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1、
例談反證法在解題中的應(yīng)用
反證法是一種間接證法.它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法.反證法證題的步驟大致分為三步:
?。?)反設(shè):作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè);
?。?)歸謬:由反設(shè)出發(fā),導(dǎo)出矛盾結(jié)果;
(3)作出結(jié)論:證明了反設(shè)不能成立,從而證明了所求證的結(jié)論成立.
其中,導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵,通常有以下幾種途徑:與已知矛盾,與公理、定理矛盾,與假設(shè)矛盾,自相矛盾等.
一、證明“至多”或“至少”問題
例1 已知函數(shù)對其定義域內(nèi)的任意兩個實數(shù),當(dāng)時,都有.求證:至多有一個實數(shù)使得.
證明:假設(shè)存在兩個不等實數(shù),使得.
不妨設(shè),由條件可知,與式矛盾.
2、
故至多有一個實數(shù)使得.
二、證明“不可能”問題
例2 給定實數(shù),且,設(shè)函數(shù),求證:經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于軸.
證明:假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點,使得直線平行于軸.
設(shè)且.由,
得,
解得.與已知矛盾.
故經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸.
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例3 雙曲線的兩支為,正三角形的三頂點位于此雙曲線上.求證:不可能在雙曲線的同一支上.
證明:假設(shè)正三角形的三頂點位于雙曲線同一支如上,其坐標分別為,不妨設(shè),則一定有.
于是
?。?
因此,.這說明是鈍角三角形,
3、與為正三角形矛盾.故不可能在雙曲線的同一支上.
三、證明“存在性”或“唯一性”問題
例4 已知函數(shù)的圖象過點.問是否存在常數(shù),使不等式對一切實數(shù)都成立?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
解:假設(shè)存在符合條件的.
的圖象過,
,即.
又對一切實數(shù)都成立,
令,則.
,,.
?。?
由得
據(jù)題意,對于任意實數(shù),與都成立.
對于,若,則,不合題意;若,欲使的解集為,則需即解得.
對于,再考慮,把代入,得,其解集為.
所以,存在滿足條件的,其中.
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