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1、
類比推理應(yīng)用中錯(cuò)誤辨析
類比在數(shù)學(xué)思維中的作用主要表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出猜想、建立模型。歐拉曾經(jīng)說(shuō)過(guò),類比是偉大的引路人,他曾多次利用類比的方法做出重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。然而,類比推理在所有的推理中是最不嚴(yán)格、最不確定的,它是一種或然推理,其結(jié)論正確與否有待實(shí)踐來(lái)證明。本文所舉幾例正是學(xué)生在解題正不恰當(dāng)?shù)睦妙惐戎率菇忸}失誤。
應(yīng)用類比推理時(shí)只有本質(zhì)相同或相近的事物才能進(jìn)行類比,如果把僅僅形式上相似而本質(zhì)上都不相同的事物不分青紅皂白的亂用類比,就會(huì)造成錯(cuò)誤。
1、性質(zhì)類比致誤
例1、函數(shù)的最小正周期是____________.
錯(cuò)解:因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx的最小正周期是,所以函
2、數(shù)的最小正周期是.
剖析:先前研究過(guò)函數(shù)的周期性,由其圖象(圖1)可知它的最小正周期是y=sinx周期的一半,由此類比;認(rèn)為的周期就是y=tanx周期的一半。
現(xiàn)作出的圖象(圖2),易見(jiàn)其最小正周期仍為.
2、方法類比致誤
例2、一張三角形紙片內(nèi)有99個(gè)點(diǎn),連同該三角形的頂點(diǎn)共102個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)無(wú)任何三點(diǎn)共線。若以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)把三角形紙片剪成小三角形,可得到小三角形紙片( )個(gè)。
A、 B、 C、200 D199
錯(cuò)解:從這99(或102)個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn),可以得到三角形的個(gè)數(shù)為
- 1 - / 4
3、
(或),因而選A(或B)
剖析:此題初看似幾何組合問(wèn)題,因而誤用組合計(jì)數(shù)來(lái)計(jì)算結(jié)果。但△DEC顯然不合要求(圖3)是否可用“去雜法”求解呢?事實(shí)證明這一想法也很難實(shí)現(xiàn),下面給出兩種正確解決方案:
解法1:設(shè)△ABC內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)所得符合條件的小三角形的個(gè)數(shù)我f(n),當(dāng)增加一個(gè)點(diǎn)H后(圖4),點(diǎn)H將它所在的△BCF又分成了3個(gè)小三角形:△BFH、△BCH、△CFH,即每增加一個(gè)點(diǎn)后,小三角形的個(gè)數(shù)就增加兩個(gè),于是有fn+1)=f(n)+2,所以f(n)是公差為2的等差數(shù)列,且首項(xiàng)f(1)=3,所以f(n)=2n+1,則
f(99)=299+1=199個(gè),因而選D.
解
4、法2:將圖3中△ABC內(nèi)各點(diǎn)全部“拎”起,使之成為一個(gè)凸多面體(圖5),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:已知一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=102,每個(gè)面都是三角形,求其面數(shù)F.
因?yàn)槔銛?shù)E=F,代入歐拉公式V+F=E+2得102+F=F+2,所以F=200,注意到△ABC已被剪掉,所以正確結(jié)果我200-1=199個(gè),選D.
點(diǎn)評(píng):這一解法將平面圖形類比到空間圖形,轉(zhuǎn)化為多面體的面數(shù)問(wèn)題,進(jìn)而利用歐拉公式來(lái)處理,手法之新穎令人拍案叫絕。
3、類比法則產(chǎn)生錯(cuò)誤
例3、求方程有實(shí)數(shù)根的條件。
解:因?yàn)樵匠逃袑?shí)數(shù)根,所以,所以,當(dāng)時(shí),原方程有實(shí)根。
剖析:本題的方程是虛系數(shù)方程,條件既不是它有實(shí)
5、數(shù)根的充分條件,也不是必要條件。
正解:設(shè)方程有一實(shí)數(shù)根,則有
所以,=0……………………………………(1)
………………………………………(2)
由(2)得=-b,代入(1)得
所以,當(dāng)b=0或b=1時(shí),原方程有實(shí)數(shù)根。
點(diǎn)評(píng):在復(fù)數(shù)的運(yùn)算這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,首先要正確理解復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算法則的條件和實(shí)質(zhì)。然后要明確實(shí)數(shù)集的運(yùn)算性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中哪些仍然適用,哪些又不適用,不能適用的要防止實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集的負(fù)遷移。即:
(1)|Z|2≠Z2
(2)Z1-Z2不能確定正負(fù);
(3)Z2≥0不成立;
(4)Z12+Z22=0不能推出Z1=0,Z2=0;
(5)
6、實(shí)數(shù)集內(nèi)的根式運(yùn)算法則在復(fù)集內(nèi)受到很大的約束,要盡量避免在復(fù)數(shù)運(yùn)算中使用根號(hào),防止濫用根式運(yùn)算法則。在復(fù)數(shù)各種運(yùn)算法則的應(yīng)用吵僅要注重真正用,更重要的是要注重其逆向應(yīng)用和變形應(yīng)用。
例4、若a、b都是非零向量,a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,則a與b的夾角為_(kāi)_______.
錯(cuò)解:由題意得 即
(1) -(2)得:46a.b=23b,即:2a.b=b…………………………………………(3)
消去b得:2a=b
所以:,所以
剖析:在(3)中,不能約去b得出2a=b,這一點(diǎn)與實(shí)數(shù)乘法是不同的。把(3)代入(1),可得于是cos所以,即a與b的夾角為。
從以上幾例可以看出,類比作為一種推理方法,既能成就偉大的發(fā)現(xiàn),也會(huì)導(dǎo)致“美麗”的錯(cuò)誤,所以在學(xué)習(xí)中既要大膽地、創(chuàng)造性地運(yùn)用類比的方法提出猜想,也應(yīng)明確類比并不是 具有證明效果的推理方法,對(duì)類比的結(jié)果應(yīng)始終保持謹(jǐn)慎、探究的科學(xué)態(tài)度。通過(guò)圖形印證、特例反駁等各種手段進(jìn)行檢驗(yàn),謹(jǐn)防類比惹了“禍”。
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