《點集拓撲學》第二章-拓撲空間與連續(xù)映射-學習筆記(總41頁)

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1、 第2章　度量空間與連續(xù)映射 從數(shù)學分析中已經熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分．在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見2.1）．然后將兩者再度抽象，給出拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射（參見2.2）．隨后再逐步提出拓撲空間中的一些基本問題如鄰域，閉包，內部，邊界，基和子基，序列等等． 2.1　度量空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點：掌握拓撲學中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念． 注意區(qū)別：數(shù)學分析中度量、連續(xù)映射

2、的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念． 注意，在本節(jié)的證明中,應細細體會證明的方法． 首先讓我們回憶一下在數(shù)學分析中學習過的連續(xù)函數(shù)的定義．函數(shù)f：R→R稱為在點∈R處是連續(xù)的，如果對于任意實數(shù)ε＞0，存在實數(shù)δ＞0，使得對于任何x∈R，當|x-|<δ時,有|f(x)-f()|<ε.在這個定義中只涉及兩個實數(shù)之間的距離（即兩個實數(shù)之差的絕對值）這個概念；為了驗證一個函數(shù)在某點處的連續(xù)性往往只要用到關于上述距離的最基本的性質，而與實數(shù)的其它性質無關，關于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似．以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念. 定義2.1.1　設X是一個集合，ρ：XX

3、→R．如果對于任何x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0當且僅當x=y； （2）(對稱性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 則稱ρ是集合X的一個度量． 如果ρ是集合X的一個度量，稱（X，ρ）是一個度量空間，或稱X是一個對于ρ而言的度量空間．有時，或者度量ρ早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時我們稱X是一個度量空間．此外，對于任意兩點x，y∈X，實數(shù)ρ(x，y)稱為從點x到點y的距離． 著重理解：度量的本質是什么？ 例2.1.1　實數(shù)空間R． 對于實數(shù)集合R

4、，定義ρ：RR→R如下：對于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易驗證ρ是R的一個度量，因此偶對（R，ρ）是一個度量空間．這個度量空間特別地稱為實數(shù)空間或直線．這里定義的度量ρ，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實數(shù)空間．（今后我們說實數(shù)空間，均指具有通常度量的實數(shù)空間．） 　　 例2.1.2　n維歐氏空間． 對于實數(shù)集合R的n重笛卡兒積 ＝RR…R 定義ρ：→R如下：對于任意x=（）, y=， 令 ρ（x，y）＝ 容易驗證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）ρ是的一個度量，因此偶對(，ρ)是一個度量空間．這個度量空間特別地稱為n維歐氏空間．這里定義的度量ρ，稱

5、為的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間．2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面．（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量） 　　 例2.1.3　Hilbert空間H． 記H為平方收斂的所有實數(shù)序列構成的集合，即 H＝{x=()|<∞} 定義ρ如下：對于任意 x＝（），y＝（）∈H 令ρ(x,y)= 說明這個定義是合理的（即驗證<∞）以及驗證ρ是H的一個度量，均請參見課本本節(jié)最后部分的附錄．偶對（H，ρ）是一個度量空間．這個度量空間特別地稱為Hilbert空間．這里定義的度量ρ稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間． 　　 例2.1.4　離

6、散的度量空間． 設（X，ρ）是一個度量空間．稱（X，ρ）是離散的，或者稱ρ是X的一個離散度量，如果對于每一個x∈X，存在一個實數(shù)＞0使得ρ（x，y）＞對于任何y∈X，x≠y，成立． 例如我們假定X是一個集合，定義ρ：XX→R使得對于任何 x，y∈X，有 ρ(x,y)= 容易驗證ρ是X的一個離散的度量，因此度量空間（X，ρ）是離散的． 通過這幾個例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實數(shù)． 離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會發(fā)現(xiàn)它的性質是簡單的． 定義2.1.2　設（X，ρ）是一個度量空間，x∈X．對于任意給定的實數(shù)ε＞0，集合 {y∈X|ρ（

7、x，y）<ε} 記作B（x，ε），或，稱為一個以x為中心以ε為半徑的球形鄰域,簡稱為x的一個球形鄰域，有時也稱為x的一個ε鄰域． 此處的球形鄰域是球狀的嗎？ 定理2.1.1　度量空間（X，ρ）的球形鄰域具有以下基本性質： （1）每一點x∈X,至少有一個球形鄰域，并且點x屬于它的每一個球形鄰域； （2）對于點x∈X的任意兩個球形鄰域，存在x的一個球形鄰域同時包含于兩者； (3) 如果y∈X屬于x∈X的某一個球形鄰域，則y有一個球形鄰域包含于x的那個球形鄰域． 證明:（1）設x∈X．對于每一個實數(shù)ε＞0，B（x，ε）是x的一個球形鄰域，所以x至少有一個球形鄰域；由于ρ（x，x）

8、=0，所以x屬于它的每一個球形鄰域． (2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的兩個球形鄰域，任意選取實數(shù) ε＞0，使得ε＜min{ }，則易見有 B（x，ε）B（x，）∩B（x，） 即B（x，ε）滿足要求． （3）設y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．顯然．＞0．如果z∈B（y，），則 ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε 所以z∈B（x，ε）．這證明B（y，）B（x，ε）． 定義2.1.3　設A是度量空間X的一個子集．如果A中的每一個點都有一個球形鄰域包含于A（即對于每一個a∈A，存在實數(shù)ε＞0使得B（a，ε）A，則稱A是度量空間X中的一個

9、開集． 注意：此處的開集僅是度量空間的開集． 例2.1.5　實數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集． 設a，b∈R，a＜b．我們說開區(qū)間 （a，b）={x∈R|a＜x＜b} 是R中的一個開集．這是因為如果x∈（a，b），若令 ε＝min{x-a，b-x}， 則有B（x，ε）（a，b）．也同樣容易證明無限的開區(qū)間 （a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b} （-∞,∞）＝R 都是R中的開集．然而閉區(qū)間 [a，b]={x∈R|a≤x≤b} 卻不是R中的開集．因為對于a∈[a，b]而言，任何 ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．類似地，半開半閉的區(qū)間 （

