全國初中數(shù)學競賽試題及答案

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1、2013年全國初中數(shù)學競賽試題 一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分） 1．設非零實數(shù)a，b，c，滿足則的值為（ ） （A）— （B）0 （C） （D）1 2．已知a，b，c是實常數(shù)，關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個非零實根x1，x2，則下列關于x的一元二次方程中，以，為兩個實根的是（ ） （A）c2x2+(b2－2ac)x+a2=0 （

2、B）c2x2—(b2－2ac)x+a2=0 （C）c2x2+(b2－2ac)x—a2=0 （D）c2x2—(b2－2ac)x—a2=0 3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E，若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（ ） （A）OD （B）OE （C）DE （D）AC 4．如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC=4CF，DCFE

3、是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（ ） （A）3 （B）4 （C）6 （D）8 5．對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：=， 且，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分） 6．設a=，b是a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為____________． 7．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，直線BD與CE交于點F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別為3，4，

4、5，則四邊形AEFD的面積是____________． 8．已知正整數(shù)a，b，c滿足a+b2—2c—2=0，3a2—8b+c=0，則abc的最大值為__________． 9．實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a，b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組（a，b，c，d）為___________________________________． A B C E D （第7題) A B C F D E （第4題) 10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共

5、350支，當天雖然筆沒有賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元，則他至少賣出了__________支圓珠筆． A B C O D E （第3題) 三、解答題（共4題，每題20分，共80分） A D B C O y x E 11．如圖，拋物線y=ax2+bx—3，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB=OC=3OA，直線y=—x2+1與軸交于點D，求∠DBC－∠CBE． 12．設△ABC的外心，垂心分別為O，H，若B，C，H，O共圓，對于所有的△ABC，求∠BAC所有可能的度數(shù)．

6、 13．設a，b，c是素數(shù)，記x=b+c－a，y=c+a－b，z=a+b－c，當z2=y，－=2時，，，能否構成三角形的三邊長？證明你的結論． 14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術數(shù)”（例如，把86放在415的左側，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，…，an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a1，a2，…，an中都至少有一個為的魔術數(shù)．

7、 2013年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案 一、選擇題 1．【答案】A 【解答】由已知得，故．于是，所以． 2．【答案】B 【解答】由于是關于的一元二次方程，則．因為，，且，所以，且 ，， 于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關系，以，為兩個實根的一元二次方程是，即． （第3題） 3．【答案】D 【解答】 （第3題答題） 因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)． 由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理數(shù)，而AC＝不一定是有理數(shù)． （第4題） 4．【答案】C 【解答

8、】因為DCFE是平行四邊形，所以DE//CF，且EF//DC． （第4題答題） 連接CE，因為DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB = S△DEC， 因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積． 連接AF，因為EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE = S△ACF． 因為，所以S△ABC = 4S△ACF．故陰影部分的面積為6． 5．【答案】C 【解答】設，則 ， 于是． 二、填空題 6．【答案】 【解答】由于，故，因此． 7．【答案】 【解答】如圖，連接AF，則有： （第7題答題） ， ， 解得，． 所以，四邊形AEF

9、D的面積是． 8．【答案】 【解答】由已知，消去c，并整理得 ．由a為正整數(shù)及≤66，可得1≤a≤3． 若，則，無正整數(shù)解； 若，則，無正整數(shù)解； 若，則，于是可解得，． （i）若，則，從而可得； （ii）若，則，從而可得． 綜上知的最大值為． 9． 【答案】，（為任意實數(shù)） 【解答】由韋達定理得 由上式，可知． 若，則，，進而． 若，則，有（為任意實數(shù)）． 經檢驗，數(shù)組與（為任意實數(shù)）滿足條件． 10．【答案】207 【解答】設x，y分別表示已經賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則 所以， 于是是整數(shù)．又， 所以，故y的最小值為207，此時． 三

10、、解答題 （第11題） 11．如圖，拋物線，頂點為E，該拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，且OB＝OC＝3OA．直線與軸交于點D． 求∠DBC-∠CBE． 【解答】將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)， 所以B(3，0)，A(，0)．直線過點B． （第11題答題） 將點C(0，)的坐標代入，得． 拋物線的頂點為(1，)．于是由勾股定理得 BC＝，CE＝，BE＝． 因為BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE為直角三角形，． 因此tan==．又tan∠DBO=，則∠DBO＝． 所以，． 12．設△的外心，垂心分別為，若共圓，對于所有的△，求所

11、有可能的度數(shù)． 【解答】分三種情況討論． （i）若△為銳角三角形． 因為， 所以由，可得，于是． （第12題答題（ii）） （第12題答題（i）） （ii）若△為鈍角三角形． 當時，因為， 所以由，可得，于是。 當時，不妨假設，因為， 所以由，可得，于是． （iii）若△為直角三角形． 當時，因為為邊的中點，不可能共圓， 所以不可能等于； 當時，不妨假設，此時點B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角． 綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及． 13．設，，是素數(shù)，記，當時，

12、，，能否構成三角形的三邊長？證明你的結論． 【解答】不能． 依題意，得． 因為，所以． 又由于為整數(shù)，為素數(shù)，所以或，． 當時，．進而，，，與，是素數(shù)矛盾； 當時，，所以，，不能構成三角形的三邊長． 14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術數(shù)”（例如，把86放在415的左側，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對任意一個正整數(shù)m，在中都至少有一個為m的魔術數(shù)． 【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個正整數(shù)M是≤＜≤7的公共的魔術數(shù)，即7|()，7|()．則有7|()，但0＜≤6，矛盾． 故n≥7． 又當為1，2，…，7時，對任意一個正整數(shù)m，設其為位數(shù)（為正整數(shù)）．則（…，7）被7除的余數(shù)兩兩不同．若不然，存在正整數(shù)，≤＜≤7，滿足7|[(，即，從而7|，矛盾． 故必存在一個正整數(shù)≤≤7，使得7|(，即為m的魔術數(shù)． 所以，n的最小值為7． 第 5 頁 共 5 頁