新人教A版數(shù)學(xué)高三單元測試【兩個計數(shù)原理】

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1、 新人教A版數(shù)學(xué)高三單元測試27【兩個計數(shù)原理】 本卷共100分，考試時間90分鐘 一、選擇題　(每小題4分，共40分) 1. 從6名男生和2名女生中選出3名志愿者，其中至少有1名女生的選法共有 A.30種 B.36種 C. 42種 D. 60種 2. 五名志愿者去四個不同的社區(qū)參加創(chuàng)建文明城市的公益活動，每個社區(qū)至少一人，且甲、乙不能分在同一社區(qū)，則不同的分派方法有 （ ） A．240種 B．216種 C．120種 D．72種 3. 從4名男生和3名女生中選出4人參加迎新座談會，若這4人中必須既有男

2、生又有女生，則不同的選法共有 A．140種 B． 120種 C．35種 D．34種 4. 將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組至少各一人，則不同的分配方案的種數(shù)為（　　） A．80 B．120 C．140 D． 50 5. 將4個不同顏色的小球全部放入不同標(biāo)號的3個盒子中，可以有一個或者多個盒子空著的放法種數(shù)為 A．96 B．36 C．64 D．81 7. A，B，C，D，E5人爭奪一次比賽的前三名，組織者對前三名發(fā)給不同的獎品，若A獲獎，B不是第一名，則不同的發(fā)獎方式共有（ ）

3、A.72種 B.30種 C.24種 D.14種 8. 已知數(shù)列{}(n=)滿足,且當(dāng)時,. 若, ，則符合條件的數(shù)列{}的個數(shù)是 （ ） A.140 B.160 C. 840 D. 5040 9. 在2010年某大學(xué)的小語種提前招生考試中，某中學(xué)共獲得了5個推薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必須有男生參加考試．學(xué)校通過選拔定下3男2女五個推薦對象，則不同的推薦方案共有（ ）種． A．20　　　　 B．22　　　　 C．24　　　

4、　 D．36 10. 將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標(biāo)號為1，2的卡片各放入一信封，則不同的方法共有 A．72種 B．18種 C．36種 D．54種 二、填空題　(共4小題，每小題4分) 11. 形如45132這樣的數(shù)叫做“五位波浪數(shù)”，即十位數(shù)字、千位數(shù)字均比它們各自相鄰的數(shù)字大，則由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“五位波浪數(shù)”的個數(shù)為 ． 12. 從0，1，2，3，4，5六個數(shù)字中每次取3個不同的數(shù)字，可以組成 個無重復(fù)數(shù)字的3位偶數(shù)；

5、 13. 在紅、黃、藍(lán)、白四種顏色中任選幾種給 “田”字形的4個小方格涂色，要求每格涂一種顏色，相鄰（有公共邊）兩格必須涂不同的顏色。則滿足條件所有涂色方案中，其中恰好四格顏色均不同的概率是 （用數(shù)字作答）； 14. 由數(shù)字1,2,3,4,5,6組成可重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字中不同的偶數(shù)恰有兩個（如：124,224,464,……）的三位數(shù)有 個（用數(shù)字作答）． 三、解答題　(共44分，寫出必要的步驟) 15. （本小題滿分10分） 甲隊有4名男生和2名女生，乙隊有3名男生和2名女生． （Ⅰ）如果甲隊選出的4人中既有男生又有女生，則有多少種選法？ （Ⅱ）如果兩

6、隊各選出4人參加辯論比賽，且兩隊各選出的4人中女生人數(shù)相同，則有多少種選法？ 16. 給出五個數(shù)字1，2，3，4，5； （1）用這五個數(shù)字能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ （2）用這些數(shù)字作為點(diǎn)的坐標(biāo)，能得到多少個不同的點(diǎn)(數(shù)字可以重復(fù)用) ? 17. （本小題滿分12分） 從中取出不同的三個數(shù)作系數(shù)。 ⑴可以組成多少個不同的一元二次方程； ⑵在所組成的一元二次方程中，有實根的方程有多少個？ 18. （本小題滿分12分） 用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字： （1）能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ （2）三位數(shù)中，如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字