10、a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b} 無限的閉區(qū)問 [a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b} 都不是R中的開集． 定理2.1.2　度量空間X中的開集具有以下性質： （1）集合X本身和空集都是開集； （2）任意兩個開集的交是一個開集； （3）任意一個開集族（即由開集構成的族）的并是一個開集． 證明　根據(jù)定理2.1.1 （1）X中的每一個元素x都有一個球形鄰域，這個球形鄰域當然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集中不包含任何一個點，也自然地可以認為它滿足開集的條件． （2）設U和V是X中的兩個開集．如果x∈U∩V，

11、則存在x的一個球形鄰域B（x，）包含于U，也存在x的一個球形鄰域B（x，）包含于V．根據(jù)定理，x有一個球形鄰域B（x，ε）同時包含于B（x，）和B（x，），因此 B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V 由于U∩V中的每一點都有一個球形鄰域包含于U∩V，因此U∩V是一個開集． （3）設*Α是一個由X中的開集構成的子集族．如果，則存在∈*A使得x∈由于是一個開集，所以x有一個球形鄰域包含于，顯然這個球形鄰域也包含于．這證明是X中的一個開集． 此外，根據(jù)定理，每一個球形鄰域都是開集． 　　 球形鄰域與開集有何聯(lián)系？ 為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點推廣． 定義

12、2.1.4　設x是度量空間X中的一個點，U是X的一個子集．如果存在一個開集V滿足條件：x∈VU，則稱U是點x的一個鄰域． 下面這個定理為鄰域的定義提供了一個等價的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情． 定理2.1.3　設x是度量空間X中的一個點．則X的子集U是x的一個鄰域的充分必要條件是x有某一個球形鄰域包含于U． 證明 如果U是點x的一個鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得 x∈VU，又根據(jù)開集的定義，x有一個球形鄰域包含于V，從而這個球形鄰域也就包含于U．這證明U滿足定理的條件． 反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域． 現(xiàn)在我們把數(shù)

13、學分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射． 定義2.1.5　設X和Y是兩個度量空間，f:X→Y，以及∈X如果對于f()的任何一個球形鄰域B（f(),ε），存在的某一個球形鄰域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），則稱映射在點處是連續(xù)的． 如果映射f在X的每一個點x∈X處連續(xù)，則稱f是一個連續(xù)映射． 以上的這個定義是數(shù)學分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣．因為如果設ρ和分別是度量空間X和Y中的度量，則f在點處連續(xù)，可以說成：對于任意給定的實數(shù)ε＞0，存在實數(shù)δ＞0使得對于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有 (f(x),f())＜ε.（即f(x)

14、∈B（f()，ε））． 下面的這個定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射的出發(fā)點． 定理2.1.4　設X和Y是兩個度量空間，f：X→Y以及∈X．則下述條件（1）和（2）分別等價于條件（1）*和（2）*： （1）f在點處是連續(xù)的； （1）*f()的每一個鄰域的原象是的一個鄰域； （2）f是連續(xù)的； （2）*Y中的每一個開集的原象是X中的一個開集． 證明　條件（1）蘊涵（1）*：設（1）成立．令U為f（）的一個鄰域．根據(jù)定理2.1.3，f（）有一個球形鄰域B（f（），ε）包含于U．由于f在點處是連續(xù)的，所以有一個球形鄰域 B（，δ）使

15、得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以 B（，δ）（U），這證明（U）是的一個鄰域． 條件（1）*蘊涵（1）．設條件（1）*成立．任意給定f（）的一個鄰域B（f(),ε），則（B（f()，ε）是的一個鄰域．根據(jù)定理2.1.3，有一個球形鄰域B（，δ）包含于 （B（f（），ε）． 因此f（B（，δ））B（f（），ε）．這證明f在點處連續(xù)． 條件（2）蘊涵（2）*．設條件（2）成立．令V為Y中的一個開集， U＝（V）．對于每一個x∈U，我們有f（x）∈V．由于V是一個開集，所以V是f（x）的一個鄰域．由于f在每一點處都連續(xù)，故根據(jù)（1）*，U是x的一個鄰域．

16、于是有包含x的某一個開集Ux使得UxU．易見U＝∪x∈UUx．由于每一個Ux都是開集，根據(jù)定理2.1.2，U是一個開集． 條件（2）*蘊涵（2）．設（2）*成立，對于任意x∈X，設U是f（x）的一個鄰域，即存在包含f（x）的一個開集V U．從而x∈（V）（U）．根據(jù)條件（2）*，（V）是一個開集，所以（U）是x的一個鄰域，對于x而言，條件（1）*成立，于是f在點x處連續(xù)．由于點x是任意選取的，所以f是一個連續(xù)映射． 從這個定理可以看出：度量空間之間的一個映射是否是連續(xù)的，或者在某一點處是否是連續(xù)的，本質上只與度量空間中的開集有關（注意，鄰域是通過開集定義的）．這就導致我們甩開度量這個概念，

17、參照度量空間中開集的基本性質（定理 作業(yè)： 　　P47 2.2　拓撲空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點: 拓撲與拓撲空間的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別: 拓撲空間的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同. 現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質（定理 定義2.2.1　設X是一個集合，τ是X的一個子集族．如果τ滿足如下條件： （l）X，∈τ ； （2）若A，B∈T　，則A∩B∈τ ； （3）若 則稱τ是X的一個拓撲． 如果τ是集合X的一個拓撲，則稱偶對（X，τ）是一個拓撲空間，或稱集合X是一個相對于拓撲τ而言

