《高中數(shù)學(北師大版)選修2-2教案:第1章 例析反證法的應用》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學(北師大版)選修2-2教案:第1章 例析反證法的應用(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
例析反證法的應用
我們知道,反證法是先否定結(jié)論成立,然后依據(jù)已知條件以及有關的定義、定理、公理,逐步導出與定義、定理,公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論,從而肯定原結(jié)論是正確的.反證法是間接證明的一種基本方法,是解決某些“疑難”問題的有力工具,也是數(shù)學上非構(gòu)造性證明中極為重要的方法,它對于處理存在性命題、否定性命題、唯一性命題和至少、至多性命題具有特殊的優(yōu)越性。現(xiàn)以例說明。
一 否定型命題
當結(jié)論為“否定性”的命題時,應用反證法。也就是說原題的結(jié)論出現(xiàn)“不可能……”、“不能表示為……”、“不是……”、“不存在……”、“不等于……”、“不具有某種性質(zhì)”等否定形式出現(xiàn)時,可考慮
2、使用反證法進行證明。
例1:試證不是有理數(shù)。
分析:要求證的結(jié)論是以否定的形式出現(xiàn)的,因此可應用反正法來進行證明。
證明:假設是有理數(shù),注意到,
可設(、為互質(zhì)的正整數(shù),且),
兩邊平方,得①,
表明,是2的倍數(shù),
因為是正整數(shù),故當是奇數(shù)時,令(),則,
- 1 - / 8
即是奇數(shù),與是2的倍數(shù)矛盾。
當是偶數(shù),又可設(),代入①式,整理后得②,②式表明,是2的倍數(shù)。這樣與都是2的倍數(shù),它們至少有公因數(shù)2,與所作假定、為互質(zhì)的正整數(shù)相矛盾。
因此不是有理數(shù)。
點評:在應用反證法證題時,必須按“反設——歸謬——結(jié)論”的步驟進行,反正法的難點在于如何從假設中推出矛盾
3、,從而說明假設不成立。本題從假設中推出的結(jié)論是與自身相矛盾
二 存在性命題
當命題的結(jié)論是以存在性的形式出現(xiàn)時,宜用反證法。也就是說,解決存在性探索命題的總體策略是先假設結(jié)論存在,并以此進行推理,若推出矛盾,即可否定假設;若推出合理結(jié)果,經(jīng)驗證成立即可肯定假設正確。
例2、直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A,B,⑴求實數(shù)的范圍;⑵是否存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點?若存在求出的值;若不存在,說明理由。
分析:第(1)提示求參數(shù)范圍的常規(guī)題,第⑵問是一道探討結(jié)論是否存在的開放性命題,為此先假設結(jié)論存在并在此假設的條件下進行一系列的推導,或推出矛盾或驗證成立。
解:⑴略
4、可求得。
⑵由消去y得,①
設A、B兩點的坐標為,則時方程①的兩解
所以,
假設存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點,
則,得,
即
整理得,
將及帶入上式,得 ,
解得或 (舍去)
從而存在實數(shù)使得以線段為直經(jīng)的圓經(jīng)過雙曲線的右焦點。
點評:在本題在假設的條件下推導出的結(jié)果并沒有出現(xiàn)矛盾,而是驗證了存在符合題設條件的實數(shù),從判斷結(jié)論存在,對于探究具有某種性質(zhì)的存在性問題,一般先由特例探求結(jié)果的存在性,然后進行論證。
三 “至少”、“至多” 型命題
當命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”的形式出現(xiàn)時,可考慮應用反證法來解決。
例3、設均為實數(shù),且
5、,,
求證:中至少有一個大于0。
分析:如果直接從條件出發(fā)推證,方向不明,思路不清,不移入手,較難,說證結(jié)論是以“至少”形式出現(xiàn),因而可用反證法證明。
證明:設中都不大于0,即
而
,這與矛盾,
故中至少有一個大于0
點評:當遇到命題的結(jié)論是以“至多”“至少”等形式給出時,一般是多用反證法;應注意
“至少有一個” “都是”的否定形式分別是“一個也沒有” “不都是”,本題是一個自相矛盾的題目類型。
四 “唯一”性命題,
若命題的結(jié)論是以“唯一”、“ 有且只有一個”等形式出現(xiàn)時,可用反證法進行證明。
例4、求證:兩條相交直線有且只有一個交點。
分析:此題是含
6、有“ 有且只有一個”的命題,可考慮用反證法進行證明。
證明:假設結(jié)論不成立,則有兩種情況:或者沒有交點,或者不只一個交點。
如果直線沒有交點,那么∥,這與已知矛盾;
如果直線不只有一個交點,則至少交于點,這樣經(jīng)過兩點就有兩條直線,這與兩點確定以直線矛盾。
由(1)和(2)可知,假設錯誤,
所以,兩條相交直線有且只有一個交點。
點評:此題是證明一個命題的充要條件,用反證法證明了它的否定,從而獲得結(jié)論正確,也可正面證明,需證明存在性和唯一性。在證明唯一性命題時,應找出除這一個元素外的其它的所有元素,并逐一推導出矛盾,排除掉。
五 肯定型命題
有些命題結(jié)論是以“都有”“所
7、有” “都是”等形式出現(xiàn)時,我們在進行證明時,也往往采用反證法。
例5、設函數(shù)對定義域上任意實數(shù)都有,且成立。
求證:對定義域內(nèi)的任意都有。
分析:這是一個肯定型命題,可考慮用反正發(fā)來進行證明。
證明:假設滿足體設條件的任意都有部成立,即存在某個有,
, ,
又因為,這與假設矛盾。
假設不成立,故對定義域內(nèi)的任意都有。
點評:在反設命題的結(jié)論時要注意正確寫出結(jié)論的否定形式是非常重要的。在本體中對“任意都有”的否定是“存在某個有”
六 證明不等式
對于證明不等式,有時直接進行證明因較抽象、不明朗,一時還難以找出解題思路,其反面常卻出現(xiàn)的條件較多、較具體,又較
8、容易尋找解題思路,因此也??紤]用反證法進行證明。
例6、已知函數(shù)是上的增函數(shù),,試判斷命題“若,則”的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論。
分析:先寫出逆命題,然后證明不等式,而直接證明的條件較少,因此應用反證法。
證明:逆命題為:“若,則?!庇梅醋C法進行證明:
假設,則
因為函數(shù)是上的增函數(shù),
所以有,
兩式相加得,
這與已知矛盾,
故只有,逆命題成立。
點評:反正法常用于直接證明較困難的不等式,也是不等式證明的一種常用方法。
以上我們介紹了反證法的經(jīng)常應用的幾種類型,由此可以看出它有相當廣泛的應用,正難則反是反證法的特點,因為如果由一個命題直接得到的結(jié)論很少、較抽象、較困難時,其反面常會有較多、較具體、較容易的信息結(jié)論,這樣反證法就為一些從正面入手,無法使已知條件和結(jié)論找出聯(lián)系的問題,提供了一條解題途徑,它是通過給出合理的反設,來增加演繹推理的前提,從而使那種只依靠所給前提而變得山窮水盡的局面,有了柳岸花明又一村的境地。當然要想再接題中用好反證法,這還要有待于平時訓練和不斷的積累。
希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!