高考數(shù)學(xué)打破常規(guī)另辟蹊徑對(duì)xykK大于0圖象的挖掘素材

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1、 打破常規(guī)另辟蹊徑――對(duì)圖象的挖掘 高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）(人教版)第70頁(yè)有這樣一道例題，摘錄如下：點(diǎn)M與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)k（k>0），求點(diǎn)M的軌跡方程．該題同樣出現(xiàn)在人教版的《平面解析幾何》第25頁(yè)上．這道題的常規(guī)解法，我們都很自然地以這兩條互相垂直的直線作為x軸、y軸，得到點(diǎn)M的軌跡方程為．但如果改成求點(diǎn)Ｍ的軌跡，我們能不能說(shuō)出它是什么呢？由此引發(fā)我們的思考．筆者第三次講授該例題，體會(huì)較多，今一一列舉，請(qǐng)同行指點(diǎn)． 一、不妨換個(gè)角度建系，得到軌跡是雙曲線 如果我們簡(jiǎn)單從入手考慮問(wèn)題，可能時(shí)間耗盡卻收效甚微．那么請(qǐng)不妨換個(gè)角度，讓建系來(lái)得不簡(jiǎn)單點(diǎn)吧！ O

2、 x y 圖（1） 解：如圖(1)，分別以這兩條互相垂直的直線的角平分線作為x軸、y軸，則 l1：x-y=0 ，l2：x+y=0 ． 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M　(x,y)，由題意可得 =k，∴|x2-y2|=2k2 ， ∴-=1 或 -=1． 對(duì)于兩條確定的直線l1和l2，點(diǎn)M的軌跡是確定的．由于建系的不同，我們求得的軌跡方程形式上也不同，但這不會(huì)改變圖象的形狀，故課本中求得的曲線xy=k（k>0）也是兩條雙曲線，而且是一對(duì)共軛雙曲線．這里我的感觸頗深，這種建系方法一般我們不會(huì)考慮，但其實(shí)如此建系不也一般嘛，中間的運(yùn)算量也不算大，最主要地是輕松解決了我們的問(wèn)題．

3、這個(gè)“不簡(jiǎn)單”好啊！ 二、內(nèi)容的引伸和難點(diǎn)的突破 發(fā)現(xiàn)了上述特點(diǎn)，接下來(lái)的思考便是順理成章，耐人尋味．我們不難發(fā)現(xiàn)直線l1、l2是求得的兩條雙曲線的漸近線，于是我們得到： ①與兩條相交直線的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點(diǎn)的軌跡是一對(duì)共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線． 圖(2) O y A C B D x 證明：如圖(2)，以AB、CD的交點(diǎn)為原點(diǎn)，以∠AOD角平分線所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)， AB：y=mx CD：y= mx (m是常數(shù)，m>0) ， 由題意可得，=k，化簡(jiǎn)得

4、 －=1 或－=1． ∵這兩條雙曲線是共軛雙曲線，且漸近線是y=mx，∴求證結(jié)論成立． ②雙曲線上的任一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積是常數(shù)． 圖（３） Ｏ 證明：如圖(3)，選擇雙曲線：－=1(a>0,b>0)研究雙曲線這一幾何性質(zhì)，漸近線：bxay=0． 設(shè)M(x,y)是雙曲線： －=1(a>0,b>0)上任一點(diǎn)，則得 b2x2－a2y2=a2b2． ∴點(diǎn)M到雙曲線的兩條漸近線的距離之積 ==　，∴求證結(jié)論成立． 綜合①②可得： （?。┡c兩條相交直線的距離的積是常數(shù)k（k>0）的點(diǎn)的軌跡是一對(duì)共軛雙曲線，這兩條相交直線是它們的漸近線．該結(jié)

5、論可作為共軛雙曲線的定義和雙曲線漸近線的定義，對(duì)教材中雙曲線漸近線的描述性定義進(jìn)行了突破，前者更可用于對(duì)曲線形狀的判斷． （ⅱ）雙曲線上的任一點(diǎn)到它的兩條漸近線的距離之積為常數(shù)．這一關(guān)系反映了雙曲線的一個(gè)幾何性質(zhì)，也反映了雙曲線和它的漸近線之間的緊密聯(lián)系． 三、聯(lián)系函數(shù)內(nèi)容，進(jìn)行難點(diǎn)再突破 從函數(shù)y=x+(x≠0)，到函數(shù)y=x+，再到一般函數(shù)y=ax+(x≠0)，其中(a>0，b≠0，a、b是常數(shù))，我們?cè)谘芯客晁膯握{(diào)性后，對(duì)其函數(shù)圖象形狀或者避而不談，或者直接通過(guò)函數(shù)的一些性質(zhì)畫(huà)草圖，對(duì)圖象的本質(zhì)歸屬問(wèn)題總是存在一定的欠缺． 通過(guò)(二)的兩個(gè)結(jié)論的探討，現(xiàn)在我們可以大聲地說(shuō)，函數(shù)

6、的圖象是雙曲線！函數(shù)y=ax+和y=ax-(a>0，b>0，a、b是常數(shù))的圖象是一對(duì)共軛雙曲線，直線y=ax和x=0是它們的兩條漸近線． x y O 圖(4) 證明：設(shè)M(x，ax+)是函數(shù)y=ax+(x≠0)上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線x=0的距離d1=|x|， M到直線y=ax的距離d2==． ∴點(diǎn)M到直線x=0和直線y=ax的距離之積 d1d2=為常數(shù)． 同理可證，函數(shù)y=ax也具有以上性質(zhì)． 由(二)的兩個(gè)結(jié)論可知：函數(shù)y=ax+ 和y=ax(a>0，b>0，a、b是常數(shù))的圖象是一對(duì)共軛雙曲線，直線y=ax和x=0是它們的兩條漸近線，突破了對(duì)以上兩個(gè)函數(shù)圖象形狀確定的難

7、點(diǎn)． 四、溝通解析幾何與函數(shù)的關(guān)系 圖（５） 平面解析幾何是一門用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的學(xué)科，代數(shù)式子與幾何圖形水乳交融，合為一體．而函數(shù)在代數(shù)中扮演著十分重要的角色，函數(shù)與函數(shù)圖象也是密切聯(lián)系，如影隨形．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是一個(gè)從“特殊→一般→特殊”不斷演變，不斷發(fā)展的過(guò)程，上述兩者之間的關(guān)系可通過(guò)“函數(shù)解析法y=f(x) (x∈A)的表示”與“曲線及其方程概念的理解” 來(lái)加以區(qū)別．從這一點(diǎn)上來(lái)看，我們可以說(shuō)函數(shù)內(nèi)容是平面解析幾何內(nèi)容的特殊情況，形象地用韋恩圖加以描述，如圖（５）． 作為一線教師，筆者認(rèn)為，無(wú)論是我們教師自身的學(xué)習(xí)還是指導(dǎo) 學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該源于課本，又高于課本．對(duì)于問(wèn)題的思考不是淺嘗輒止， 拘泥于某些定性思維，而是倡導(dǎo)創(chuàng)新思維，敢于打破常規(guī)分析問(wèn)題，另辟蹊徑解決問(wèn)題．我們應(yīng)經(jīng)常有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)一些看起來(lái)“風(fēng)馬牛不相及”知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行深入挖掘，使之融會(huì)貫通，進(jìn)一步達(dá)到思維的升華，這對(duì)于幫助他們積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)，樹(shù)立辯證唯物主義世界觀大有裨益． 4 用心 愛(ài)心 專心