18、的拓撲空間；此外T的每一個元素都叫做拓撲空間（X，τ）或（X）中的一個開集．即：A∈τA是開集. （此定義與度量空間的開集的性質一樣嗎？留給大家思考） 經過簡單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊涵著：有限多個開集的交仍是開集，條件（3）蘊涵著：任意多個開集的并仍是開集． 現(xiàn)在首先將度量空間納入拓撲空間的范疇． 定義2.2.2　設（X，ρ）是一個度量空間令為由X中的所有開集構成的集族．根據(jù)定理2.1.2，（X，）是X的一個拓撲．我們稱為X的由度量ρ誘導出來的拓撲．此外我們約定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X，ρ）的拓撲時，指的就是拓撲；在稱度量空間（X，ρ）為拓撲

19、空間時，指的就是拓撲空間（X，） 因此，實數(shù)空間R，n維歐氏空間（特別，歐氏平面），Hilbert空間H都可以叫做拓撲空間，它們各自的拓撲便是由例2.1.1，例 例2.2.1　平庸空間． 設X是一個集合．令T ={X，}．容易驗證，T 是X的一個拓撲，稱之為X的平庸拓撲；并且我們稱拓撲空間（X，T）為一個平庸空間．在平庸空間（X，T）中，有且僅有兩個開集，即X本身和空集． 例2.2.2　離散空間． 設X是一個集合．令T =P（X），即由X的所有子集構成的族．容易驗證，T是X的一個拓撲，稱之為X的離散拓撲；并且我們稱拓撲空間（X，T）為一個離散空間.在離散空間（X，T）中，

20、X的每一個子集都是開集． 例2.2.3　設X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 容易驗證，T是X的一個拓撲，因此（X，T）是一個拓撲空間．這個拓撲空間既不是平庸空間又不是離散空間． 例2.2.4　有限補空間． 設X是一個集合．首先我們重申：當我們考慮的問題中的基礎集自明時，我們并不每次提起．因此在后文中對于X的每一個子集A，它的補集X－A我們寫為．令 T ={U X|是X的一個有限子集}∪{} 先驗證T是X的一個拓撲： （1）X∈T (因為=)；另外，根據(jù)定義便有∈T． （2）設A，B∈T如果A和B之中有一個是空集，則A∩B∈T,假定A

21、和B都不是空集．這時 是X的一個有限子集，所以A∩B∈T ． （3）設．令,顯然有 　　 如果，則 　　 設任意選?。@時是X的一個有限子集，所以 根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個拓撲，稱之為X的有限補拓撲．拓撲空間（X，P）稱為一個有限補空間． 例2.2.5　可數(shù)補空間． 設X是一個集合．令 T ={U X|是X的一個可數(shù)子集}∪{} 通過與例 是X的一個拓撲，稱之為X的可數(shù)補拓撲．拓撲空間（X，T ）稱為一個可數(shù)補空間． 一個令人關心的問題是拓撲空間是否真的要比度量空間的范圍更廣一點？換句話就是問：是否每一個拓撲空間的拓撲都可以由某一個度量誘導出來？

22、 定義2.2.3　設（X，P）是一個拓撲空間．如果存在X的一個度量ρ使得拓撲P即是由度量ρ誘導出來的拓撲 ，則稱（X，P）是一個可度量化空間． 根據(jù)這個定義，前述問題即是：是否每一個拓撲空間都是可度量化空間？從2．1中的習題2和3可以看出，每一個只含有限個點的度量空間作為拓撲空間都是離散空間．然而一個平庸空間如果含有多于一個點的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例，但不是離散空間，也不是可度量化的．由此可見，拓撲空間是比可度量空間的范圍要廣泛．進一步的問題是滿足一些什么條件的拓撲空間是可度量化的？這是點集拓撲學中的重要問題之一，以后我們將專門討論． 現(xiàn)在我們來將度

23、量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓撲空間之間的連續(xù)映射． 定義2.2.4　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．如果Y中每一個開集U的原象（U）是X中的一個開集，則稱f是X到Y的一個連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù)． 按這種方式定義拓撲空間之間的連續(xù)映射，明顯是受到了2．1中的定理，如果f:X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個連續(xù)映射，那么它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個連續(xù)映射，反之亦然．（按照約定，涉及的拓撲當然都是指誘導拓撲） 下面的這個定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質． 定理2.2.1　設X，Y和Z都是拓撲空間．則 （1）恒同映射：:X→X是一個

24、連續(xù)映射； （2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續(xù)映射，則 gof:X→Z也是連續(xù)映射． 證明（l），所以連續(xù)． 　　（2）設f:X→Y,g:Y→Z都是連續(xù)映射 　　 　　這證明gof連續(xù)． 在數(shù)學科學的許多學科中都要涉及兩類基本對象．如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學中考慮各自的圖形和各自的變換等等．并且對于后者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構，群論中的同構，集合論中的—一映射，以及初等幾何學中的剛體運動（即平移加旋轉）等等． 我們現(xiàn)在已經提出了兩類基本對象，即拓撲空間

25、和連續(xù)映射．下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關注． 定義2.2.5　設X和Y是兩個拓撲空間．如果f：X→Y是一個—一映射，并且f和：Y→X都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚． 定理2.2.2　設X，Y和Z都是拓撲空間．則 （1）恒同映射：X→X是一個同胚； （2）如果f：X→Y是一個同胚，則：Y→X也是一個同胚； （3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，則gof：X→Z也是一個同胚． 證明　以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理2.2.1，定理 l．5．3和定理1．5．4． （l）是一個—一映射，并且，都是連續(xù)的，從而是同胚． （2）設f：X→Y是一個同胚

