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1、
變化率與導(dǎo)數(shù)問題小結(jié)
一、求割線的斜率
例1 過曲線上兩點和作曲線的割線，求當(dāng)時割線的斜率．
分析：割線的斜率即為函數(shù)從1到的平均變化率．
解：，
割線的斜率為．
當(dāng)時，設(shè)割線的斜率為，
則．
評注：一般地，設(shè)曲線是函數(shù)的圖象，是曲線上的定點，點是上與點鄰近的點，有，，，割線的斜率為．
二、求平均速度
例2 自由落體的運動方程班車，計算從3s到3．1s，3．01s，3．001s各段內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）
分析：要求平均速度，就是求的值．
解：設(shè)在內(nèi)的平均速度為，則（s），
（m）．
（m/s）；
同理，得（m/s）；（
2、m/s）．
評注：當(dāng)?shù)闹翟叫r，其平均速度就越近于一個定值．
- 1 - / 3
三、求瞬時速度
例3 以初速度作豎直上拋運動的物體，秒時的高度為，求物體在時刻處的瞬時速度．
分析：先求出，再求出，當(dāng)時，的極限即為所求．
解：
，
．
當(dāng)時，．
物體在時刻處的瞬時速度為．
評注：求瞬時速度的實質(zhì)就是求位置增量與時間增量比的極限．
四、利用定義求導(dǎo)數(shù)
例4 已知，求及在處的導(dǎo)數(shù)．
分析：按求導(dǎo)數(shù)的步驟求解，但要注意變形的技巧．
解：，
．
．
在處的導(dǎo)數(shù)為．
評注：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，在點處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在處的函數(shù)值，分子有理化是解該類題重要的變形技巧之一．
五、創(chuàng)新應(yīng)用問題
例5 已知，求適合的x值．
分析：要求x的值，需利用導(dǎo)數(shù)的定義求出，然后解方程．
解：由導(dǎo)數(shù)公式，易得，，
∵，∴，即，
解得或．
評注：本題將求導(dǎo)數(shù)與解方程結(jié)合起來考查，新穎別致．
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