高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案:第1章 數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用

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1、 數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法,是證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種重要方法,也是高考的熱點(diǎn)問題之一.不但要求能用數(shù)學(xué)歸納法證明現(xiàn)成的結(jié)論,而且加強(qiáng)了對(duì)于不完全歸納法應(yīng)用的考查.既要求善于發(fā)現(xiàn)、歸納結(jié)論,又要求能證明結(jié)論的正確性.?dāng)?shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用十分廣泛.下面就數(shù)學(xué)歸納法在證明恒等式中的應(yīng)用問題加以規(guī)律總結(jié)與實(shí)例剖析. 1.證明恒等式中的規(guī)律 數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的恒等式問題,其一般規(guī)律及方法: 關(guān)鍵在于第二步,它有一個(gè)基本格式,不妨設(shè)命題為:P(n):f(n)=g(n), 其第二步相當(dāng)于做一道條件等式的證明題:已知:f(k)=g

2、(k),求證:f(k+1)=g(k+1). 通常可采用的格式分為三步: (1)找出f(k+1)與f(k)的遞推關(guān)系;(2)把歸納假設(shè)f(k)=g(k)代入;(3)作恒等變形化為g(k+1). 示意圖為: 結(jié)構(gòu)相同 遞推 恒等變形 歸納假設(shè) f(k+1)=f(k)+ak=g(k)+ak=g(k+1) 當(dāng)然遞推關(guān)系不一定總是象f(k+1)=f(k)+ak這樣的表達(dá)式,因此更為一般性的示意圖為: f(k+1)=F[f(k),k,f(1)]=F[g(k),k,g(1)]=g(k+1). 2.證明恒等式中的應(yīng)用 (1)代數(shù)恒等式的證明 例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+4+7+…

3、+(3n-2)=n(3n-1)(n∈N*). 分析:在第二步的證明過程中通過利用歸納假設(shè),結(jié)合等式的變換與因式分解、變形,從而得以證明. 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,所以當(dāng)n=1時(shí),命題成立; - 1 - / 4 (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)命題成立,即1+4+7+…+(3k-2)=k(3k-1), 則當(dāng)n=k+1時(shí), 1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)[3(k+1)-1], 即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立; 根據(jù)(1)、(2)可知,對(duì)一切n∈N*,命題成

4、立. 點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法的證明過程非常講究“形式”,歸納假設(shè)是必須要用到的,假設(shè)是起到橋梁作用的,橋梁不用或是斷了,數(shù)學(xué)歸納就通不過去了,遞推性無(wú)法實(shí)現(xiàn).在由n=k時(shí)結(jié)論正確證明n=k+1時(shí)結(jié)論也正確的過程中,一定要用到歸納假設(shè)的結(jié)論,即n=k時(shí)結(jié)論. 變形練習(xí)1:已知n∈N*,證明:1-+-+…+-=++…+. 答案:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1-=,右邊=,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即有1-+-+…+-=++…+, 那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1-+-+…+-+-=++…++-=++…++[-]=++…++=右邊, 所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立; 綜合(1)、(2)

5、知對(duì)一切n∈N*,等式都成立. (2)三角恒等式的證明 例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(n-1)xtannx= -n(n≥2,n∈N*). 分析:本題在由假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,推導(dǎo)當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立時(shí),要靈活應(yīng)用三角公式及其變形公式.本題中涉及到兩個(gè)角的正切的乘積,聯(lián)想到兩角差的正切公式的變形公式:tanαtanβ=-1,問題就會(huì)迎刃而解. 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=tanxtan2x=tanx=,右邊=-2=-2=-2=,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí),等式成立,即tanxtan2x+tan2

6、xtan3x+…+tan(k-1)xtankx=-k, 則當(dāng)n=k+1時(shí),tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(k-1)xtankx+tankxtan(k+1)x=-k+tankxtan(k+1)x, (*) 由tanx=tan[(k+1)x-kx]=, 可得tankxtan(k+1)x=-1, 代入(*)式,可得右邊=-k+-1=-(k+1), 即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan(k-1)xtankx+tankxtan(k+1)x=-(k+1), 即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立; 由(1)、(2)知等式對(duì)任何n∈N*都成立. 點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸

7、納法在第二步的證明中,“當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論正確”這一歸納假設(shè)起著已知的作用,“當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確”則是求證的目標(biāo).在這一步中,一般首先要先湊出歸納假設(shè)里給出的形式,以便利用歸納假設(shè),然后再進(jìn)一步湊出n=k+1時(shí)的結(jié)論.要正確選擇與命題有關(guān)的知識(shí)及變換技巧. 變形練習(xí)2:用數(shù)學(xué)歸納法證明:coscoscos…cos=(n∈N*). 答案:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=cos,右邊===cos,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立,即有coscoscos…cos= 則當(dāng)n=k+1時(shí),coscoscos…coscos=cos =cos=,即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立; 由(1)、(2)知等式對(duì)任何n∈N*都成立. 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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