26、．因此f是一個—一映射，并且f和 都是連續(xù)的．于是也是一個—一映射并且和也都是連續(xù)的，所以也是一個同胚． （3）設f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是連續(xù)的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是連續(xù)的．所以gof是一個同胚． 定義2.2.6　設X和Y是兩個拓撲空間．如果存在一個同胚f：X→Y，則稱拓撲空間X與拓撲空間Y是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y． 粗略地說，同胚的兩個空間實際上便是兩個具有相同拓撲結構的空間． 定理2.2.3　設X，Y和Z都是拓撲空間．則 （1）X與X同胚； （2）如來X與Y同胚，則Y與X同胚； （3）如

27、果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚． 證明從定理 根據(jù)定理2.2.3，我們可以說：在任意給定的一個由拓撲空間組成的族中，兩個拓撲空間是否同胚這一關系是一個等價關系．因而同胚關系將這個拓撲空間族分為互不相交的等價類，使得屬于同一類的拓撲空間彼此同胚，屬于不同類的拓撲空間彼此不同胚． 拓撲空間的某種性質P，如果為某一個拓撲空間所具有，則必為與其同胚的任何一個拓撲空間所具有，則稱此性質P是一個拓撲不變性質．換言之，拓撲不變性質即為同胚的拓撲空間所共有的性質． 拓撲學的中心任務便是研究拓撲不變性質． 至此我們已經做完了將數(shù)學分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概

28、念，經由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓撲空間和拓撲空間之間的連續(xù)映射這樣一個在數(shù)學的歷史上經過了很長的一段時期才完成的工作．在數(shù)學的發(fā)展過程中對所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對象（或其中的某一個方面）的精粹而進行的一次提升，是一個去粗取精的過程．也正因為如此，新的概念和理論往往有更多的包容． 拓撲學無疑也是如此，一方面它使我們對“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認識，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）．這一切讀者在學習的過程中必然會不斷地加深體會． 作業(yè)： P55

29、 2,5,6,8,9,10 2.3　鄰域與鄰域系 本節(jié)重點： 掌握鄰域的概念及鄰域的性質； 掌握連續(xù)映射的兩種定義； 掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理 我們在數(shù)學分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點處的連續(xù)性，然后再定義這個映射本身的連續(xù)性．然而對于拓撲空間的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點處的連續(xù)性的定義了．在定理，為此只要有一個適當?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在2.1中定義度量空間的鄰域時又只用到“開集”．因此我們先在拓撲空間中建立鄰域的概念然后再給出

30、映射在某一點處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點也不會使我們感到突然． 定義2.3.1　設（X，P)是一個拓撲空間，x∈X．如果U是X的一個子集，滿足條件：存在一個開集V∈P使得x∈VU，則稱U是點x的一個鄰域．點x的所有鄰域構成的x的子集族稱為點x的鄰域系．易見，如果U是包含著點x的一個開集，那么它一定是x的一個鄰域，于是我們稱U是點x的一個開鄰域． 首先注意，當我們把一個度量空間看作拓撲空間時（這時，空間的拓撲是由度量誘導出來的拓撲），一個集合是否是某一個點的鄰域，無論是按2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事． 定理2.3.1　拓撲空間X的一個子集U是開集的充分必要條

31、件是U是它的每一點的鄰域，即只要x∈U，U便是x的一個鄰域． 證明　定理中條件的必要性是明顯的．以下證明充分性．如果U是空集，當然U是一個開集．下設U≠．根據(jù)定理中的條件， 使得 故U=，根據(jù)拓撲的定義，U是一個開集． 定理 　　 定理2.3.2　設X是一個拓撲空間．記為點x∈X的鄰域系．則： 　?。?）對于任何x∈X，≠；并且如果U∈，則x∈U； 　?。?）如果U，V∈，則U∩V∈； 　?。?）如果U∈并且UV，則V∈； 　　（4）如果U∈，則存在V∈滿足條件：(a)VU和(b)對于任何y∈V，有V∈． 證明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定義,如果 U∈，則x∈U

32、 （2）設U，V∈．則存在U．∈P和∈P使得和成立．從而我們有,T,∴U∩V∈ （3）設U∈，并且 （4）設U∈．令V∈P滿足條件．V已經滿足條件（a），根據(jù)定理2.3.1，它也滿足條件（b）． 以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓撲空間理論，這種做法在點集拓撲發(fā)展的早期常被采用．這種做法也許顯得自然一點，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓撲來得簡潔． 定理2.3.3　設X是一個集合．又設對于每一點x∈X指定了x的一個子集族，并且它們滿足定理，子集族恰是點x在拓撲空間（X，P)中的鄰域系．(證明略) 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點處的連續(xù)性的概念推

33、廣到拓撲空間之間的映射中去． 定義2.3.2　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y，x∈X．如果 f（x）∈Y的每一個鄰域U的原象（U）是x∈X的一個鄰域，則稱映射f是一個在點x處連續(xù)的映射，或簡稱映射f在點x處連續(xù)． 與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓撲空間之間的映射在某一點處的連續(xù)性也明顯地是受到了2.1中的定理，如果f: X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個映射，它在某一點x∈X處連續(xù)，那么它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個在點x處連續(xù)的映射；反之亦然． 這里我們也有與定理 定理2.3.4　設X，Y和Z都是拓撲空間．則 （1）恒同映射：X→X在每一點x∈X處連

34、續(xù)； （2）如果f：X→Y在點x∈X處連續(xù)，g：Y→Z在點f（x）處連續(xù)，則gof：X→Z在x處連續(xù)． 證明請讀者自己補上． 以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系． 定理2.3.5　設X和Y是兩個拓撲空間，f：X→Y．則映射f連續(xù)當且僅當對于每一點x∈X，映射f在點x處連續(xù)． 證明必要性：設映射f連續(xù)， 這證明f在點X處連續(xù)． 充分性：設對于每一點x∈X，映射f在點x處連續(xù)． 這就證明了f連續(xù)． 作業(yè): 掌握證明一個子集是鄰域的方法,掌握證明一個映射是否連續(xù)的方法． 2.4　導集，閉集，閉包 本節(jié)重點： 熟練