7、都小，則這個數(shù)為凹數(shù)，如524、746等都是凹數(shù)。那么這六個數(shù)字能組成多少個無重復(fù)數(shù)字凹數(shù)？ 答案 一、選擇題 1. B2. B3. D4. A5. D6. B 7. B 本題主要考查組合的應(yīng)用及分類加法原理，本題可分兩種情況解答，即（1）B獲獎，B獲獎可能有種，A獲獎有種，余下一個獎有種獲獎方式，共有種；（2）B不獲獎，A獲獎方式有種，余下兩個獎的發(fā)獎方式有，共有種，綜上知不同的發(fā)獎方式共有12+18=30.解答排列組合問題主要從三個方面考慮：（1）問題的解決是分類還是分步？（2）所在完成的是組合問題還是排列問題？（3）是利用直接法還是間接法？ 8. A9. C10. A

8、二、填空題 11. 72112. 5213. 14. 72 略 三、解答題 15. 解：（Ⅰ）甲隊選出的4人中既有男生又有女生，則選法為 種 （或種） （Ⅱ）兩隊各選出的4人中女生人數(shù)相同，則選法為 種 16. （1）用1，2，3，4，5組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)可分為以下兩步： 第一步從2，4中選一個作為個位，有2種不同的選法；第二步從余下的四個數(shù)中選3個分別作為十位、百位和千位共有種不同的選法。由分步計數(shù)原理得共可組成242=48個不同的四位偶數(shù)。（也可直接用分步計數(shù)原理得24

9、32=48）. （2）由分步計數(shù)原理得：第一步從1，2，3，4，5中任選一個作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，有5種不同的選法；第二步從1，2，3，4，5中任選一個作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，也有5種不同的選法； 所以共可組成55=25個不同的點(diǎn)。 17. 解：⑴首先確定a，只能從1，3，5，7中選一個，有種，然后從余下的4個數(shù)中任選兩個作b、c，有。 ∴由分步計數(shù)原理 ，共組成一元二次方程 ⑵方程要有實根，必須滿足 當(dāng)c=0時，a，b可在1，3，5，7中任取兩個排列，有； 當(dāng)c≠0時，分析判別式知b只能取5，7， 當(dāng)b取5時，a，c只能取1，3這兩個數(shù)，有種，當(dāng)b取7時

10、，a，c可取1，3或1，5這兩組數(shù)，有種，此時共有。 由分類計數(shù)原理知，有實根的一元二次方程共有： 18. 解：（1）符合要求的四位偶數(shù)可分為三類： 第一類：0在個位時有個； 第二類：2在個位時，首位從1，3，4，5中選定1個（有種）,十位和百位從余下的數(shù)字中選（有種），于是有個； 第三類：4在個位時，與第二類同理，也有個． 由分類加法計數(shù)原理知，共有四位偶數(shù)：個．……．6分 （2）符合要求的凹數(shù)可分為四類： 第一類：十位數(shù)為0的有A個；第二類：十位數(shù)為1的有A個； 第三類：十位數(shù)為2的有A個；第四類：有十位數(shù)為3的有A個 由分類加法計數(shù)原理知，凹數(shù)共有： A+ A+ A

11、 +A=40…即這六個數(shù)字能組成40個無重復(fù)數(shù)字凹數(shù)……12分 課 題： 加法原理和乘法原理 (一) 教學(xué)內(nèi)容： 加法原理和乘法原理 教學(xué)目的： 了解學(xué)習(xí)本章的意義,激發(fā)學(xué)生的興趣；理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；會利用兩個原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題. 教學(xué)重點(diǎn)：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理) 教學(xué)難點(diǎn)：分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理)的準(zhǔn)確理解 教學(xué)過程： 一、課前復(fù)習(xí) 1．作為高中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容的一個部份，本章在整個高中數(shù)學(xué)中占有重要地位以計數(shù)問題為主要內(nèi)容的排列與組合，屬于現(xiàn)在發(fā)展很快且在計算

