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1、
數(shù)學(xué)歸納法常見錯誤剖析
初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法常出現(xiàn)下面的錯誤，剖析如下：
1、不用假設(shè)致誤
例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：1。
錯證：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1，
所以等式成立。
②假設(shè)當時等式成立。
即。
那么當時，
，
也就是說當時，等式成立。
由①②知：對任何等式都成立。
剖析：用數(shù)學(xué)歸納法證明第②步驟時，在從“”到“的過程中，必須把的命題作為已給定的條件，要在這個條件基礎(chǔ)上去導(dǎo)出時的命題所以在推導(dǎo)過程中。故必須把時的命題用上，本解法錯因是對假設(shè)設(shè)而不用。
正解：①當時，左邊＝1，右邊＝＝1，
所以等式成立。
②假設(shè)當時等式成立。
即。
那么當時，
＝
2、
- 1 - / 3
。
即當時，等式成立。
由①②知：對任何等式都成立。
2、盲目套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟致誤
例2當為正奇數(shù)時，能否被8整除？若能用數(shù)學(xué)歸納法證明。若不能請舉出反例。
證明：⑴當n=1時，7＋1＝8能被8整除。命題成立。
⑵假設(shè)當n=k時命題成立。即能被8整除。
則 當n=k+1時，不能8整除.
由（1）（2）知n為正奇數(shù)。7不能被8整除
分析：錯因;機械套用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟，而忽略了n是整奇數(shù)的條件。
證明前要看準已知條件。
正解（2）n=k時命題成立，即7能被8整除。
當n=k+
3、2時，
＝49（7
因7能被8整除。且48能被8整除。所以能被8整除。
所以當 n=k+2時 命題成立 。
由⑴⑵知當 為正奇數(shù)時，7能被8整除。
三 沒有搞清從k 到k+1的跨度
例3：求
4、證：
錯證：（1）當 ＝1時，不等式成立。
（2） 假設(shè)n=k時命題成立，即
則當n=k+1時，
就是說當n=k+1時不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。
點評：上述證明中，從k 到k+1的跨度，只加了一項是錯誤的，分母是相臨的自然數(shù)，故應(yīng)是，跨度是三項。
正確證法：（1）當＝1時，左邊＝，不等式成立。 （2）假設(shè)n=k時命題成立，即，
則當n=k+1時，
＝（）＋＋
>1＋
=1＋。
這就是說，當時，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。
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