35、掌握凝聚點、導集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個點屬于導集或閉包的概念上的不同； 掌握一個點屬于導集或閉集或閉包的充要條件； 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件． 如果在一個拓撲空間中給定了一個子集，那么拓撲空間中的每一個點相對于這個子集而言“處境”各自不同，因此可以對它們進行分類處理． 定義2.4.1　設X是一個拓撲空間，AX．如果點x∈X的每一個鄰域U中都有A中異于x的點，即U∩（A-{x}）≠，則稱點x是集合A的一個凝聚點或極限點．集合A的所有凝聚點構成的集合稱為A的導集，記作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚點，即存在x的一個鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱

36、x為A的一個孤立點． 即:(牢記) 　　 在上述定義之中，凝聚點、導集、以及孤立點的定義無一例外地都依賴于它所在的拓撲空間的那個給定的拓撲．因此，當你在討論問題時涉及了多個拓撲而又談到某個凝聚點時，你必須明確你所談的凝聚點是相對于哪個拓撲而言，不容許產生任何混淆．由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓撲的，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時時都會發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請讀者自己留心． 某些讀者可能已經在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對歐氏空間有效的性質，例如歐氏空間中凝聚點的性質，對一般的拓撲空間都有效．以下兩個例子可以幫助讀者澄清某些不正

37、確的潛在印象． 例2.4.1　離散空間中集合的凝聚點和導集． 設X是一個離散空間，A是X中的一個任意子集．由于X中的每一個單點集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個鄰域{x}，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個凝聚點，從而A的導集是空集，即d（A）＝． 例2.4.2　平庸空間中集合的凝聚點和導集． 設X是一個平庸空間，A是X中的一個任意子集．我們分三種情形討論： 第1種情形：A=．這時A顯然沒有任何一個凝聚點，亦即 d（A）=．（可以參見定理 第2種情形：A是一個單點集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點x只有惟一的一個鄰域X，這時，所以；因此x是A的一個凝聚點，即x∈d

38、（A）．然而對于的惟一鄰域X有：所以 d（A）=X-A． 第3種情形：A包含點多于一個．請讀者自己證明這時X中的每一個點都是A的凝聚點，即d（A）＝X． 定理2.4.1　設X是一個拓撲空間，AX．則 　?。╨）d（）=； 　　（2）AB蘊涵d（A）d（B）； 　　（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）； 　　（4）d（d（A））A∪d（A）． 證明?。?）由于對于任何一點x∈X和點x的任何一個鄰域U， 　　有U∩ 　?。?）設AB．如果． 　　這證明了d（A）d（B）． 　?。?）根據(jù)（2），因為A，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（

39、B）d（A∪B）． 　　另一方面，如果 　　 綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個集合包含于另一個集合的另一方法:要證,只要證即可．) 　?。?）設： 即（4）成立． 定義2.4.2　設X是一個拓撲空間，AX．如果A的每一個凝聚點都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓撲空間X中的一個閉集． 例如，根據(jù)例，離散空間中的任何一個子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個非空的真子集都不是閉集． 定理2.4.2　設X是一個拓撲空間，AX．則A是一個閉集，當且僅當A的補集是一個開集． 證明　必要性：設A是一個閉集 　　 　　充分性：設： 　　 　　即A是一個閉集．

40、 例2.4.3　實數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間． 設a，b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a，b]是實數(shù)空間R中的一個閉集，因為[a，b]的補集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個開集． 同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個閉集．然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因為a是（a，b）的一個凝聚點，但a（a，b）．同理區(qū)間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集． 定理2.4.3　設X是一個拓撲空間．記F為所有閉集構成的族．則： 　?。?）X，∈F 　?。?）如果A，B∈F，則AUB∈F 　　（從而如果) 　?。?）如果≠ 在此定理的第（3）條中，

41、我們特別要求≠的原因在于當 =時所涉及的交運算沒有定義． 證明　根據(jù)定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T為X的拓撲． 　?。?）∵X，∈T，∴ 　　（2）若A、B∈F ，則 　　（3）令： 　　 　　定理證明完成． 總結：（1）有限個開集的交是開集，任意個開集的并是開集．其余情形不一定． （2）有限個閉集的并是閉集，任意個閉集的交是閉集．其余情形不一定． 定義2.4.3　設X是一個拓撲空間,AX,集合A與A的導集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作或 容易看出,(注意:與x∈d(A)的區(qū)別) 定理2.4.4　拓撲空間X的子集A是閉集的充要條

42、件是A= 證明:定理成立是因為:集合A為閉集當且僅當d(A)A而這又當且僅當A=A∪d(A) 定理2.4.5　設X是一個拓撲空間,則對于任意A,B∈X,有： 　　 證明（1）成立是由于是閉集． 　?。?）成立是根據(jù)閉包的定義． 　　（3）成立是因為 　　 　?。?）成立是因為 　　 　　 ＝A∪d（A）∪d（d（A)) 　　 ＝A∪d（A）= 在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理 定理2.4.6　拓撲空間X的任何一個子集A的閉包都是閉集． 證明根據(jù)定理 定理2.4.7　設X是一個拓撲空間，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構成的族，則對于X

43、的每一個子集A，有 　　 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交． 證明　因為A包含于，而后者是一個閉集，由定理 有 另一方面，由于是一個閉集，并且，所以 (“交”包含于形成交的任一個成員) 綜合這兩個包含關系，即得所求證的等式． 由定理，X是一個包含著A的閉集，它又包含于任何一個包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個集合的閉包乃是包含著這個集合的最小的閉集． 在度量空間中，集合的凝聚點，導集和閉包都可以通過度量來刻畫． 定義2.4.5　設（X，ρ)一個度量空間．X中的點x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義為 　　 ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈

