高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第2章 拓展資料：活用導數(shù)四則運算法則求函數(shù)的導數(shù)

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1、 活用導數(shù)四則運算法則求函數(shù)的導數(shù) 導數(shù)的運算是進一步學習導數(shù)的基礎，導數(shù)的四則運算更是導數(shù)后續(xù)學習的基石。高考說明中對導數(shù)的運算部分為B級（理解）要求，課程標準中也指出要求學生會利用導數(shù)的運算法則來求解導數(shù)，同時也應該避免過量的形式化的運算練習。下面通過實例幫助同學們進一步的理解四則運算法則： 一、函數(shù)的和、差的導數(shù) 例1、求下列函數(shù)的導數(shù) （1），（2）， 析：根據(jù)導數(shù)的加減運算法則： 易求得導數(shù)。 解：（1） ， （2） 點評：記住常見函數(shù)的導數(shù)是正確求解導數(shù)的關鍵，另外函數(shù)和、差的導數(shù)公式推廣到多個函數(shù)的和、差形式后仍然成立。 同步練習：（1） （

2、2） 答案：（1）, (2) 二、函數(shù)的積的導數(shù) 例2、求下列函數(shù)的導數(shù) （1）, (2) 析：牢記，特別要注意不要和進行混淆。同時要記住若C為常數(shù)，則，由此進一步可以得到。 解：（1）法一： 法二：因為，故 （2）法一： 法二：原式可化簡為，故 - 2 - / 8 點評：一般地，在可能的情況下盡量少用或者不用乘法的導數(shù)法則，所以在求導之前，應利用代數(shù)、三角恒等變形等對函數(shù)進行化簡，然后再求導，這樣可以減少運算量，從而提高運算速度，避免差錯。 同步練習：（1）， （2） 答案：（1）， （2） 三、函數(shù)的商的導數(shù) 例3、求

3、下列函數(shù)的導數(shù) （1） （2） （3） 析：正確利用商的導數(shù)的求導法則即可，要避免發(fā)生，及這樣的錯誤。對于（2）表面看不符合商式的運算形式，但是切化弦后不難發(fā)現(xiàn)易用公式求解。 解：（1）, (2)因為。故 （3）因為，故 點評：本題的（3）應引起同學們的注意，對于比較復雜的函數(shù)，如果直接套用求導法則，會使求導過程繁瑣冗長，且易出錯，此時可將解析式進行合理變形，轉化為較易求導的結構形式，再求導數(shù)。 同步練習：（1）函數(shù)的導數(shù)為 。 （2）設，則y′= 。 （3）函數(shù)的導數(shù)

4、為 。 答案：（1）， （2），故， （3），故。 四、導數(shù)運算法則的綜合運用 例4、（1）已知，則 。 （2）已知，則= 。 析：（1）本題中理解為一個常數(shù)為解題的關鍵。(2)要根據(jù)試題式子結構以及求解結論靈活運用導數(shù)的乘法法則即可。 解：（1）由題意，令，，于是。 （2）令，于是，所以，令。 點評：賦值思想在（1）中得到了很好的體現(xiàn)，整體思想在（2）中也被發(fā)揮的淋漓盡致，同學們要好好體會這兩種思想方法。 同步練習：（1）已知，則 。 (2)設，則=

5、 。 答案：（1）由例題知，故在中令得7。 （2）令，則，故。 例5、（1）已知，且函數(shù)在出切線的斜率為20，求值。 （2）若函數(shù)處的導數(shù)值與函數(shù)值互為相反數(shù)，求得值。 析：對于（1）由導函數(shù)在某點處的函數(shù)值的幾何意義為該點處切線的斜率這一結論易求得 的值；對于（2）正確求導后利用條件可求。 解：（1）由題意，故，因為函數(shù)在出切線的斜率為20。 （2）因為，故由題意，。 點評：對于（1）也可以利用復合函數(shù)的求導法則進行。高考一般不會直接考查導數(shù)的四則運算，而是和其他知識點綜合考查。這類題目屬于中低檔題，只要方法得當，運算準確便可得分。 同步練

6、習：（1）已知函數(shù)，且，求。 （2）函數(shù)，若求值。 答案：（1），由，得。 （2）因為，由得，故。 例6、已知函數(shù)，滿足，，求函數(shù)的圖像在處的切線方程。 析：本題特點是抽象函數(shù)，但是只要抓住題目的特征及導數(shù)的幾何意義問題亦不難解決。 解：由題意，故 ，又，，故切線方程為，即。 點評：本題為蘇北五市（徐淮連宿鹽）2008第三次調研試題，當時從統(tǒng)計看得分率并不高，主要原因是：一、導數(shù)的運算法則用錯，二、在代入有關數(shù)值或者運算時出錯。從這提醒同學們要加強運算能力的訓練，爭取考試中不出現(xiàn)非智力失分。 希望同學們要透徹理解函數(shù)求導法則的結構內涵，注意挖掘知識的內在聯(lián)系及其規(guī)律，多體會公式運用的技巧、方法，以達到鞏固知識、提升能力的目的。 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！