坐標系xOy中，已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，則ab＝________. 解析：法

52、一：由a＝5，得a2－ab＝5， 即5－ab＝5，所以ab＝0. 法二：由a＝(1,2)，a－b＝(3,1)，得b＝(－4,2)， 所以ab＝0 答案：0 2．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，ab＝－6.則的值為________． 解析：由已知得，向量a＝(x1，y1)與b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－. 答案：－ 3.(2012江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若＝，則的值是______

53、__． 解析：以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則＝(，0)，＝(，1)，＝(0,2)．設＝(x,2)，x＞0，則＝x＝，解得x＝1.所以F(1,2)，＝(1－，2)，于是＝. 答案： 4．在△ABC中，若∠A＝120，＝－1，則|BC―→|的最小值是________． 解析：∵＝－1，∴||||cos 120＝－1，即 ||||＝2，∴||2＝|－|2＝2－2＋2≥2||||－2＝6， ∴||min＝. 答案： [備課札記]　　

54、 [類題通法] 向量數量積的兩種運算方法 (1)當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，即ab＝|a||b|co

55、sa，b． (2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝x1x2＋y1y2. 運用兩向量的數量積可解決長度、夾角、垂直等問題，解題時應靈活選擇相應公式求解. 考點二 平面向量數量積的性質 平面向量數量積的性質是高考的重點，歸納起來常見的命題角度有：(1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直． 角度一　平面向量的模 1．(2014南京一模)已知平面向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為.以a，b為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對角線中較短的一條的長度為________．

56、解析：設＝a，＝b，如圖所示， ||2＝1＋4－212cos＝3， 所以BD＝. 答案： 角度二　平面向量的夾角 2．(1)(2013鹽城二模)已知向量a的模為2，向量e為單位向量，e⊥(a－e)，則向量a與e的夾角大小為________． 解析：由條件得e(a－e)＝0，從而ea＝1. 所以cos〈a，e〉＝，故〈a，e〉＝. 答案： (2)(2014蘇北四市一調)設a，b，c是單位向量，且a＝b＋c，則向量a，b的夾角等于________． 解析：a，b，c是單位向量，模都為1，由a＝b＋c得a－b＝c，所以(a－b)2＝c2，即a2＋b2－2ab＝c2，得ab＝，所以

57、|a||b|cos θ＝，即cos θ＝，故θ＝. 答案： 角度三　平面向量的垂直 3．(1)(2013鹽城二模)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，且向量λa＋b與a－2b垂直，則實數λ的值為________． 解析：由條件知|a|＝，|b|＝1，ab＝3， 又λa＋b與a－2b垂直，所以(λa＋b)(a－2b)＝0， 即λa2－2b2＋(1－2λ)ab＝0， 于是13λ－2＋(1－2λ)3＝0，解得λ＝－. 答案：－ (2)在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，則k的值為________． 解析：①當A＝90時， ∵⊥，∴＝0. ∴21＋3k

58、＝0，解得k＝－. ②當B＝90時，∵⊥， 又＝－＝(1，k)－(2,3)＝(－1，k－3)， ∴＝2(－1)＋3(k－3)＝0， 解得k＝. ③當C＝90時， ∵⊥，∴1(－1)＋k(k－3)＝0， 即k2－3k－1＝0.∴k＝. 答案：－或或. [備課札記]　　

59、 [類題通法] 1．求兩非零向量的夾角時要注意： (1)向量的數量積不滿足結合律； (2)數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角． 2．利用數量積求解長度問題的處理方法 (1)a2＝aa＝|a|2或|a|＝. (2)

60、|ab|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 考點三 平面向量與三角函數的綜合 [典例]　(2013江蘇高考)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． [解]　(1)證明：由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝2. 又因為a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2ab＝2，即ab＝0，故a⊥b. (2)因為a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)， 所以 由此得

61、，cos α＝cos (π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π. 又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1， 得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. [備課札記]　　

62、 [類題通法] 平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式，運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的關系式，然后求解． (2)給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性，求得值域等． [針對訓練] 已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)

63、，b＝(1,2)． (1)若a∥b，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|,0<θ<π，求θ的值． 解：(1)因為a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝. (2)由|a|＝|b|，知sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5. 從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1， 于是sin＝－. 又由0<θ<π，知<2θ＋<， 所以2θ＋＝或2θ＋＝. 因此θ＝或θ＝. [課堂練通考點] 1．(2011江蘇高考)已知e

64、1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若ab＝0，則實數k的值為________． 解析：由題得|e1|＝|e2|＝1，e1e2＝|e1||e2|cos＝－，所以ab＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝k|e1|2＋(1－2k)e1e2－2|e2|2＝k＋－2＝0，解得k＝. 答案： 2．在△ABC中，若＝＝2，則邊AB的長等于________． 解析：由題意得＋＝(＋)＝||2＝4，所以AB＝2. 答案：2 3．已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超過5，則實數k的取值范圍是________． 解析：因為a＝(－2,2)，b＝(

65、5，k)，所以a＋b＝(3，k＋2)，所以|a＋b|＝＝≤5，解得－6≤k≤2 答案：[－6,2] 4．(2013淮安二模)在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60，BD⊥AC，D為垂足，則BC―→的值為________． 解析：＝(＋)＝＋ ＝＝||||cos∠ABD＝||2. 在△ABC中，由余弦定理得AC＝，又S△ABC＝ABBCsin∠ABC＝23sin 60＝，所以ACBD＝，所以BD＝， 所以＝||2＝. 答案： 5．若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． 解析：由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得

66、|a|2＝(a＋2b)2 ＝|a|2＋4|b|2＋4ab，所以ab＝－|b|2. 又|a|＝3|b|，所以cosa，b＝＝＝－. 答案：－ 6．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O為BC的垂直平分線上一點，則＝________. 解析：取BC邊的中點D，連接AD，則＝(＋)＝＋＝＝(＋)(－)＝(2－2)＝(62－102)＝－32. 答案：－32 [課下提升考能] 第Ⅰ組：全員必做題 1．(2013鹽城二模)若e1，e2是兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝5e1＋4e2，且a⊥b，則e1，e2的夾角為________． 解析：因為a⊥b，所以ab＝0，從而5－6e1e2－8＝0，所以e1e2＝－