44、A} 根據(jù)下確界的性質以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當且僅當對于任意實數(shù)ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價于：對于x的任何一個鄰域U有U∩A≠，應用以上討論立即得到． 定理2.4.9　設A是度量空間（X，ρ）中的一個非空子集．則 　　（1）x∈d（A）當且僅當ρ（x，A-{x}）=0； 　?。?）x∈當且僅當ρ（x，A）＝0． 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價的定義，也為驗證映射的連續(xù)性提供了另外的手段． 定理　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．則以下條件等價： （l）f是一個連續(xù)映射； （2）

45、Y中的任何一個閉集B的原象(B)是一個閉集； （3）對于X中的任何一個子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 　　； (4)對于Y中的任何一個子集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 　?。? 證明　（1）蘊涵（2）．設BY是一個閉集．則 是一個開集，因此根據(jù)（1），是X中的一個開集，因此 (B)是X中的一個閉集． 　　(2)蘊涵（3）設AX．由于f（A）， 　　根據(jù)（2），成立． 　　(3)蘊涵(4)設AY集合(B)X應用（3）即得 　　 　?。?）蘊涵（l）．設U是Y中的一個開集．則是Y中的一個閉集．對此集合應用（4） 可見: 　?。? 總結一下,到目

46、前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個點是某個子集的凝聚點? 　 作業(yè): 　　P69 1．2 2.6 　基與子基 本節(jié)重點： 掌握基與子基的概念，點的鄰域與基之間的關系； 掌握基、子基與開集的關系； 掌握如何用基表示開集． 　　 在討論度量空間的拓撲的時候，球形鄰域起著基本性的重要作用．一方面，每一個球形鄰域都是開集，從而任意多個球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設U是度量空間X中的一個開集．則對于每一個x∈U有一個球形鄰域B（x，ε）U，因此．這就是說，一個集合是某度量空間中的一個開集當且僅當它是這個度量

47、空間中的若干個球形鄰域的并．因此我們可以說，度量空間的拓撲是由它的所有的球形鄰域通過集族求并這一運算“產生”出來的．留意了這個事實，下面在拓撲空間中提出“基”這個概念就不會感到突然了． 定義2.6.1　設（X，T）是一個拓撲空間，B是T的一個子族．如果T中的每一個元素（即拓撲空間X中的每一個開集）是B中某些元素的并，即對于每一個U∈T，存在使得 　　 則稱B是拓撲T的一個基，或稱B是拓撲空間X的一個基． 按照本節(jié)開頭所作的論證立即可得： 定理2.6.1　一個度量空間中的所有球形鄰域構成的集族是這個度量空間作為拓撲空間時的一個基． 特別地，由于實數(shù)空間R中所有開區(qū)間構成的族

48、就是它的所有球形鄰域構成的族，因此所有開區(qū)間構成的族是實數(shù)空間R的一個基． 至于離散空間，它有一個最簡單的基，這個基由所有的單點子集構成． 下面的定理為判定某一個開集族是否是給定的拓撲的一個基提供了一個易于驗證的條件． 定理2.6.2　設B是拓撲空間（X，T）的一個開集族（即），則B是拓撲空間X的一個基當且僅當對于每一個x∈X和x的每一個鄰域． 證明　設B是X的一個基，則 　　根據(jù)基的定義， 可知存在 這證明B滿足定理中的條件． 另一方面，設定理中的條件成立．如果U是X中的一個開集，則對于每一個x∈U， 　　 因此，U是B中某些元素之并，從而B是X的一個基． 在度量空

49、間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓撲，這個拓撲以全體球形鄰域構成的集族作為基．是否一個集合的每一個子集族都可以確定一個拓撲以它為基？答案是否定的．以下定理告訴我們一個集合的什么樣的子集族可以成為它的某一個拓撲的基． 定理2.6.3　設X是一個集合，B是集合X的一個子集族（即 BP(X))．如果B滿足條件： 　?。?）； 　?。?）如果,則對于任何 　　則X的子集族 　　T＝{UX|存在使得} 是集合X的惟一的一個以B為基的拓撲；反之，如果X的一個子集族B是X的某一個拓撲的基，則B一定滿足條件（l）和（2）． 　　值得注意的是，如果集合X的子集族B滿足條件：對于任意 ∈B,有

50、∈B．這時，B必然滿足條件（2）．這種情形經常遇到． 證明　設X的子集族B滿足條件（l）和（2）．我們先驗證定理中給出的T是X的一個拓撲： 　?。?）根據(jù)條件（1），X∈T；由于,而B 所以∈T． 　　（2）我們先驗證：如果∈B，則∈T這是因為根據(jù)條件（2），對于每一個x∈,存在, 　　由于 現(xiàn)在設 　　 成立．因此 　　 　　根據(jù)前說，上式中最后那個并集中的每一項都是B中某些元素之并，所以也是B中某些元素之并，因此 　?。?）設則 以上證明了T是集合X的一個拓撲．根據(jù)T的定義立即可見B是拓撲T的一個基． 　　假設集合X還有一個拓撲以B為它的一個基．根據(jù)基的定義，任何一

51、個A必為B中某些元素的并，所以A∈T 這證明T,另一方面，由于B,所以如果A∈T則A是B中的某些元素之并，因此也是 中某些元素之并；由于是一個拓撲，所以A∈這又證明了T．因此T=．這說明以B為基的拓撲是惟一的． 最后證明定理的后半段．設B是X的某一個拓撲T*的一個基．由 X∈T*可知X必為B中的某些元素的并，故必為集族B之并．因此（1）成立．設和x∈．由于BT*．是x的一個開鄰域，根據(jù)定理2.6.2，存在使得 　　,這證明條件（2）成立． 在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運算，如果再考慮集合的有限交運算（注意拓撲只是對有限交封閉的，所以只考慮有限交），便得到“子基”這個概念．