12、機(jī)領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用的組合數(shù)學(xué)的最初步知識，它不僅有著許多直接應(yīng)用，是學(xué)習(xí)概率理論的準(zhǔn)備知識，而且由于其思維方法的新穎性與獨(dú)特性，它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的不可多得的好素材； 作為初中一種多項式乘法公式推廣二項式定理，不僅使前面組合等知識的學(xué)習(xí)得到強(qiáng)化，而且與后面概率中的二項分布有著密切聯(lián)系 2．這兩個基本原理在本章的學(xué)習(xí)中占有重要地位；其作用并不限于用來推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，實際上其解決問題的思想方法貫穿在整個學(xué)習(xí)的始終：當(dāng)將一個較復(fù)雜的問題通過分類進(jìn)行分解時，用的是加法原理；當(dāng)將它通過分步進(jìn)行分解時，用的是乘法原理在此基礎(chǔ)上， 3．一次集會共50人參加，結(jié)束時，大家兩兩握手，

13、互相道別，請你統(tǒng)計一下，大家握手次數(shù)共有多少？ 某商場有東南西北四個大門，當(dāng)你從一個大門進(jìn)去又從另一個大門出來，問你共有多少種不同走法？ 揭示本節(jié)課內(nèi)容：等我們學(xué)了這一部分內(nèi)容后，這些問題會很容易解決 從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個獨(dú)特的部分——排列、組合它們研究對象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)二項式定理、概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它 二、講解新課 問題一：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，一天中火車有3班，

14、汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？ 分析：因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以，共有3+2=5種不同的走法，如圖所示 問題二：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船一天中，火車有4 班, 汽車有2班，輪船有3班那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 分析：從甲地到乙地有3類方法：第一類方法，乘火車，有4種方法；第二類方法，乘汽車，有2種方法；第三類方法，乘輪船，有3種方法；所以，從甲地到乙地共有4+2+3=9種方法 知識點(diǎn)1 分類計數(shù)原理（加法原理） 做一件事情，完成

15、它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，……，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法 問題三：從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？ 分析:因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以，乘一次火車再接著乘一次汽車從甲地到乙地，共有種不同走法，如圖所示，所有走法：火車1──汽車1；火車1──汽車2； 火車2──汽車1；火車2──汽車2；火車3──汽車1；火車3──汽車2 問題四：如圖,由A村去B村的道路有2條，由B村去C村

16、的道路有3條從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？ 分析: 從A村經(jīng) B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有2種方法,第二步, 由B村去C村有3種方法,∴從A村經(jīng) B村去C村共有 23 = 6 種不同的方法 知識點(diǎn)2 分步計數(shù)原理（乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成n個步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，……，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 指出：分類計數(shù)原理(加法原理)中，“完成一件事，有n類辦法”，是說每種辦法“互斥”，即每種方法都可以獨(dú)立地完成這件事，同時他們之間沒有重復(fù)也沒有遺漏．進(jìn)行分類時，要求各類辦法彼此之

17、間是相互排斥的，不論那一類辦法中的哪一種方法，都能獨(dú)立完成這件事.只有滿足這個條件，才能直接用加法原理，否則不可以. 分步計數(shù)原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n個步驟”，是說每個步驟都不足以完成這件事，這些步驟，彼此間也不能有重復(fù)和遺漏．如果完成一件事需要分成幾個步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理. 可以看出“分”是它們共同的特征，但是，分法卻大不相同．兩個原理的公式是: , ，這種變形還提醒人們，分類和分步，常是在一定的限制之下人為的，

18、因此，在這里我們大有用武之地：可以根據(jù)解題需要靈活而巧妙地分類或分步． 強(qiáng)調(diào)知識的綜合是近年的一種可取的現(xiàn)象．兩個原理，可以與物理中電路的串聯(lián)、并聯(lián)類比． 兩個基本原理的作用：計算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù) 兩個基本原理的區(qū)別：一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān)；加法原理是“分類完成”，乘法原理是“分步完成”分類和分步計數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對“分類”問題，其中方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟中方法相互獨(dú)立，只有各個步驟都完成才算完成了這件事。 三、典例解析 例1 書架的第1

