6、Hk之間有簡(jiǎn)單的迭代形式
B.擬牛頓條件
C.與海塞矩陣正交
D.對(duì)稱正定
7、函數(shù)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。
A 梯度法
B 牛頓法
C 變尺度法
D 坐標(biāo)輪換法
9、設(shè)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。
A 正定
B 半正定
C
7、負(fù)定
D 半負(fù)定
10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間[a，b]插入兩點(diǎn)α1、α2，且α1<α2。
A、其縮短率為0.618
B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b-a）
D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。
11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 B
方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 C方向。
A、上升
B、下降
C、不變
D、為零
12、二維目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)就是 B。
A、等值線族的一個(gè)共同中心
B、梯度為0
8、的點(diǎn)
C、全局最優(yōu)解
D、海塞矩陣正定的點(diǎn)
13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為 B 向量。
A 相切
B 正交
C 成銳角
D 共軛
14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A。
A 可用來(lái)求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問(wèn)題。
B 懲罰因子是不斷遞減的正值
C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。
D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)
三、問(wèn)答題（看講義）
1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別？
2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題的基本原理是什么？
3、試述數(shù)值解法求最佳步長(zhǎng)因子
9、的基本思路。
4、試述求解無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。
5、寫(xiě)出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)值迭代公式，并說(shuō)明公式中各變量的意義，并說(shuō)明迭代公式的意義。
6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？
四、解答題
1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[-2，4]T,選代精度ε=0.02（迭代一步）。
解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) ?f=3*x1-x2-2x2-x1,
計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的 梯度向量值 ?fX0=-3*2-4-24+2=-126
梯度法的搜索方向?yàn)?S
10、（k）=-?f, 因此在迭代點(diǎn)x(0) 的搜索方向?yàn)閇12，－6]T
在此方向上新的迭代點(diǎn)為：
X（k+1）=X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0）
=-24+α12-6=-2+12α4-6α
把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量α的函數(shù)F(α)
fXk+1=f-2+12α4-6α=1.5(-2+12α)2+0.5(4-6α)2--2+12α4- 6α- 2-2+12α
11、＝F(α)
令 dF(α)dα=-180+612α＝0，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)
α＝517≈0.2941
新的迭代點(diǎn)為X（0）+αS（0）＝ 1.52922.2354
當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度?f=12x12+6x6=13.4164>ε, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。
第一迭代步完成。
2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[2,1]T。
解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。）
牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-?2f-1?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代
12、點(diǎn)x(0)
的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1
?f（x(0)）=00
?2f＝4-4-48
?2f-1 = 142111
S(k)=-?2f-1?f=00
不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。
解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。
以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算
牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-?2f
13、-1?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)
的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣
梯度函數(shù)：
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1
初始點(diǎn)梯度向量：
?f（x(0)）=-812
海色矩陣：
?2f＝4-4-48
海色矩陣逆矩陣：
?2f-1 = 142111
當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋?
S(k)=-?2f-1?(f)＝- 142111-812＝-11
新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ：
X（k+1）=
14、X（k）+αS（k）=X（0）+αS（0）
＝12＋α-11＝1-α2＋α
把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量α的函數(shù)F(α)
fXk+1=f1-α2＋α=(α + 1)2 + (3α + 3)2＝F(α)
令 dF(α)dα=20α+ 20＝0，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)
α＝-1
新的迭代點(diǎn)為 X(1)=X（0）+αS（0）＝ 12 –-11＝ 21
當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度?f=12x12+8x8=14.4222>ε, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。
第二迭代步：
?f＝4*x1 - 4*x2 - 48*x
15、2 - 4*x1
?f（x(1)）=00
?f=0<ε
因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。
這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。
3、設(shè)有函數(shù) f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。
解：首先利用極值必要條件
?f=00找出可能的極值點(diǎn)：
令
?f＝2*x1 - 2*x2 - 4 4*x2 - 2*x1＝00
求得x1x2=42,是可能的極值點(diǎn)。
再利用充分條件?2f正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。
16、 ?2f＝2-2-24
2＝2>0
2-2-24＝8-4＝4>0
因此?2f正定, X*=x1x2=42是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-8
4、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。
解法同上
5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值。
解： 必要條件：
?f＝ 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3
將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得
?f＝ 0
17、00
充分條件
?2f＝4020102222
4＝4>0
40010＝40>0
4020102222＝80-40-16＝24>0
?2f正定。
因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值
6、給定約束優(yōu)化問(wèn)題
min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2
s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0
g2(X)=－x1－2x2＋4≥0
g3(X)= x1≥0
g4(X)=x2≥0
驗(yàn)證在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立。
解：首先，找出在點(diǎn)起作用約束：
g1(X) ＝
18、0
g2(X) ＝0
g3(X) ＝2
g4(X) ＝1
因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。
然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。
?f＝2*x1 - 6 2*x2 - 4＝-2-2
?g1＝ -2*x1 -2*x2＝-4-2, ?g2＝-1 -2
求解線性組合系數(shù) ?f=λ1?g1+λ2?g2
-2-2=λ1-4-2+λ2-1 -2
得到 λ1＝13, λ2=23, 均大于0
因此在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立
19、7、設(shè)非線性規(guī)劃問(wèn)題
用K-T條件驗(yàn)證為其約束最優(yōu)點(diǎn)。
解法同上
8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：
g1(X)=-x12+x2≥0
g2(X)=x1≥0
寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。
解：
內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為
其中： r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列
r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1
因此 罰函數(shù)為：
?X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1)
9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2
受約束于：g1(X)=-
20、x2-x1-1≥0
g2(X)=2-x1-x2≥0
g3(X)=x1≥0
g4(X)=x2≥0
試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。
解法同上
10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
12、一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例截
21、斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫(xiě)出M文件和求解命令）。
15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見(jiàn)圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫(xiě)出M文件和求解命令）。
16、某電線電纜車(chē)間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料9kg，3個(gè)工時(shí)，消耗電能4kWh，可得利潤(rùn)60元；話纜每米需用材料4kg，10個(gè)工時(shí)，消耗電能5kWh，可得利潤(rùn)120元。若每天材料可供應(yīng)360kg，有300個(gè)工時(shí)消耗電能200kWh可利用。如要獲得最大利潤(rùn)，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少米？寫(xiě)出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題-答案11頁(yè)