52、 定義2.6.2　設（X，T)是一個拓撲空間，是T的一個子族．如果的所有非空有限于族之交構成的集族，即 　　 是拓撲T的一個基，則稱集族 是拓撲T的一個子基，或稱集族是拓撲空間X的一個子基． 例2.6.2　實數(shù)空間R的一個子基． 實數(shù)集合R的一個子集族 ={(a,∞)|a∈R}∪{(-∞,b)|b∈R} 是實數(shù)空間R的一個子基．這是因為是實數(shù)空間的一個開集族，并且的每一個有限非空子族之交的全體構成的集族恰好就是所有有限開區(qū)間構成的族并上再并上{}，顯然它是實數(shù)空間R的一個基． 　　 定理2.6.4　設X是一個集合，是X的一個子集族（即 P(X))．如果則X有惟一的一個拓撲T

53、以為子基．并且若令 　　 則 證明　令B和T如定理中．容易驗證B滿足定理，因此根據(jù)該定理，B是T的一個基，所以 是T的一個子基． 如果是X的一個拓撲，它以為一個子基，則根據(jù)子基的定義，以B為基．根據(jù)定理，我們有 =T 映射的連續(xù)性可以通過基或子基來驗證．一般說來，基或子基的基數(shù)不大于拓撲的基數(shù)，所以通過基或子基來驗證映射的連續(xù)性，有時可能會帶來很大的方便． 定理2.6.5　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．則以下條件等價： 　　（l）f連續(xù)； 　　（2）拓撲空間Y有一個基B，使得對于任何一個B∈B，（B）是X中的一個開集； 　?。?）Y有一個子基,使得對于任何一個S∈

54、原象(S)是X中的一個開集． 　　證明　條件（l）蘊涵（3）是顯然的，因為Y的拓撲本身便是Y的一個子基． 　　條件（3）蘊涵（2）．設是Y的拓撲的一個子基,滿足（3）中的要求．根據(jù)定義， 　　 是Y的拓撲的一個基． 　　對于任何,i＝1，2，…，n，其中n∈，我們有 　　 　　它是X中n∈個開集之交，因此是X中的一個開集． 　　條件（2）蘊涵（1）．設B是Y的拓撲的一個基，它滿足（2）中的要求．如果U是Y中的一個開集，則 　　 是X中一族開集之并，所以是X中的一個開集．這證明f連續(xù)． 　　對于局部情形，也有類似于基和子基的概念． 定義2.6.3　設X是一個拓撲空間，

55、x∈X．記為x的鄰域系．的子族如果滿足條件：對于每一個U∈，存在V∈，使得 VU，則稱是點x的鄰域系的一個基，或簡稱為點x的一個鄰域基． 的子族如果滿足條件：每一個有限非空子族之交的全體構成的集族，即是x的一個鄰域基，則稱此是點x的鄰域系的一個子基，或簡稱為點x的一個鄰域子基． 　　顯然，在度量空間中以某一個點為中心的全體球形鄰域是這個點的一個鄰域基；以某一個點為中心的全體以有理數(shù)為半徑的球形鄰域也是這個點的一個鄰域基． 　　鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗證映射在一點處的連續(xù)性． 定理2.6.6　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y，x∈X． 　　則以下條件等價： 　?。?）f在

56、點x處連續(xù)； 　　（2）f(x)有一個鄰域基，使得對于任何V∈；，原象(V)是x的一個鄰域； 　　（3）f(x)有一個鄰域子基 ，使得對于任何W∈，原象(W)是x的一個鄰域． 　　證明(略) 　　 基與鄰域基,子基與鄰域子基有以下關聯(lián)． 定理2.6.7　設X是一個拓撲空間，x∈X．則 　　（1）如果B是X的一個基，則 　　={B∈B|x∈B} 　　是點x的一個鄰域基； 　?。?）如果是X的一個子基，則 　　={S∈|x∈S} 　　是點x的一個鄰域子基． 　　證明(略) 　 作業(yè)： 　　P82 1．4．7 2.7 拓撲空間中的序列 本節(jié)重點:

57、 掌握拓撲空間中序列的概念,及極限點的概念； 掌握數(shù)學分析中的序列的性質與拓撲空間中的序列的性質有何不同； 掌握不可數(shù)集中序列的特性； 掌握點集的凝聚點與序列的極限點的關系． 在讀者熟知的數(shù)學分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發(fā)點來刻畫集合的凝聚點，函數(shù)在某一點處的連續(xù)性等等．在這一節(jié)我們便會看到這種做法在一般的拓撲空間中并不可行；而要使得它變?yōu)榭尚械?，則要對拓撲空間加以適當?shù)南拗疲覀儗碓傺芯窟@種限制加到什么程度為合適． 定義2.7.1　設X是一個拓撲空間．每一個映射S:→X，叫做X中的一個序列．我們常將序列S記作；或者．，或者干脆記作，其中．有時我們也將記號簡化為{

58、}，但這時要警惕不要與單點集相混． 拓撲空間X中的一個序列實際上就是在X中按先后次序取到的一串點，這些點可能重復．因此一個序列 可以僅由有限個點組成，當這個集合是單點集時，我們稱序列為一個常值序列． 定義2.7.2　設是拓撲空間X中的一個序列，x∈X．如果對于x的每一個鄰域U，存在M∈,使得當i＞M時有xi∈U，則稱點x是序列 ，的一個極限點（或極限），也稱為序列收斂于x，記作 　　 lim＝x或→x(i→∞) 如果序列至少有一個極限，則稱這個序列是一個收斂序列． 拓撲空間中序列的收斂性質與以前我們在數(shù)學分析中熟悉的有很大的差別．例如，容易驗證平庸空間中任何一個序列都收斂，并且收