19、層放有4本不同的計算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書， （1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？ （2）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ 解：（1）從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2類是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9種∴從書架上任取1本書，有9種不同的取法； （2）從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機(jī)書，有4種方法；第2步從第2層取1本藝術(shù)書

20、，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是種 ∴從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法 例2 一種號碼撥號鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)號碼？ 解：每個撥號盤上的數(shù)字有10種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理，4個撥號盤上各取1個數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個數(shù)是，∴可以組成10000個四位數(shù)號碼。 例3 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？ 解：從3名工人中選1名上日班和1名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1

21、名上晚班兩個步驟完成，先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是種，6種選法可以表示如下：所以，從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，6種不同的選法 例4 甲廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有3種，顏色有4種，乙廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有4種，顏色有5種，這兩廠生產(chǎn)的收音機(jī)僅從外殼的形狀和顏色看，共有所少種不同的品種？ 解：收音機(jī)的品種可分兩類：第一類：甲廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有3種，顏色有4種，共種；第二類：乙廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有4種，顏色有5種，共種，∴共有個品種 四、課堂練習(xí) 1．某班級有男學(xué)生5人，女學(xué)生4人

22、 (1)從中任選一人去領(lǐng)獎, 有多少種不同的選法？ (2) 從中任選男、女學(xué)生各一人去參加座談會，有多少種不同的選法？ 解：(1) 完成從學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎這件事，共有2類辦法，第一類辦法，從男學(xué)生中任選一人， 共有 = 5種不同的方法；第二類辦法，從女學(xué)生中任選一人， 共有 = 4種不同的方法，∴根據(jù)加法原理, 得到不同選法種數(shù)共有N = 5 + 4 = 9種 (2) 完成從學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會這件事, 需分2步完成,第一步，選一名男學(xué)生，有 = 5種方法；第二步，選一名女學(xué)生，有= 4種方法；∴根據(jù)乘法原理, 得到不同選法種數(shù)共有 N = 5

23、 4 = 20 種 2．滿足∪=｛1,2｝的集合、共有多少組? 解：分析一:、均是｛1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是隨便兩個子集搭配都行,本題尤如含、兩元素的不定方程,其全部解分為四類: 1)當(dāng)=φ時,只有=｛1,2｝,得1組解; 2)當(dāng)=｛1｝時,=｛2｝或=｛1,2｝,得2組解; 3)當(dāng)=｛2｝時,=｛1｝或=｛1,2｝,得2組解; 4)當(dāng)=｛1,2｝時,=φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4組解. 根據(jù)分類計數(shù)原理,共有1+2+2+4=9組解. 分析二: 設(shè)、為兩個“口袋”,需將兩種元素(1與2)裝入,任一元素至少裝入一個袋中,分兩步

24、可辦好此事:第1步裝“1”,可裝入不裝入,也可裝入不裝入,還可以既裝入又裝入,有3種裝法;第2步裝2,同樣有3種裝法.根據(jù)分步計數(shù)原理共有33=9種裝法,即原題共有9組解. 五、備選習(xí)題 1．書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書 (1) 從中任取一本，有多少種不同的取法？ (2)從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少種不同的取法？ 解：(1)從書架上任取一本書，有兩種方法：第一類可從6本數(shù)學(xué)書中任取一本，有6種方法；第二類可從5本語文書中任取一本，有5種方法；根據(jù)加法原理可得共有 5+6=11 種不同的取法 (2) 從書架上任取數(shù)學(xué)、語文書各一本，可以分成兩步完成：第一步任取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步任取一本語文書，有5種方法根據(jù)乘法原理可得共有56=30種不同取法 2．從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 解：23＋42=14. 六、教學(xué)小結(jié) - 8 - 版