高中數(shù)學(北師大版)選修2-2教案:第1章 反證法的應用例題解析

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1、 反證法的應用例題解析 反證法是一種間接證明的方法,其基本思路是從命題結論的反面出發(fā),引出矛盾,從而證明命題成立。運用反證法的關鍵是“尋找矛盾”,可以與已知的公理、定義、定理矛盾;與題目的已知條件矛盾;與臨時假設矛盾或推出兩個互相矛盾的命題。下面結合解題實際,談一談什么時侯宜用反證法。 一、證明否定型命題時常用反證法 例1如果是不全相等的實數(shù),若成等差數(shù)列,求證:不成等差數(shù)列。 證明:假設成等差數(shù)列,則 由于成等差數(shù)列,得① 那么,即② 由①、②得與是不全相等的實數(shù)矛盾。 故不成等差數(shù)列。 點評:本題是否定型命題,對于否定型命題的常規(guī)論證方法也是用反證法,從否定結論開始

2、,在成等差數(shù)列的條件下進行推理,得到又成等比數(shù)列,因此,與已知矛盾,從而結論成立。 二、正面證明困難時宜用反證法 例2求證:方程的解是惟一的. 證明:確定方程的解:由對數(shù)的定義易得是這個方程的一個解. 證明惟一性:假設這個方程的不是惟一的,它還有另解,則, 又,則,即…….①, 由假設,得, 從而,當時,……②;當時,…….③ 顯然,②、③都與①矛盾,這說明假設不成立,∴方程的解是惟一的. 點評:當原命題從證明下手證明較困難時,可不時時機地選擇從它的反面證明,有時會起到事半功倍的效果. - 2 - / 4 三、當問題中出現(xiàn)“至多”“至少”時: 例3已知都是正數(shù),試

3、證:關于的三個方程,,至少有一個方程有兩個不相等的實根。 證明:假設三個方程均無不相等的實根,則 與都是正數(shù)矛盾 故三個方程中至少有一個方程有兩個不相等的實根 點評:“至少”、“至多”型問題的常規(guī)證法是反證法;本題首先否定結論,利用方程的根與判別式之間的關系進行推理,最終推出與已知矛盾的結果,從而肯定命題的正確性。借助反證法,整個推理過程順理成章,試想一下如果不用反證會將如何? 四、解決存在型問題時有時可用反證法 例4 已知數(shù)列中,,a為正實數(shù), (1)若,試求a的取值范圍。 (2)是否存在正實數(shù)a,使對任意恒成立。 解(1) ∴ ∵,∴ (2)不存在正實數(shù)a,使對任意恒成立。下面用反證法加以證明。 假設存在正實數(shù)a,對任意,使恒成立,則,恒成立。 ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 即 故取,即,有,則與矛盾,因此,不存在正實數(shù)a,使,對,恒成立。 點評:“存在”就是有,證明有或者可以找出一個也行?!安淮嬖凇本褪菦]有,找不到。這類問題常用反證法加以認證?!笆欠翊嬖凇钡膯栴},結論有兩種:如果存在,找出一個來;如果不存在,需說明理由,這時,通常用反證法。 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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