59、斂于這個空間中的任何一個點．這時極限的惟一性當然無法保證了． 定義2.7.3　設X是一個拓撲空間，S,：→X是X中的兩個序列．如果存在一個嚴格遞增的映射N：→(即對于任意 ，如果，則有N（）＜N（)，使得 ＝SoN，則稱序列是序列S的一個子序列． 假如我們將此定義中的序列S記作那么序列自然可以記作，也就是說，序列第i個點恰是序列第N（i）個點． 我們已經看到，我們以前熟悉的序列的性質有許多對于拓撲空間中的序列是不適合的．但總有一些性質還保留著，其中最主要的可見于以下三個定理中． 定理2.7.1　設是拓撲空間X中的一個序列．則 　?。?）如果是一個常值序列，即對于某一個x∈

60、X，有=x,i∈，則lim=x； 　?。?）如果序列收斂于x∈X，則序列的每一個子序列也收斂于x． 證明（略）． 定理2.7.2　設X是一個拓撲空間，A X，x∈X．如果有一個序列 在A-{x}中（此意即，對于每一個i∈有∈A-{x})，并且收斂于x，則x是集合A的一個凝聚點． 證明設序列在A－{x}中并且收斂于x．如果U是x的一個鄰域，則存在M∈使得U，因此U∩(A-{x})，從而U∩(A-{x})≠．這證明x是A的一個凝聚點． 例2.7.1　定理 設X是一個不可數(shù)集，考慮它的拓撲為可數(shù)補拓撲，這時X的一個子集是閉集當且僅當或者它是X本身或者它是一個可數(shù)集．我們先指出可數(shù)

61、補空間X的兩個特征： （1）X中的一個序列收斂于x∈X的充分必要條件是存在M∈使得當i＞M時，=x． 條件的充分性是顯然的．以下證明必要性．設lim=x由于集合是一個可數(shù)集，因此D的補集是x的一個鄰域，從而存在M∈使得當i＞M時有，此時 必有=x． （2）如果A是X的一個不可數(shù)子集，則集合A的導集d（A）＝X． 這是因為X中任何一個點的任何一個鄰域中都包含著某一個非空開集，而拓撲空間X中的每一個非空開集都是一個可數(shù)集的補集，所以任何一個點的任何一個鄰域都是某一個可數(shù)集的補集．由于A是一個不可數(shù)集，它將與任何一個點的任何一個鄰域有非空的交，因此X中任何一個點都是集合A的凝聚點，即d（A）

62、＝X． 現(xiàn)在我們來指出，在這個拓撲空間X中，定理，它是一個不可數(shù)集．根據(jù)（2），我們有∈d（A），也就是說， 是A的一個凝聚點；然而根據(jù)（1），在A（=X-{}）中不可能有序列收斂于 這個例子表明，在一般的拓撲空間中不能像在數(shù)學分析中那樣通過序列收斂的性質來刻畫凝聚點． 定理2.7.3　設X和Y是兩個拓撲空間，f:X→Y．則 （1）如果f在點∈X處連續(xù)，則X中的一個序列收斂于蘊涵著Y中的序列收斂于f（)； （2）如果f連續(xù)，則X中的一個序列收斂于x∈X蘊涵著Y中的序列收斂于f(x)． 證明?。?）設f在點處連續(xù)，是X中的一個收斂于的序列．如果U是f()的一個鄰域，則(U)是

63、的一個鄰域．這時存在M∈使得當i＞M時有． （2）成立是因為連續(xù)即在每一點處連續(xù)（參見定理2．3．5）． 例2.7.2　定理 現(xiàn)在設X是實數(shù)集合，并且考慮它的拓撲為可數(shù)補拓撲．考慮從拓撲空間X到實數(shù)空間R的恒同映射i：X→R．由于如果拓撲空間X中的序列收斂于x∈X，則有：存在M∈使得當i＞M時有=x，因此此時序列在實數(shù)空間R中也收斂于x．這就是說映射i滿足定理 ，只要不是R本身，那么(U)=U在拓撲空間X中不能包含任何一個開集(因為U的補集不是可數(shù)集)，也就不能作為任何一個點的鄰域． 上述例子表明，在一般的拓撲空間中不能像在數(shù)學分析中那樣通過序列收斂的性質來刻畫映射的連續(xù)性．

64、 至于在什么樣的條件下，定理，也就是說可以用序列收斂的性質來刻畫凝聚點和映射的連續(xù)性，我們今后還要進行進一步的研究． 此外，在度量空間中，序列的收斂可以通過度量來加以描述． 定理2.7.4　設（X，ρ）是一個度量空間，是X中的一個序列，x∈X．則以下條件等價： 　?。?）序列收斂于x； 　　（2）對于任意給定的實數(shù)ε＞0，存在N∈使得當i＞N時 ρ(,x)<ε； 　?。?）limρ(,x)=0(i→∞)． 　　證明(略) 　　 作業(yè): 　　P．88 1,3(記住習題3的結論) 　　 本章總結： 1．本章的研究對象是一個任意的集合，在其上定義了一個“開集”族結構(為了

65、能夠運算，所定義的開集必須滿足P．48定義2．2．1)．這個集合就成了“拓撲空間”．(注意它與通常的實數(shù)空間不同) 2．在拓撲空間中由開集衍生定義出鄰域,閉集,閉包,導集,序列等概念．(要掌握這些概念的等價命題) 3．為了進一步研究開集的結構,又引進了基與子基的概念．(要掌握基與開集的關系) 4．此時拓撲空間的序列有哪些性質?與實數(shù)空間的序列有哪些不同? 5．兩個空間的關系用一個映射來聯(lián)系,怎樣的映射是連續(xù)的?有幾種方法可以判斷映射是連續(xù)的? 6．為了向實數(shù)空間看齊,可以在集合中引進“度量”這個概念．度量空間有哪些性質? 按以上這些要點復習一遍．然后記住以下幾個常見的空間的性質: 實數(shù)空間,平庸空間,離散空間,有限補空間,可數(shù)補空間； 開集,閉集,鄰域是怎樣的? 39